Föreläsningar 1 / 16 TSRT91 glerteknik: Föreläsning 4 Martin Enqvist glerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering. 3 Specifikationer. Rotort. 4 Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning. 5 Tidsdiskreta system. 6 Specifikationer i frekvensplanet. 7 Kompensering i bodediagram. 8 Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet. 9 gulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning. 1 Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet. 11 Återkoppling, polplacering, LQ-optimering. 12 konstruktion av tillstånd, observatörer. 13 Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning. petition: Rotort 2 / 16 petition: Rotort 3 / 16 Plotta rötterna till ekvationen P (s) + KQ(s) = som funktion av K, K <. Ekvationen innehåller två polynom Plotta rötterna till ekvationen som funktion av K, K <. P (s) + KQ(s) = Använd rotorten för att hitta lämpliga värden på K eller för att förstå vilka olika egenskaper man får när man varierar K. P (s) = (s p 1 )(s p 2 )... (s p n ), Q(s) = (s q 1 )(s q 2 )... (s q m ), sultat: n grenar, med symmetri m.a.p. reella axeln K = : nollställena p i till P (s) (n st): startpunkter K = : nollställen q i till Q(s) (m st): ändpunkter n m asymptoter i riktningarna och n m π/(n m), 3π/(n m),... Delar av reella axeln med udda antal reella start- och ändpunkter till höger tillhör rotorten. Stabilitetsgräns: Skärning med imaginäraxeln
petition: Rotort... 4 / 16 Vem var Nyquist? 5 / 16 Root Locus aginary Axis (seconds ) 3 2 1 2 Harry Nyquist (1889-1976) Född i Värmland 1889 Emigrerade till USA 197 Doktorerade vid Yale 1917 Presenterade sitt stabilitetskriterium 1932 Många andra viktiga resultat: samplingsteorem, termiskt brus, telekommunikation, television 3 6 5 4 3 2 1 2 3 al Axis (seconds ) Harry Nyquist Foto: Wikipedia Argumentvariationsprincipen 6 / 16 Nyquistkriteriet 7 / 16 Ett matematiskt verktyg: Argumentvariationsprincipen Kurvan som används i nyquistkriteriet: Antag att f(z) är en analytisk funktion i ett öppet område Ω så när som på ett ändligt antal poler är en kurva i Ω som omsluter P poler och N nollställen enkelt Då gäller att n 1 n 5 n 2 p 2 p 1 n 4 n 3 r R N P = 1 2π var arg f(z)
Nyquistkriteriet... 8 / 16 Nyquistkriteriet... 9 / 16 När s genomlöper kommer G o (s) att genomlöpa : ϕ Nyquistkriteriet: Antalet poler i höger halvplan till det återkopplade systemet G o /(1 + G o ) är lika med antalet poler i höger halvplan hos G o plus antalet varv som kurvan omsluter punkten. OBS: Antalet varv måste räknas med tecken, med moturs som positiv omloppsriktning. = G o () Specialfall: Om G o saknar poler i höger halvplan blir stabilitetskriteriet att punkten inte får omslutas av kurvan. Exempel: Stabil kretsförstärkning 1 / 16 Nyquistkriteriet... 11 / 16 Nyquist Diagram 1 Nyquistkurvan: Kurvan som ges av G o (iω) när ω går från noll till oändligheten.5 aginary Axis.5 Förenklat nyquistkriterium: Om G o saknar poler i höger halvplan är det återkopplade systemet G o /(1 + G o ) insignal-utsignal-stabilt om och endast om punkten ligger till vänster om nyquistkurvan..8.6.4.2.2.4.6 al Axis
Frekvenssvaret 12 / 16 Vem var Bode? 13 / 16 Antag att insignalen till ett insignal-utsignal-stabilt system som beskrivs av G(s) är u(t) = sin(ωt) och att den har varit det oändligt länge (så att alla transienter har klingat ut). Då är utsignalen från systemet y(t) = G(iω) sin(ωt + arg(g(iω))) Ett bodediagram är en plott av frekvenssvaret G(iω). Hendrik Wade Bode (195-1982) Född i Wisconsin i USA 195 Doktorerade vid Colombia University 1935 Utvecklade bodediagrammet 1938 Många bidrag inom reglerteknik (bl.a. målföljning) och telekommunikation Hendrik Wade Bode Foto: Wikipedia Exempel: Bodediagram 14 / 16 Exempel: Bodediagram... 15 / 16 Bode Diagram Bode Diagram Magnitude (db) 5 5 2 25 3 35 4 45 Magnitude (db) 6 5 4 3 2 1 2 Phase (deg) 45 Phase (deg) 45 9 35 9 1 3 1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 Frequency (rad/sec) 8 1 3 1 2 1 1 1 1 Frequency (rad/sec)
Sammanfattning 16 / 16 Nyquistkriteriet: Ett verktyg för att analysera stabilitet för ett slutet system givet kretsförstärkningen G o (s). Nyquistdiagram, nyquistkurva: Plott av G o (iω) som kurva i det komplexa talplanet. Bodediagram: Plott av G o (iω) och arg(g o (iω)) som funktioner av ω i varsitt diagram. www.liu.se