Dedekinds snitt definierar de reella talen

Fakulteten för teknik- och naturvetenskap Maria Lundqvist Dedekinds snitt definierar de reella talen Dedekind cuts define the real numbers Matematik C-uppsats Datum/Termin: 7-3-6/VT-7 Handledare: Thomas Martinsson Examinator: Martin Brundin Karlstads universitet 65 88 Karlstad Tfn 54-7 Fax 54-7 4 6 Information@kau.se www.kau.se

Sammanfattning Dedekinds snitt definierar de reella talen Uppsatsen riktar sig till personer som har läst minst en termin matematik på universitetet. Det var först på mitten av 8-talet som man kunde ge en godtagbar definition för de irrationella talen, typ. Dessa hade sedan länge använts ändå bland annat i Babylonien, Indien och Kina. Uppsatsens inledningskapitel ger en snabb historielektion i form av en genomgång av räkningen och användandet av främst. Huvuddelen av uppsatsen är en redogörelse för metoden Dedekinds snitt, vilken är den mest kända av de metoder som definierar de irrationella talen. Utan de irrationella talen skulle det vara omöjligt att använda supremumegenskapen och de, inom matematiken, klassiska satserna som mellanliggande värde. Sidan av 3

Innehållsföreteckning Dedekinds snitt definierar de reella talen Sammanfattning... Inledning... 4. Historik... 4.. Babylonien... 4.. Indien... 6..3 Kina... 6..4 Grekland med Alexandria... 7..5 Orienten och medeltida Europa... 7. Dedekind och de irrationella talens bevisning... 7.3 Satsen om mellanliggande värde gäller ej... 8.4 Förklaringar till symboler och begrepp... 9 De reella talen.... Dedekinds snitt.... Några grundläggande satser i envariabelanalys... 7 Litteraturförteckning... 3 Sidan 3 av 3

Inledning Uppsatsen riktar sig till personer som har läst minst en termin (A-nivå) matematik på universitetet. Arbetet är indelat i två kapitel. Det första är detta inledningskapitel medan kapitel två är själva huvuddelen av uppsatsen. Inledningskapitlet är i sig indelat i olika delkapitel, med fokusering på historia. Det är uppdelat i kortare avsnitt, vilka är indelade efter geografiskt område och placerade i någorlunda åldersordning. I avsnitten visas hur man räknat kvadratrötter, främst, och hur man hanterat de irrationella talen. Efter denna historik kommer information om hur Dedekind löste problemet med att ge de irrationella talen en klar definition. Här finns även exempel som visar varför de irrationella talen behövs. Som avslutning på inledningskapitlet kommer en förteckning över använda symboler och dylikt. I detta kapitel finns flera olika varianter av fotnoter. Främst sådana som ger information om källan till texten och sådana som ger mer information om nämnda personer. Det finns även noter som förklarar ord, som ger lite mer information och som hänvisar till litteratur för vidare läsning. Årtal är efter Kristus om inget annat nämns. Huvuddelen är som sagt kapitel två och här är det mesta hämtat från boken Introduction to Real Analysis av Michael J. Schramm. Kapitlet har, för förståelse och bättre beskrivning, utökats med satser och definitioner från annan litteratur. För fullständig information om vilken litteratur som använts hänvisas läsaren till litteraturförteckningen sist i uppsatsen. De fotnoter som finns i denna del är ordförklaringar och hänvisningar till litteratur för vidare läsning.. Historik Behovet av att räkna ut längden av diagonalen i en kvadrat har funnits länge. I de fyra tongivande kulturområdena Babylonien, Egypten, Indien & Kina fanns framstående matematiker som använde sig av metoder som liknar den som vi idag kallar Pythagoras sats. Men de saknade kunskap om de irrationella talen och använde sig av bråkhantering och fick närmevärden med vilka de kom riktigt nära. I Egypten och Babylonien hade man tabeller med kvadrater och kvadratrötter, dock var det endast av de irrationella talen som var med. Troligtvis för att det är ett så vanligt förekommande tal, då diagonalen i en kvadrat alltid är kvadratens sida multiplicerat med just... Babylonien Babylonierna hade en metod för att bestämma kvadratrötter och i de fall de var irrationella användes ett närmevärde. Deras värde för ; 4 5 vilket är skrivet sexagesimalt (med basen 6). Räknar man om det decimalt (med basen tio) får man att 4 5 = + + +, 44, där 5 decimaler är signifikanta. 3 6 6 6 Richard Dedekind tysk matematiker som levde 83-96. Babylonierna skrev med kilskrift och använde inget tecken, typ semikolon eller kommatecken, för att markera siffrornas position, utan placerade bara ut dem i positionsordning. Sammanhanget fick ge positionsbetydelsen. Sidan 4 av 3

