Att man på universitetsnivå har

FREDRIK ALBERTSON Intresserade elever Ett samarbete mellan skolan och universitetet Vid Sunnerboskolan i Ljungby gavs intresserade elever möjlighet att läsa matematikkurser som utvecklats i samarbete med lärarna på Växjö universitet. Syftet var att öka intresset för matematikstudier och att stärka elevernas algebrakunskaper. Att man på universitetsnivå har upplevt en allmän försämring av studenternas algebrakunskaper är inget nytt. Studenterna anses få allt svårare med det praktiska handhavandet av algebraiska uttryck, som t ex att göra förenklingar. Växjö universitet hade därför 1999 ett utbyte med Ljungby kommun, där matematiklärare från alla skolnivåer tillsammans med Anders Tengstrand från universitetet under en termin regelbundet träffades och diskuterade problemet. En av flera idéer som växte fram under dessa träffar var att skapa en algebrakurs, planerad av Växjö universitet och speciellt riktad till matematikintresserade elever på gymnasiet. Kursen skulle utgöra en brygga mellan gymnasiet och högskola/ universitet. Denna idé kunde Ljungby kommun tänka sig att stödja ekonomiskt och således var ett litet projekt igång. Ett samarbete mellan en gymnasieskola och ett universitet är önskvärt av flera skäl och inte försvagas argumenten för projektidén om man sneglar lite i läroplanen: Samarbetet med den obligatoriska skolan och med universitet och högskolor skall utvecklas liksom samverkan mellan de frivilliga skolformerna. (Lpf 94) Idén till samarbetet kommer från Anders Tengstrand, Växjö universitet, och Lisbeth Frihman, gymnasielärare i matematik på Sunnerboskolan i Ljungby. Lisbeth satt med i den tidigare nämnda gruppen och har i stora drag förmedlat vad Sunnerboskolan ville Fredrik Albertson med den här algebrakursen. Ett syfte var att göra är doktor i teknisk akustik något för att förbättra algebrakunskaperna hos elever- och har varit lärare vid Växjö universitet na. Ett annat syfte var att få en öppning mot universitetet, att hitta en kanal för konkreta utbyten mellan gymnasieskolan i Ljungby och universitetet, så att elever skulle kunna möta och få en försmak av högskolans matematik. Växjö universitet vill i samarbetet främst uppnå två saker. För det första vill universitetet öka intresset för ämnet matematik på gymnasieskolan. Från universite- 44 NÄMNAREN NR 4 2002

tets sida poängteras att ge de elever som visar på stor matematikbegåvning rätt stöd och stimulans, så att de utvecklas i sitt matematiska tänkande. För det andra handlar det om rekrytering. Om de duktiga eleverna i gymnasiet kan entusiasmeras att välja Växjö universitet och ett matematikintensivt program, så tryggas återväxten av duktiga framtida lärare, ingenjörer och doktorander. Växjö universitet vill kunna erbjuda samarbete och särskild handledning för duktiga elever en kreativ och givande samarbetsmiljö till de gymnasieskolor i regionen som önskar. Tankarna bakom kursen Det viktiga är inte att alla elever ska behärska samma matematiska område efter kursens slut, utan att de ska ha fått en större algebraisk förmåga och att de ska ha arbetat med matematiska begrepp. Fem olika spår konstruerades enligt följande grundprinciper: Eleverna ska inte ha stött på området i någon större utsträckning tidigare, dvs eleven ska ställas inför nya matematiska begrepp och arbeta med förståelse av dessa begrepp. tränas i att kommunicera matematik, med varandra i gruppen och genom rapporter. kunna hitta och tillgodogöra sig litteratur på universitetsnivå. kunna sätta in de matematiska teorierna såväl i historiska sammanhang som i tillämpningssammanhang. träna algebraiska färdigheter. De spår som konstruerades bygger på universitetsmatematik. Kunskaperna, eller snarare kunskapsbristerna, i matematik har under de senaste åren diskuterats flitigt i olika media. Alla universitet har känt av den förändring i matematikkunskaper som dagens nybörjarstudenter har, jämfört med tidigare årskullar. En tydlig skillnad rör förståelsen av matematiska begrepp. Därför skapade vi spår som skulle stimulera eleverna att reflektera över begrepp och vad de innebär. En svårighet som också har rapporterats är att kommunicera matematik. Därför valdes ett arbetssätt och en redovisningsform som skulle fokusera på olika typer av kommunikation. Många nybörjarstudenter upplever steget mellan gymnasiematematik och universitetsmatematik som orimligt stort. En stor del i detta är skillnaden i litteratur. Därför användes genomgående