November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

Relevanta dokument
November 6, { b1 = k a

November 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)

SF1624 Algebra och geometri

Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15.

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

SF1624 Algebra och geometri

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Preliminärt lösningsförslag

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

Slappdefinition. Räkning med vektorer. Bas och koordinater. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Vektorgeometri för gymnasister

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Linjär algebra I, vt 12 Vecko PM läsvecka 4

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010

GRAM-SCHMIDTS METOD ... Med hjälp av Gram-Schmidts metod kan vi omvandla n st. linjäroberoende vektorer. samma rum dvs som satisfierar

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Preliminärt lösningsförslag

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

Version Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

LYCKA TILL! kl 8 13

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

Vektorgeometri för gymnasister

SF1624 Algebra och geometri

Vektorgeometri för gymnasister

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Linjär algebra på några minuter

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

Preliminärt lösningsförslag

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll Lay, kapitel , Linjära ekvationer i linjär algebra

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Vektorgeometri för gymnasister

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

September 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

= ( 1) ( 1) = 4 0.

Preliminärt lösningsförslag

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

10.4. Linjära höljet LINJÄRA RUM

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl

SF1624 Algebra och geometri

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

6.4. Linjära ekvationssytem och matriser

Tentamen i ETE305 Linjär algebra , 8 13.

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X =

SF1624 Algebra och geometri

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Vektorgeometri för gymnasister

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Vektorgeometri för gymnasister

Transkript:

Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination + eventuell omnumrering av obekanta ingen bortkastning av rader bestående av nollor) transformerar C till en av följande matriser C = [A B ]: ) ) )................................................ en enda lsg. Obs det A =. k-parameter lsg. Obs det A =. k-kolonner efter sista ledande ettan inga lsgar alls. Obs det A =. Observation. det A om och endast om det A. Bevis: En elementär radoperation på en kvadratisk matris multiplicerar eventuellt matrisendeterminant med en konstant. Ett kolonnbyte vid en eventuell omnumrering av variabler) ändrar bara tecken på determinanten.

Sats. s. 7) Låt *) A X = B vara ett ekvssystem, där A är kvadratisk. i) Om det A så har *) precis en lsg. ii) Om det A = så har *) antingen ingen lsg eller oändligt många lsgar. Exempel. Betrakta systemet: { x + k y = k x + 4 y =. För vilka reella k har systemet precis en lsg, inga lsgar, oändligt många lsgar? Lsg: det A = 4 k. Ekv 4 k = har två lsgar: k = och k =. i) Om k, det A så har systemet precis en lsg. ) ii) Om k = så är ) 4 +) ) iii) Om k = så är 4 ) ) +) oändligt många lsgar; ) inga lsgar. Obs Varje homogent ekvssystem A X = har alltid minst en lsg, den triviala lsgen X = ). Följd. s. 7) Låt **) A X = vara ett homogent ekvssystem, där A är kvadratisk. i) Om det A så har **) precis en lsg, X =. ii) Om det A = så har **) oändligt många lsgar. x + y + z = Avgör om systemet x + y 5 z = x + y z = har fler än en lsg. Lsg: Obs det =. Så systemet har oändligt många lsgar. Några påståenden till om allmäna ekvssystem: Låt *) A X = B och **) A X =, där A är av typ m n). ) *) har lsgar om och endast om B kolonnrummet till A. ) Om X är en lsg till *) och Y är en lsg till **) så är X + Y en lsg till *). Dessutom om X är en lsg till *) så är X X en lsg till **).

Linjärt beroende och oberoende vektorer. Bas. Dimension. Definition s. 85). Låt V vara ett vektorrum till ex. R n ). Vektorerna a, a,..., a n är linjärt oberoende om ekv x a +... + x n a = m a p x,..., x n har precis en lsg: x =... = x n = den triviala lsgen). Annars säger man att vektorerna är linjärt beroende. ) En nollskild vektor a bildar ett linjärt oberoende system ty x a = om och endast om x =. ) Paret, a bildar ett linjärt beroende system ty + a =. Sats: Vektorerna a, a,..., a n är linjärt beroende om och endast om en av vektorerna kan skrivas som en linjär kombination av övriga. ) två parallella vektorer i planet är linjärt beroende; ) två icke-parallella vektorer i planet är linjärt oberoende; ) tre vektorer i rummet som ligger i samma plan är linjärt beroende; 4) tre vektorer i rummet som inte ligger i samma plan är linjärt oberoende. Undersök om vektorerna a = beroende., a =, a = är linjärt Lsg. Ställ upp ekv x a + x a + x a =, skriv om denna på koordinat form som ett ekvationssystem och lägg märke till att ekvssystemmatrisen A = har det A. Så systemet A X = har en enda lsg. Detta medför att vektorerna är linjärt oberoende. Låt vektorerna a, a,..., a n vara från rummet R m, där n > m. Då bidar vektorerna alltid ett linjärt beroende system.

Definition s. 88). Vektorerna a, a,..., a n utgör en bas för rummet V om i) a, a,..., a n är linjärt oberoende; ii) varje vektor v V kan skrivas som en linjär kombination av a, a,..., a n d v s v = k a + k a +... + k n a n. man säger att a, a,..., a n spänner upp V ) Koefficienterna k, k,..., k n entydigt bestämda de är koordinaterna för vektorn v i basen a, a,..., a n s. 89). ) två icke-parallella vektorer i planet utgör en bas i planet; ) tre vektorer i rummet som inte ligger i samma plan utgör en bas i rummet; ) vektorerna a =, a = finn koordinaterna av vektorn v = 4) vektorerna a =, a =, a = 4 6 utgör en bas i rummet; i denna bas. Svar,,., a =, a 4 utgör ingen bas i rummet. Sats: Vektorerna a, a,..., a k utgör en bas för rummet R n om och endast om k = n och det[a, a,..., a n ]. Standardbasen i R n. Finn en bas för underrummet W = {x : x + x x + 4x 4 =, x + x 4x x 4 = } av rummet R 4. Svar: v =, v = 9 5. 4

Sats: Antalet element i olika baser för rummet V är samma tal om det finns en ändlig bas i rummet). Detta tal kallas för dimensionen av V och betecknas dim V. dim R n = n och dim W =. Låt A vara en matris av typ m n med kolonnerna k, k,..., k n. Gausselimination transformerar A till en trappformad matris A. Låt i,..., i p vara numren på kolonnerna i A med ledande ettor. Då utgör kolonnerna k i, k i,..., k ip en bas för kolonnrummet till A. Således är dim kolonnrummet till A) = p. Obs dimnollrummet till A) = n p antalet av parametrar i lsgsmängden till ekv AX = ). Fråga: Hur hittar man en bas för radrummet till A? Svar: till ex. betrakta A t och handla som ovan. Obs dimradrummet tilla) = p. Exempel. Betrakta vektorer a, a,..., a k i R n. Samtliga linjär kombinationer av vektorerna bildar ett underrum V till R n. Bestäm dim V. Lsg. Bilda en n k)-matris A av vektorerna så att :a kolonnen är vektorn a, :a kolonnen vektorn a o s v. Obs kolonnrummet till A är underrummet V. 5