Den algoritm de använde för att få fram detta närmevärde är den vi idag brukar kalla Newton- Raphsons metod. En metod där man genom successiva approximationer bestämmer närmevärden till rötterna för ekvationen f ( x) =. Vilket för kan medföra att man utgår ifrån < <. + 3 Då väljs första närmevärdet som medelvärdet till och, det vill säga =. Eftersom = kan vi skriva om det som att a b =, vilket medför att om a > så är b < och om a < så är b >. 3 Om vi nu säger att a är första närmevärdet, alltså a = > så måste b <. 4 Av a b = får vi att b =. Sätter vi nu in närmevärdet får vi att b = = = <. a 3 3 3 4 3 Vi har nu < <. 3 Vi väljer nu medelvärdet till 3 4 och 3 som nästa närmevärde, vilket är 3 4 + 3 = 7 =,466... alltså på god väg mot =,44.... Med babyloniernas skrivsätt blir ; 4 5. a = a + + a a = = = ; 3 =, 5 a + ; 3 + a ; 3 7 a = = = ; 5 =, 4666667 a + ; 5 + a ; 5 577 a 3 = = = ; 4 5 =, 445686 48 Med dagens beteckningar kan vi beskriva den algoritm babylonierna använde för att beräkna a för a >. Startvärdet kallar vi, medan a är det tal vi söker roten till. Eftersom a a = a väljer vi a a a a = + a a och allmänt a bättre approximation för a än a k, där k =,, 3,.... k a = + k ak a som är en Sidan 5 av 3

.. Indien Det finns två skriftserier i Indien, Sulvasutra och Siddhanta. Det finns flera versioner av båda och de är inte i första hand av matematisk karaktär, men ändå källor till den indiska matematiken. I skrifterna finns inga bevis, utan man visar hur man räknar med olika matematiska regler. Här finns heller ingen definition av begreppet irrationella tal, men man räknade med samma räkneregler för dessa som för heltal, och man accepterade bland annat kvadratrötter som lösningar. Sulvasutra 3 kan översättas med Manual om repsträckning och skrevs omkring 5- f. Kr. Det är främst en handledning för konstruktion av altare men innehåller en del matematiska regler. Handledningen består av flera skrifter. I en av dem finns det med hur man beräknar diagonalen i en kvadrat med sidan längdenhet. Man förlänger måttet med en tredjedel och sedan med en fjärdedel av den senare och förminskar med en trettiofjärdedel av nämnda fjärdedel. 4 Skrivet decimalt (med basen ) ger detta ett närmevärde vilket, skrivet som stambråk, 577 + + = ger decimalutvecklingen,44 (där alla fem decimaler 3 4 3 34 4 3 48 är korrekta)...3 Kina Under tredje århundradet f. Kr. fanns i Kina en praktisk handbok Nio kapitel för arkitekter, ingenjörer, köpmän och offentliga befattningshavare. Boken saknar bevis men har en mängd problem som hjälper läsaren. I första kapitlet finns bland annat areamätning och i kapitel fyra 3 beräknas kvadrat- och kubikrötter där man löser ekvationer som x = a och x = b. Metoden som användes generaliserades av den kinesiska matematikern Chhin 5 till allmänna andra- och tredjegradsekvationer i en avhandling som gavs ut år 47. Metoden återupptäcktes år 89 av Horner 6 och omnämns därför numer som Horners metod 7. Metoden för att räkna roten ur beskrivs nedan 8. Vi skall beräkna 784, med andra ord så gäller det att hitta den positiva lösningen till ekvationen x 784 =. Metoden man använder sig av är lite av en försöksmetod där man testar olika värden. Tar man x = är vänsterledet negativt medan det för x = 3 är positivt. Roten ligger alltså mellan och 3. Därför tar vi nu och sätter y = x det vill säga x = y + och sätter in det i den ekvation vi vill lösa och får y + 4y 384 =. För denna nya ekvation kan man konstatera att roten ligger mellan 6 och 7. Av detta får vi ekvationen z = y 6, som vi omformulerar till y = z + 6. Detta sätts in i andragradsekvationen, vilket ger z + 5z 44 =. 3 Stavas ibland Sulbasutra. 4 Thompson (99) s. 5-6 5 Chhin Chiu-Shao kinesisk matematiker som levde på -talet. 6 William George Horner engelsk skollärare och rektor som levde 786-837. 7 för mer information om och räkning med Horners metod hänvisar jag till Thompson (99) s. 54-6. 8 hämtat från Matematiklexikon (99) s. 9. Sidan 6 av 3