universitetslitteratur, såväl på engelska som på svenska. Genom att eleverna konfronteras med denna typ av litteratur redan på gymnasienivå utjämnas övergången. Ofta lär sig eleven en formel, en metod eller liknande, utan att kunna sätta in det i ett sammanhang. Tyvärr gäller detta även universitetsstuderande. Därför utformades uppgifter där det krävdes av eleverna att de aktivt skulle leta reda på information och sätta in de teorier de studerade i ett sammanhang. Många studenter gör enkla algebraiska fel som inte kan tillskrivas epitetet slarvfel, utan är förståelsefel. De vanligast förekommande felen på tentamen på universitetets grundnivå är algebraiska förenklingar, inte fel på det specifika kursinnehållet. Som ett led i att utveckla algebraiska färdigheter tillät vi inte räknare på kursen, utan eleverna fick arbeta igenom förenklingarna för hand. NÄMNAREN NR 4 2002 45

Fria val av spår För att ytterligare entusiasmera eleverna fick de fritt välja bland de fem spåren. Eleverna har i grupper om tre till fyra valt en inriktning, ett spår. Alla spår har samma grundstruktur och alla elever arbetar med samma typ av frågeställningar trots att de arbetar med olika matematiska områden. De fem spåren var: 1 Fourierserier ingår ofta i kurser om Fourieranalys inom 21 40 poäng på universiteten. 2 Triangelgeometri ingår ofta i kurser om Algebra och geometri inom 21 40 poäng. 3 Kägelsnitt ingår oftast inte i kurser vid universiteten. 4 Medelvärden ingår ofta i kurser om Envariabelanalys inom 1 20 poäng. 5 Möbiusavbildningar ingår ofta i kurser Komplex analys inom 41 60 poäng. Vi valde dessa ämnen för att eleverna inte tidigare skulle ha stött på någon större del av innehållet. Varje spår bestod av tre delar: begreppsdel, uppgiftsdel och större uppgift. Hur dessa kunde se ut illustreras av exempel från spåret Möbiusavbildningar, se nästa sida. Uppgiftsdelen Uppgiftsdelen var individuell och omfattade lektioner under 10 timmar. Den hade två viktiga mål, att förbereda eleven för den större uppgiften och att eleven skulle träna att räkna med svårare algebraiska uttryck utan att specifikt sitta och öva på bara algebra. Uppgiftsdelen hänvisade generellt till kapitel och övningar i universitetslitteraturen för att tvinga eleverna att läsa igenom kapitlen och sedan lösa anvisade övningar. En stor skillnad gentemot gymnasielitteratur är den avsevärt mindre mängden övningar inom varje delområde. Eleven tvingas på så sätt att arbeta mer med förståelsen än med det mekaniska räknandet. Denna del redovisades genom att eleverna lämnade in sina lösta övningar. Den större uppgiften Den större uppgiften genomfördes i grupp under totalt 12 timmars lektioner. Målet var att eleverna skulle lösa mer omfattande problem. Ett delmål var att de skulle köra huvudet i väggen och få en uppgift som var så pass svår och omfattande att de inte löste den direkt. Vidare krävdes både muntlig och skriftlig redovisning samt att problemet studerades ur både ett historiskt och ett tillämpningsperspektiv. Begreppsdelen Denna del genomfördes i grupp och lektionerna omfattade 8 klocktimmar. Matematiska begrepp inom det område eleverna hade valt behandlades ingående. De ombads till exempel att med egna ord, dvs utan att studera litteraturen, beskriva vad en sats, ett bevis, en definition och ett axiom är. De fick formulera egna definitioner och jämföra med definitioner i litteraturen. De fick härleda, formulera och bevisa en sats. Här krävdes skriftlig redovisning från gruppen samt att alla hade deltagit aktivt i diskussionerna, som var många och livliga! 46 NÄMNAREN NR 4 2002

Begreppsdelen 1. Talen 0, 1, 2,... brukar kallas för naturliga. Om vi lägger till motsvarande negativa tal får vi heltalen som alltså är 0, +1, + 2,... Förklara med egna ord vad som menas med a. ett rationellt tal, b. ett reellt tal, c. ett imaginärt tal, d. ett komplext tal. Jämför dina beskrivningar med dem som finns i läroböcker för gymnasium och högskola. 2. Vad menas med en sats? 3. Vad menas med ett matematiskt bevis? 4. Beskriv skillnaden mellan en definition och en sats. 5. En definition inom komplexa tal behandlar vad man menar med konjugatet till ett komplext tal. Ge en sådan definition. Rita ett komplext tal samt konjugatet till samma komplexa tal och beskriv med egna ord vad det innebär. 6. Absolutbeloppet av ett komplext tal kan definieras på två olika sätt, antingen geometriskt eller algebraiskt. Ge båda definitionerna och bevisa att de är ekvivalenta. Uppgiftsdelen Vi använder boken Elementär algebra av Hellström, Johansson, Morander och Tengstrand. 