Ulrihca Malmberg Att göra rika problem rika Att använda rika problem och utnyttja deras potential är inte helt lätt. Här behandlas några svårigheter och problem som visat sig och som varit utgångspunkt för ett examensarbete. Erfarenheter från detta och från klassrumsarbetet har lett till förändrade arbetsformer vid arbete med rika problem. År 2006 hittade jag av en slump boken Rika matematiska problem inspiration till variation av Hagland m fl i bokhandeln och insåg att jag nog höll i en godbit, forskningsresultat kondenserade till en sammanfattande teoretisk grund för att sedan följas av ett antal rika problem med elevlösningar och analys att använda i klassrummet. Här skulle jag kunna fånga upp många av kursplanens intentioner om lärande genom problemlösning, som t ex att utveckla elevernas matematiska kunskaper och lärande genom kommunikation. Det finns ingen entydig definition på vad som menas med ett rikt matematiskt problem, i rutan listar jag de sju kriterier som anges i boken. Taflin menar sammanfattningsvis att ett rikt problem är utvecklingsbart och metodiskt mångdimensionellt, men att man enbart kan avgöra om ett problem är rikt genom att pröva det i en elevgrupp (Taflin, 2007). Första tappra försöken Första överraskningen vid arbete i klassrummet var när jag insåg det omöjliga i att under en lektion hinna klämma in enskilt arbete med uppgiften och därefter framtagning av lösning i grupp, följt av gemensam diskussion i helklass där olika lösningsförslag från grupperna diskuterades. Nåja, jag fick stuva om i planeringen och avsätta 2 3 lektioner för kommande uppgifter. Nu gick det bättre, men sen kom åter ett bakslag. De goda råden från forskningen om att läraren ska inta en stödjande roll utan att styra när eleverna söker finna en lösning föll direkt på det praktiskt såväl som teoretiskt omöjliga i att en lärare ska hinna med detta i en klass om 26 elever på 45 min, den effektiva tiden är förstås avsevärt kortare. Även om man som lärare önskar att man kunde lita på att eleverna pratar om ämnet, är risken stor att pratet glider över i annat, och även om de håller sig till ämnet är inte alltid diskussionen så givande som den skulle kunna vara. Problemet ska introducera viktiga matematiska idéer vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och representationer kunna initiera matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. 61
Är det Anna som fullständigt har tagit över diskussionen eller är det Kalle som vägrar tänka på annat sätt än sitt eget för att lösa uppgiften? Vad vet jag, jag står ju i andra änden av klassrummet och försöker reda ut bråket mellan Lisa, Anton och John om vem som egentligen bröt av Johns penna. Ett examensarbete tar form Det är under sådana stunder som problemet med ett examensarbetes frågeställning plötsligt får en lösning jag ska undersöka hur jag ska få eländet att fungera! Syftet med studien blev att analysera vilken roll några betydelsefulla faktorer har på hur högstadieelever i gruppsamverkan kommer till konsensus om lösningen för ett rikt matematiskt problem (Malmberg, 2008). Det jag studerade var Utvecklas den eller de i någon mening bästa enskilda lösningsstrategierna ytterligare när de bearbetas i grupp och i så fall på vilket sätt? Har en av läraren påtvingad tidsram för gruppdiskussionen någon inverkan på den slutliga grupplösningen och i så fall på vilket sätt? Vilka för- och nackdelar för utarbetandet av en gemensam grupplösning kan iakttas vid en heterogen gruppsammansättning? Det blev en fallstudie över två åttondeklasser med kvantitativa (enkäter och skriftliga elevlösningar från alla elever) såväl som kvalitativa metoder (videooch audioinspelade observationer samt intervjuer med ett urval av eleverna), där eleverna under höstterminen 2008 arbetade med tre rika problem. Eleverna delades in i grupper med 3 4 elever i varje, låg- och medel- respektive medel- och högpresterande. För varje problem arbetade de under första lektionen enskilt efter en gemensam introduktion. Andra lektionen satt de med sin grupp och tog gemensamt fram en lösning som alla elever i gruppen kunde förstå, förklara och försvara. Sista lektionen hade vi gemensam genomgång i klassen där någon grupp presenterade sin lösning och utifrån denna och andra gruppers lösningar skedde en fördjupad diskussion. Stenplattorna Ett av de problem vi arbetade med var Stenplattorna ur Rika matematiska problem. figur 1 figur 2 figur 3 Ett mönster läggs med hjälp av kvadratiska stenplattor, mörka och ljusa. Så här ser mönstret ut: 1. Hur många plattor går det åt till figur 5? Hur många av dem är ljusa och hur många är mörka? 2. Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur 15? 3. Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur 100? 4. Hur många mörka respektive ljusa plattor går det åt till figur n? 5. Hitta på ett liknande problem. Lös det. 6. Kan du lösa den ursprungliga uppgiften på ett annat sätt? 62