När man söker gränser på samma sätt som ovan visar det sig att denna ekvation endast ger en rot, vilken är z = 8. Detta ger att y = 8 + 6 = 68 och att x = 68 + = 68 och därigenom är alltså 784 = 68. Exakt hur kineserna räknade ut låter jag vara osagt. En möjlig metod för att få fram detta tal, men ändå använda metoden ovan, är att istället beräkna och sedan dividera svaret med...4 Grekland med Alexandria Under antiken kände man till bråkbegreppet och de tal vi idag benämner som de rationella m talen (de som kan skrivas som en kvot av heltal där n ). Men Euklides 9 visade år 35 n m m f. Kr. att ekvationen m = n, som kan skrivas = eller =, saknade heltalslösning. Därmed finns inget rationellt tal vars kvadrat var. n n Aristoteles hade ställt kravet att det i varje vetenskap värd namnet skall finnas hypoteser som garanterar existens av ingående begrepp, vilket medförde att inte kunde accepteras som ett tal av honom eller övriga greker. Man var dock tvungen att använda talet som om det existerade...5 Orienten och medeltida Europa De arabiska insatserna inom matematiken var främst att de översatte de grekiska och indiska verken från originalspråken till arabiska. Arbetet startade på 8-talet och medförde att texterna räddades till eftervärlden. Från mitten av -talet spreds översättningarna till Europa där texterna översattes till latin. På 6-talet skapade matematikerna den symboliska abstraktionen, som kom att utvecklas till den moderna algebran. I motsats till grekerna men i likhet med indierna fortsatte man som araberna redan gjort att använda som ett definierat tal (med andra ord som om det vore rationellt).. Dedekind och de irrationella talens bevisning Det var först i slutet av 8-talet som och alla de andra irrationella talen skulle komma att definieras. Det kom som en del av den utveckling som följde efter att matematikerna börjat bekymra sig över att grundläggande begrepp inte var klart definierade. Bland annat saknade man en fast grund för de irrationella talen. 9 Euklides grekisk matematiker verksam omkring 3 f. Kr. Olsson (999) s. 99 Aristoteles grekisk (natur-) filosof som levde 384-3 f. Kr. Thompson (99) s. 5. Sidan 7 av 3

Den fasta grunden kom dock till slut genom att den tyske matematikern Richard Dedekind definierade de reella talen. Metoden kallas Dedekinds snitt och publicerades år 87 i Stetigkeit und irrationale Zahlen 3 där han karakteriserade de irrationella talen vilket blir starten för denna uppsats (kapitel ). Till sin hjälp för att finna lösningen på problemet använde sig Dedekind av Eudoxos 4 definition av proportionalitet för inkommensurabla 5 storheter. Denna ger att två irrationella tal ξ och η är lika, om och endast om för varje rationellt tal n m gäller: m m m m < ξ < η och > ξ > η. Detta innebär att varje irrationellt tal ξ entydigt n n n n bestäms av två klasser av rationella tal, / / de mindre än ξ och de större än ξ. 6 Dedekind var dock inte den ende som bevisade de reella talen. Samma år kom även Cantor 7 med en definition 8. Landsmannen Hilbert 9 publicerade år 899 den axiomatiska metoden för att framställa det reella talsystemet. Ett exempel på att matematikerna var i behov av de irrationella talen kan ges genom att nämna det som drabbade Cauchy. När han skulle bevisa sin allmänna konvergensprincip blev det inte helt rätt. Han insåg inte att beviset kräver mer kunskap om de reella talens egenskaper än vad man kände till vid den tiden, däribland existensen av supremum för en uppåt begränsad talmängd. Först när man har en matematisk korrekt definition av de reella talen och därmed existensen av supremum kan hans konvergensprincip bevisas (vi återkommer till detta i samband med sats :). 3.3 Satsen om mellanliggande värde gäller ej Dedekind täppte med sitt snitt igen hålen på tallinjen så att man kan bevisa satsen om mellanliggande värde. Det är en sats man lär sig använda på gymnasiet, men som inte förklaras förrän man läser matematik på universitetet. Satsen om mellanliggande värde visar att en ekvation har en lösning och anger ett område där lösningen finns. Observera Låt f : Q Q vara given som f ( x) = x. Trots att f är kontinuerlig, negativ i x = och positiv i x =, så är f inte noll i något element på domänen, eftersom är irrationellt. 3 Översatt till svenska blir titeln Beständighet och irrationella tal. 4 Eudoxos grekisk matematiker som levde omkring 48-355 f. Kr. 5 Inkommensurabla = saknar ett gemensamt mått. 6 Sjöberg (995) s. 86 7 Georg Cantor tysk matematiker som levde 845-98. 8 för mer information se Sjöberg (995) s. 87. 9 David Hilbert tysk matematiker som levde 86-943. för mer information se Sjöberg (995) s. 87-88. Augustin Louis Cauchy fransk matematiker som levde 789-857. för mer information om Cauchys konvergensprincip hänvisar jag till Parzynski & Zipse (987) s. 49-5. 3 Sjöberg (995) s. 83-86. Sidan 8 av 3

