Föreläsningar / TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 2 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering. 3 Specifikationer. Rotort. 4 Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning. Tidsdiskreta system. 6 Specifikationer i frekvensplanet. 7 Kompensering i bodediagram. 8 Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet. 9 Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning. Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet. Återkoppling, polplacering, LQ-optimering. 2 Rekonstruktion av tillstånd, observatörer. 3 Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning. Repetition: Reglerproblemet 2 / Exempel: Temperaturreglering 3 / En enkel modell av temperaturen i ett hus: Välj styrsignalen u(t) så att systemet S (enligt mätsignalen y(t)) beter sig som önskat (referenssignalen r(t)) trots inverkan av störningar v(t). u S v y Här är cẏ(t) = u(t) d(y(t) v(t)) y(t) = temperaturen i huset [grader C eller K] u(t) = värmeelementens effekt [W] Här tittar vi i första hand på linjära, dynamiska system. v(t) = utomhustemperaturen [grader C eller K] c = husets värmekapacitet [J/K] d = värmeövergångstalet för väggarna [W/K]
Repetition: & P-reglering 4 / Repetition: P-reglering: Normal utomhustemp. / (styrning utan hjälp av mätningar): Är känslig för störningar och modellfel. P-reglering u(t) = K P (r(t) y(t)): Fungerar skapligt och kan t.ex. göra systemet snabbare. Ger ofta ett stationärt fel. Om detta fel ska bli litet måste K P vara stort (stora styrsignaler krävs). 2 8 6 4 2 8 6 4 2 Temperaturreglering, P reglering (r=2, v=, d=2) Kp= Kp= 2 3 4 6 7 PI-reglering: Normal utomhustemperatur 6 / PI-reglering: Låg utomhustemperatur 7 / 2 Temperaturreglering, PI reglering (r=2, v=, d=2) Kp=6, Ki= 2 Temperaturreglering, PI reglering (r=2, v=, d=2) Kp=6, Ki= 2 2 2 3 4 6 7 2 3 4 6 7
PI-reglering: Normal utomhustemperatur 8 / PI-reglering 9 / 3 2 Temperaturreglering, PI reglering (r=2, v=, d=2) Kp=6, Ki=6 2 I-delen: Eliminerar ofta stegstörningar och stationära fel. Kan göra systemet mer oscillativt. 2 3 4 6 7 8 PID-reglering: Normal utomhustemperatur / PID-reglering / 3 2 2 Temperaturreglering, PID reglering (r=2, v=, d=2) Kp=6, Ki=6 Kp=6, Ki=6, Kd=4 D-delen: Minskar ofta överslängen i stegsvaret. Gör systemet mer känsligt för mätbrus. Kan inte implementeras exakt. 2 3 4 6 7 8
Stegsvar och rampsvar 2 / Inställningsregler för PID-regulatorer 3 / Ett systems stegsvar är den utsignal som man erhåller då insignalen är ett steg: {, t < u(t) =, t Ett systems rampsvar är den utsignal som man erhåller då insignalen är en ramp: {, t < u(t) = t, t Man kan ställa in PID-regulatorer även om man inte har en matematisk modell eller förkunskaper om systemet:. Bestäm en enkel modell m.h.a. ett experiment: Stegsvarsexperiment Självsvängningsexperiment (P-reglering med så stort K P att systemet självsvänger) 2. Ställ in PID-parametrarna genom att använda någon inställningsregel, t.ex.: Ziegler-Nichols Åström-Hägglund Två typer av reglerproblem 4 / Instabilitet / Ett försök till PI-reglering av en satellits position: Servoproblemet: Systemets utsignal ska följa en given referenssignal så bra som möjligt. (T.ex.: Industrirobotar) Regulatorproblemet: Systemets utsignal ska hållas konstant trots att det finns störningar som påverkar systemet. (T.ex.: Nivåreglering i en tank) 2 2 4 6 8
Stabilitet 6 / Laplacetransformen 7 / Ett alternativ till att arbeta direkt med differentialekvationer är att använda laplacetransformen: Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. Y (s) = L[y(t)](s) = y(t)e st dt (s = σ + iω) Fördel: Underlättar många beräkningar som t.ex. derivering, integrering och faltning. Laplacetransformen... 8 / Överföringsfunktion 9 / Några egenskaper: L{ t L{af(t) + bg(t)} = af (s) + bg(s) L{ L{ d f(t)} = sf (s) f() dt t f(τ) dτ} = s F (s) L{f(t L)} = e sl F (s) f(t τ)g(τ) dτ} = F (s)g(s) Slutvärdesteoremet (om f(t) konvergerar): lim f(t) = lim sf (s) t s Betrakta en differentialekvation d n dt n y(t) + a d n dt n y(t) +... + a d m ny(t) = b dt m u(t) +... + b mu(t) Laplacetransformering ger (om alla initialvillkor är noll) där Y (s) = G(s) = är systemets överföringsfunktion. b s m +... + b m s n + a s n +... + a n U(s) b s m +... + b m s n + a s n +... + a n
Poler och nollställen 2 / Stabilitet 2 / Överföringsfunktion: G(s) = Systemets poler: Rötterna till A(s) = b s m +... + b m s n + a s n = B(s) +... + a n A(s) Systemets nollställen: Rötterna till B(s) = Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. Ett system med proper överföringsfunktion G(s) är insignal-utsignalstabilt om och endast om alla poler till G(s) har strikt negativa realdelar. (proper = nämnarpolynomets gradtal täljarpolynomets gradtal) Poler och stegsvar 22 / Tidskonstant 23 / Stegsvar från första T = T = 2 T = 3 st +.9.8.7.6..4.3.2. 2 4 6 8 Parametern T i G(s) = st + är ett mått på systemets snabbhet och kallas för tidskonstant. Tidskonstanten är den tid det tar för stegsvaret att nå 63% av slutvärdet. (Denna definition gäller även för system av högre ordning.)
Poler och stegsvar... 24 / Poler och stegsvar... 2 /.9.8 Stegsvar från andra 2 (s + )(s + 2).7.6..4.3 Stegsvar från andra 2 (s )(s + 2).2. 2 4 6 8 2 4 6 8 Poler och stegsvar... 26 / Poler och stegsvar... 27 / Stegsvar från andra ω 2 s 2 + 2ζω s + ω 2.6.4.2 Stegsvar från andra 4 3 2.8 ω 2 ζ = ζ =.6 ζ =.2 (ω = ).6.4.2 2 4 6 8 s 2 + 2ζω s + ω 2 (ω = 3, ζ =.2) 2 2 4 6 8
Poler och stegsvar Sammanfattning 28 / Sammanfattning 29 / En pol (eller flera) i högra halvplanet ger ett instabilt system. Alla poler i vänster halvplan ger ett stabilt system. De poler som är närmast origo dominerar (oftast) dynamiken. (De långsammaste polerna bestämmer mest.) Dominerande poler långt från origo ger ett snabbt system. Dominerande poler med stor imaginärdel (jämfört med realdelen) ger ett oscillativt (slängigt) system. P-, PI- och PID-reglering I-delen eliminerar ofta stegstörningar och stationära fel men kan göra systemet mer oscillativt D-delen har en dämpande inverkan men kan göra systemet mer känsligt för mätbrus Insignal-utsignalstabilitet Överföringsfunktioner Nollställen Poler och deras koppling till stegsvaret www.liu.se