1. Läs kapitel 7.1 7.2 och lös sedan övningarna 7.2 7.8 samt 7.12 i övningskap 7.6. Visa att z = 1 om och endast om z = 1/z Definition: En funktion ƒ för komplexa tal som är definierad genom ƒ(z) = az + b cz + d där a, b, c och d är givna komplexa tal, kallas för en Möbiusavbildning. Ett komplext tal z sägs avbildas på ƒ(z) av den givna funktionen. Det komplexa talet ƒ(z) kallas för bilden till z. 2. Bestäm bilderna ƒ(z) till a. z = 1 + 2i, b. z = 2 i, c. z = 3 + i, då ƒ (z) = z + 3 z 2 3. Vilken blir bilden till z =2 för samma funktion ƒ som ovan? Får vi samma bild om vi studerar ƒ (z) = z 3 z 2 Finn en definition som förklarar fenomenet. Den större uppgiften Denna uppgift är inte tänkt att redovisas på vanligt sätt, utan som en sammanhängande text. De frågor som ställs i nedanstående text ska alltså besvaras som en helhet och inte som deluppgifter. I rapporten ska ni ge en historisk återkoppling som sätter in de komplexa talen i sitt historiska sammanhang. Dessutom ska ni beskriva var och hur komplexa tal används idag. Följande frågor kan vara ett stöd för att ni ska kunna hitta information, men de ska inte besvaras i vanlig mening: I vilka sammanhang började man räkna med komplexa tal? Vilken eller vilka införde det komplexa talplanet? Vem var Möbius? Vad är han mer känd för? Var används komplexa tal idag? Hur används komplexa tal idag? Studera ekvationen zz + 2iz 2iz = 0 genom att låta z = a + ib och visa att de z som uppfyller ekvationen bildar en cirkel. Ange cirkelns mittpunkt och radie. Om ni vill kan ni visa det generella fallet: Låt w vara ett godtyckligt komplext tal. Visa att de z som uppfyller zz + wz + wz = 0 bildar en cirkel. Bestäm cirkelns mittpunkt och radie. NÄMNAREN NR 4 2002 47

Utvärdering Det är ovanligt att det finns minst två lärare och ibland tre i en så liten elevgrupp som 15 till 25 personer. Detta gav oss ett gyllene tillfälle att låta eleverna arbeta med vitt skilda områden samt att kraftigt skära ner på gemensamma genomgångar. En utvärdering gjordes för att utröna hur eleverna upplevde arbetssättet, eftersom detta skilde sig markant från det de var vana vid. Enkäten besvarades av 14 elever. Att eleverna generellt upplevde det som positivt att det presenterades ett antal olika spår som de fick välja mellan tyckte vi oss ha förstått. På frågan: Hur upplevde du att du fick välja mellan olika spår? svarade 10 st givande och bra, 3 st ganska bra och 1 st inte bra alls. Några av elevkommentarerna till denna fråga var: Bra att man fick välja det som verkade intressant. Man fick fördjupa sig i precis det man var intresserad av. En nackdel är att man inte kan diskutera med alla, men alla gör ju det de vill. En annan fråga i enkäten berörde hur motiverande eleverna fann arbetssättet. 6 elever uppgav positivt och 6 elever som vanligt, medan 2 elever svarat negativt. En elev skrev som kommentar: När det går bra blir man mer motiverad jämfört med när det går bra med vanligt arbetssätt. Kanske har att göra med att man känner att man själv presterar och inte läraren. Av samma anledning blir det tyngre när det går dåligt. Något som kunde vara intressant att veta var vad eleverna tyckte om frånvaron av traditionella genomgångar. En stor del, men inte en majoritet, anser det vara ineffektivt att själv läsa och sedan fråga handledaren för att få något förtydligat. Några representativa motiveringar som eleverna skrev till denna fråga var: Vid arbete i mindre grupper blir kommunikationen mellan handledare och elever mer åt båda hållen, jämfört med traditionell undervisning då kommunikationen oftast är från lärare till elev. Jag (vår grupp) har dålig självdisciplin. Jag tycker själva sökandet efter information känns ineffektivt. Om istället lärare lägger fram samma information direkt tjänar man tid. Lärarnas insikter och åsikter Speciellt i inledningsfasen fick vi bevittna och delta i många diskussioner om matematik, bl a när eleverna själva försökte definiera en punkt, en ellips osv. I dessa diskussioner gavs möjlighet att sväva ut och försöka hitta ett matematiskt uttryckssätt. Det var kul att höra så mycket matematik. Hur fungerade det då att inte ha genomgångar? Många elever upplevde det som relativt arbetsamt, vilket inte är så konstigt. Det är jobbigare att själv läsa och förstå något nytt, jämfört med att luta sig tillbaka och få allt presenterat för sig. Elevernas kommentarer stämmer väl med hur vi upplevde