Detta visar att satsen om mellanliggande värde enbart är sann då vi arbetar med funktioner av reella tal. Om man bara använder de rationella talen (vilka var de enda tal som de tidigare civilisationerna kände till) kan man inte lösa en så enkel ekvation som x =. Vi återkommer till detta i delkapitel., efter att vi visat att de irrationella talen existerar..4 Förklaringar till symboler och begrepp N Naturliga tal {,,, 3, } Z Hela tal {, -3, -, -,,,, 3, } R Reella tal Q Rationella tal (av latinets ratio som betyder kvot) Betecknar tal som kan skrivas som ett bråktal a av två heltal ( a, b Z ; b ), vars b decimalutveckling är periodisk. Q är en delmängd till R ( Q R ) varför det finns reella tal som inte hör till Q ( R \ Q), de kallas irrationella tal. Till dessa hör för att nämna de vanligaste, e och π. Q Q och R R läses från till union ex: A B = mängden element som tillhör minst en av A och B. snittet ex: A B = mängden element som tillhör både A och B. \ differens ex: A \ B = mängden element som tillhör A men inte B. delmängd i ex: A B = alla element i A finns i B har som delmängd ex: A B = alla element i B finns i A ( a, b) öppet intervall [ a, b) halvöppet intervall ( a, b] halvöppet intervall [ a, b] stängt intervall tomma mängden (innehåller ingenting) {}... mängdklamrar det finns, existerar för alla, för varje medför ekvivalent med skilt från : sådant att tillhör tillhör inte < mindre än > större än mindre än eller lika med större än eller lika med Sidan 9 av 3

De reella talen Detta är själva huvuddelen av uppsatsen och är i sig indelad i två delkapitel. Vi startar med Dedekinds snitt, som hjälper oss att identifiera alla reella tal (alltså både de irrationella och rationella talen). Dedekinds idé är att låta vissa delmängder av Q, som han kallade snitt, vara de objekt som skall definiera de reella talen. Han definierade och bevisade därför räkneregler för dessa snitt. Delkapitlet avslutas med supremumegenskapen, vilken används i det andra delkapitlet för att bevisa några av de grundläggande satserna inom matematiken.. Dedekinds snitt För att få de reella talen används metoden med Dedekinds snitt. Vi antar att alla de rationella talen är kända, men att de irrationella ännu inte är definierade. Definition : En mängd C, som är en delmängd till de rationella talen Q, är ett snitt om den uppfyller följande tre krav: I. att C Q och C Det vill säga C måste innehålla minst ett rationellt tal, men inte alla rationella tal. II. om p C och q p och q C Det vill säga mängden C har inget största rationellt tal. Vi kallar mängden av alla snitt för D, som sedan identifieras med mängden av alla reella tal efter att vi definierat addition, ordning och multiplikation för snitt. Innan vi går vidare måste vi definiera att tal och snitt hänger ihop. Definition : För varje rationellt tal p definieras snittet p = { q Q : q < p} alla negativa rationella tal. *. Speciellt är * mängden av Varje p Q ger upphov till ett snitt p *. Med andra ord varje rationellt tal motsvarar ett snitt. Men notera att varje snitt inte ger ett rationellt tal. Sidan av 3