För att kunna göra undersökningen på ett korrekt sätt gav jag eleverna tydliga instruktioner innan de satte igång att arbeta. Ingen fick lämna in någon lösning innan lektionen var slut. Vid gruppsamarbete skulle eleverna först i tur och ordning presentera sin enskilda lösning utan att övriga fick ha synpunkter, för att därefter gemensamt arbeta fram en lösning. Vidare var det jag som skulle välja ut både grupp och person som skulle ha huvudredovisning vid den tredje lektionen i helklass. Eleverna fick inte heller be mig om hjälp under arbetets gång. Mina resultat Det jag fann i min studie var bland annat att eleverna i gruppdiskussionerna inte angrep problemet på något nytt sätt, utan byggde vidare på de enskilda elevlösningar som hade flest lösta deluppgifter var mest lättbegripliga eller lättförklarade hade lösningsstrategier som fungerade på flest deluppgifter. Att i efterhand lyssna på ljudinspelningarna och betrakta videoinspelningarna av diskussionerna visade sig vara ett stort nöje med ett för mig överraskande resultat. De grupper som blev klara med sin gemensamma lösning före lektionens slut, började prata om andra saker, men efter en stund ledsnade de och återgick till uppgiften (som de ju inte hade fått lämna in) och började diskutera hur man kunde angripa problemet på annat sätt. Detta var inte något som syntes på den skriftliga lösning som de lämnade in, utan märktes enbart på inspelningen. Med denna erfarenhet låter jag numera inga grupper lämna in lösningar innan lektionens slut, utan i stället uppmanas de att fundera vidare. Från studieresultat till klassrum Utifrån mina erfarenheter har jag utvecklat ett koncept kring arbete med rika matematiska problem som jag nu arbetar efter och som jag tycker fungerar. För varje enskilt problem brukar jag avsätta 30 40 min för gemensam introduktion följt av enskilt arbete med uppgiften. För gruppdiskussionen behövs minst samma tid, vilket även gäller för den avslutande diskussionen i helklass. Grundprincipen är att jag systematiskt undervisar i problemlösning, vilket även inkluderar olika metoder. Eleverna får lösa många problem, förmågan till problemlösning måste få utvecklas över en längre tid och jag som lärare måste tro på och förmedla betydelsen av problemlösning som en viktig del i matematiskt lärande. Jag tycker att det är viktigt att träna eleverna i olika metoder för problemlösning. Det gör att de har en bank att få inspiration ifrån och lättare kan växla från en metod till en annan. Det är bra att ha ett sådant referensbibliotek av metoder för att angripa matematikuppgifter där man kan känna igen mönster och strukturer från tidigare och återanvända dessa i modifierad form för att lösa ett givet problem. Att hitta rika matematiska problem är inte alltid så enkelt. Jag använder främst ovan nämnda bok (Hagland m fl, 2005) samt boken 32 rika problem i matematik (Larsson, 2007). Många av Känguruproblemen, se ncm.gu.se/kanguru, 63
är också lämpliga att arbeta med, men då ägnar vi som regel kortare tid åt respektive uppgift, alternativt har dem som läxa för att sedan diskutera i helklass. Jag har också sett att det är absolut nödvändigt att jag i förväg själv har arbetat igenom problemet och betraktat det från olika håll, inte bara när det gäller lösningsmetoder. Jag måste också fundera över vilket syfte jag har med att välja ett specifikt problem. Ofta har jag valt ut ett rikt problem som i sitt innehåll har någon form av relevans för det arbetsområde vi därefter kommer att börja arbeta med och ibland har jag också styrt in eleverna på att lösa problemet på minst två sätt, varav en metod (t ex att rita) är på förhand given av mig. Att eleverna har en modell för hur de ska genomföra gruppdiskussionen har visat sig fungera mycket bra, liksom kravet att alla ska vara beredda på att redovisa gruppens lösning inför klassen. Det har medfört att alla elever kommer till tals och blir involverade i grupparbetet. Det har också skapat ett naturligt arbetssätt för gruppdiskussioner som eleverna utnyttjat i andra sammanhang. När jag gjorde studien upptäckte jag att jag tidigare alltför snart gått in med stöttning till enskilda elever och grupper när de kört fast. Eftersom detta inte