deras synpunkter under arbetets gång. En förklaring till dessa åsikter kan vara att en elev ju inte kan köra fast på en genomgång. Förstår eleven inte vad som sägs fortsätter ändå genomgången, vilket kan ge en falsk känsla av förståelse eftersom materialet ändå är genomgånget. Vi ville ha ett arbetssätt som påminner om högskolans. Även om det där förekommer en hel del genomgångar i form av föreläsningar är ändå självdisciplin och förmågan att själv ta till sig information tillsammans med andra studenter och handledare viktig. Vår uppfattning är att eleverna kanske lärde sig mer än de själva tyckte under denna fas. Det fungerade relativt bra att ha så få genomgångar, beroende på att vi hade en liten elevgrupp och dessutom var flera lärare. En lärare på 25 elever kan givetvis inte ge det individuella stöd som krävs om genomgångar tas bort. 48 NÄMNAREN NR 4 2002

Jag som universitetslärare förvånades av elevernas uppfattningsförmåga. De duktigare förstod materialet mycket bra och ställde en bit in i terminen frågor som inte var enkla att besvara. Vi uppfattade dessa elever som betydligt mognare än de flesta som börjar att läsa vid universitet. En anledning till det kan vara att de teknik- och matematikintensiva programmen inte lockar de allra duktigaste eleverna på samma sätt som ekonom-, läkar- och juristprogram. Sammantaget måste slutsatsen bli att kursen var mycket inspirerande och rolig för både elever och lärare. Vad har hänt efteråt? Av de elever som läste kursen vid Sunnerboskolan vt 2000, läste två en distanskurs i Algebra 10p, vid Växjö universitet, redan under våren. Båda studenterna klarade kursen utmärkt, en hade full poäng på tentamen. Under hösten läste fyra Analys 10p, på distans vid Växjö universitet. Dessa studenter var mycket duktiga och fick bra handledning inför sina framtida studier. Dessutom blir möjligheten att läsa vid universitetet redan under gymnasietiden en stor uppmuntran, som kan vidareutveckla deras matematiska intresse inför framtiden. Kan vi dra några slutsatser? Flera av eleverna som slutförde kursen förbättrade sina resultat under våren. En klar skillnad syntes både bland de mycket duktiga eleverna och bland de svagare. Kursen hade en spridning från IG(!) till MVG på tidigare matematikkurser. En viktig slutsats som vi drar är att de elever som får möjlighet till att läsa kurser som ligger på högre nivå/utanför de vanliga kurserna i allmänhet lyfter sig. Detta kan ha flera orsaker. En viktig faktor är att eleven känner sig speciell och privilegierad, en uppskattning som genererar ett större intresse. En stor del ligger i att läraren handleder genom att diskutera med eleverna, i grupp och enskilt. Att det kommer universitetslärare spelar också en stor roll, då detta höjer statusen på kursen. Utmaning inför framtiden Självklart är en kurs av det här slaget ett mycket bra sätt att handleda duktiga och intresserade matematikelever på gymnasiet. Det som krävs är en högskola som är villig att erbjuda lärarkompetens. Eftersom i princip alla högskolor har klagat på den bristande matematikkunskapen hos nybörjarstudenter borde det inte vålla några större problem. Dessutom får dessa lärare arbeta med entusiastiska elever, vilket är mycket roligt och inspirerande. Framtiden för gymnasieskolorna Vi är övertygade om att ett arbetssätt som det vi provat skapar ett väsentligt större intresse för matematik. Sverige måste konkurrera med kunskap, eftersom vi inte kan konkurrera med låga produktionskostnader. En viktig del i kunskapsbildandet är att ge den breda allmänheten möjlighet att skaffa tillräcklig kunskap. Men för att kunna konkurrera på en internationell marknad så krävs också en stor kunskapstopp. Vi har alla möjligheter att se till att våra duktiga elever får rätt handledning för att bilda den spetskompetens som krävs för ett framtida välmående Sverige. Vi tror att alla människor har samma värde, men inte samma förutsättningar att tillgodogöra sig teoretisk kunskap. Dagens gymnasieskola får i allt större grad ta emot elever från grundskolan med otillräckliga kunskaper, vilket självklart blir väldigt resurskrävande. Samtidigt finns en risk att man missar att ge duktiga elever de möjligheter som de behöver. Här kan ett tätare samarbete mellan universiteten och högskolorna å ena sidan och gymnasieskolorna å andra sidan ge det önskade resultatet. REFERENS Svensson, E. (2001). Kan algebra införas tidigare i grundskolan? Report 01042, MSI, Växjö universitet. NÄMNAREN NR 4 2002 49