var möjligt under studien, tvingades eleverna lösa problemen på egen hand vilket de också klarade. Detta har medfört att jag numera inte lika snabbt går in i diskussionen, utan i stället uppmanar dem att fundera lite till. Tre till fyra elever i en grupp är lagom och i vissa fall kan även två elever fungera bra, särskilt om gruppen består av medel- och högpresterande elever. Beroende på hur gruppen sätts samman kan olika mål med undervisningen uppnås, därför alternerar jag mellan heterogena och homogena grupper. Jag har även i några fall haft homogena grupper av lågpresterande elever och då själv gått in och stöttat mer aktivt och det har fungerat mycket bra. Jag har också sett nyttan av att låta den enskilda eleven alternera mellan att vara den relativt sett mer hög- respektive lågpresterande i en heterogen grupp. Att vara stark i en grupp ger bra träning i att sätta ord på sitt matematiska tänkande och förklara så att det blir begripligt för andra och att få vara svag i en annan grupp gör att man kan få hjälp att se andra sätt att angripa ett problem. Jag försöker ändå hålla grupperna intakta vid flera problemlösningstillfällen eftersom det har visat sig att eleverna då känner sig tryggare och säkrare. Problem för läxor och bedömning Jag har även använt rika problem och liknande uppgifter som specialläxor vilka eleverna kan välja i stället för den ordinarie läxan. Där kan jag se en tydlig utveckling hos eleverna. Vid de första läxförsöken kanske eleven inte klarar att lösa hela uppgiften eller har svårt att skriftligt redovisa sina tankegångar med ett matematiskt språk. Med tiden utvecklas dock säkerheten när det gäller såväl lösningsfrekvens som förmågan att använda olika lösningsmetoder och redovisa med ett korrekt matematiskt språk. Dessutom upptäckte jag att uppgifterna är synnerligen användbara för elever som väger mellan två betyg där jag behöver ytterligare underlag för min bedömning. Eleven får först arbeta självständigt med problemet och sedan tillsammans med mig muntligt och skriftligt redogöra för hur han eller hon har löst problemet. Därefter kan jag ställa olika former av kompletterande frågor för att eleven ska få utveckla sina resonemang och visa upp sina förmågor. Många elever visar också upp sina styrkor bättre muntligt än skriftligt. 64
Reaktioner från eleverna Hur har det då låtit bland eleverna som jag följt från åk 7 till åk 9 när vi arbetat med rika problem i klassrummet? Åk 7: Snälla Ulrihca, måste vi hålla på med det här, kan vi inte räkna i boken i stället? Åk 8: Nu elever ska jag skriva mitt examensarbete och ni och föräldrar har skrivit under att ni är med på tåget, så nu baske mig gör vi det här ordentligt och seriöst. Då vankas det hembakad tårta när vi är klara! Plikttrogna (och tårtglada) elever gör givetvis som fröken säger. Åk 9: Ulrihca! Jag och Edvard är klara med det här arbetsmomentet, har du något rikt problem vi kan arbeta med? En klar attitydförändring över tid med andra ord, väl värd arbetet med att övervinna det initiala motståndet. I år har jag fått en ny sexa och arbetar med matematiken på ett annat sätt än tidigare, jag tar inte längre avstamp från läro boken på samma sätt som jag har gjort förut. Det har medfört att eleverna snabbt ställt om sig till att inte heller se läroboken som utgångspunkt för undervisningen. Därmed har det även varit avsevärt enklare att introducera bl a problemlösning i grupp som en naturlig del av undervisningen. Litteratur Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem inspiration till variation. Stockholm: Liber. Hedrén, R., Taflin, E. & Hagland, K. (2004). Problem med stenplattor. Nämnaren 31(3), 12 17. Hedrén, R., Taflin, E. & Hagland, K. (2005). Vad menar vi med rika problem och vad är de bra till? Nämnaren 32(1), 36 41. Larsson, M. (2007). 32 rika problem i matematik. Stockholm: Libers förlag. Malmberg, U. (2008). Det var enklare att slå ihop 4 hjärnor än att tänka själv. En fallstudie om gruppdiskussionens betydelse för elevlösningar av rika matematiska problem hos elever i årskurs 8 (Examensarbete 10 p). Sociologiska institutionen, Göteborgs universitet. Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan för att skapa tillfällen till lärande (Doktorsavhandling). Institutionen för matematik och matematisk statistik, Umeå universitet. Ulrihca Malmberg belönades med Göran Emanuelssonstipendiet 2009 för sitt examensarbete Det var enklare att slå ihop 4 hjärnor än att tänka själv. En fallstudie om gruppdiskussionens betydelse för elevlösningar av rika matematiska problem hos elever i årskurs 8. 65