Eftersom tanken är att bevisa att de reella talen existerar, så vill vi att R = D. Med andra ord kan vi säga att vi vill visa att R (och därmed D) är en utvidgning av de rationella talen Q. För att de skall kunna vara det måste R ha samma egenskaper som Q, man skall alltså kunna använda samma räkneregler för dem. För att visa att detta är möjligt måste vi visa att D är en kropp och för det måste följande nio villkor vara uppfyllda. Definition :3. ( a + b) + c = a + ( b + c) associativ för addition. : a + = + a = a a är additivt neutralt element 3. { a ( a) : a + ( a) = } additiv invers 4. a + b = b + a addition är kommutativ 5. ( a b) c = a ( b c) associativ under multiplikation 6. a ( b + c) = ab + ac distributiv för addition 7. a b = b a kommutativ under multiplikation 8. : a = a = a a är multiplikativt neutralt element 9. a a : a a = multiplikativ invers (det vill säga saknar nolldelare ) Anmärkning: Om villkor -3 gäller kallas mängden en Grupp och ihop med villkor 4 kallas den en Abelsk Grupp. Lägger man även till villkoren 5 och 6 benämns den som en Ring. Uppfylls även villkor 7 blir det en Kommutativ Ring och villkor 8 gör det till en Kommutativ Ring med Etta. När alla 9 villkoren är uppfyllda kallas mängden en Kropp. För att kunna visa att D är en kropp måste vi först definiera addition av snitt och visa att även det är ett snitt. Definition :4 Om A och B är snitt, definieras deras summa A + B = p + q : p A och q B. { } A + B som Notera att p * + q* = ( p + q)* för alla p, q Q. Sats : Om A och B är snitt så är även A + B ett snitt. För att bevisa detta måste de tre kraven i definition : visas vara uppfyllda. I. A och B måste innehålla något element, alltså är A + B. Låt p och q tillhöra komplementen till A respektive B. På grund av krav II gäller att för alla p A och q B att p > p och q >. Då är + q > p för alla sådana p och q, och det medför att q p + q p + q A + B. Alltså är A + B Q. 4 Nolldelare: a och/eller b är nolldelare om a, b : a b = b a =. Sidan av 3

II. Låt r A + B, s < r, och d = r s Q. Eftersom r A + B så finns p A och så att r = p + q. Då är s = r d = ( p d ) + q A + B eftersom p d A. q B III. Låt r = p + q A + B, och p < p A. Då är r < p + q A + B. Nu kan vi börja undersöka om de nio villkoren gäller för D (även om inte alla bevisas). Att addition av snitt är associativ och kommutativ följer av definitionen och räknereglerna för Q. Vi skall dock visa att D har ett additivt neutralt element, även kallat nollelement. Sats : * är nollelement i D, det vill säga för A D är A + * = A. Om p A och z *, då är z <, varför p + z < p och p + z A. Alltså A + * A. För att fastställa att A + * A, måste vi visa att varje element i A kan skrivas som en summa av ett element i A och ett negativt tal (ett element av * ). Tag p A p A så att p > p. Sätt r = p p då är p = p + r A + *. Alltså A A + *. Innan vi kan visa att D har den additiva inversen ( A) bevisa att även detta är ett snitt. Definition :5 För ett snitt A definieras ( A ) = { p : r < } måste vi definiera vad ( A) är och Q p sådant att p q < rp + för q A}. Sats :3 Om A är ett snitt så är även ( A ) ett snitt. För att bevisa detta måste de tre kraven i definition : visas vara uppfyllda. I. Välj p # # A och sätt p = p. För varje q A har vi att p + q = q eftersom är # p > # p < q. Alltså p A (vi kan ta r = ), varför A. Om q A, då q A (eftersom q + ( q) = ), varför A Q. p II. Låt p A och r < vara som i definitionen. Om för alla q A, alltså p A. p p < p, så är p + q p eftersom rp <. Då har vi q A q + p = q + p rp < rp rp = rp, och med rp = r p följer att p A. Sidan av 3

Sats :4 Varje element A i D har additiv invers ( A). Låt q A och p A. Då r < så att p q < r < alltså q + p *, och p + p A + ( A) *. Att visa att * A + ( A) är svårare. Låt p *. Vi måste skriva p som en summa av ett element i A och ett element i ( A). Låt r = p. Nu är r >, och därför finns ett heltal n sådant att n r A men ( n + ) r A (eftersom de rationella talen har Arkimediska egenskapen 5 ). Låt s = ( n + ) r. För q A gäller att q < ( n + ) r och q + s = q ( n + ) r = q ( n + ) r r < r < (eftersom ( n + ) r A är det större än q ). Slutligen är n r + s = n r n r r = p A + ( A). Alltså * A + ( A). Av ovanstående gäller att addition av snitt är en Abelsk grupp. För att kunna visa att D är en kropp behöver vi definiera multiplikation av snitt i D, men innan vi kan göra detta behöver vi en ordningsrelation. För rationella tal finns en ordningsrelation så att om a, b Q så är a = b, a b. Om a > kallas a positiv och om a < kallas a negativ. Dessutom gäller att om a < så är a > och vice versa samt att summan av två positiva tal är positiv. Vi definierar nu ordningen i D med samma egenskaper. Definition :6 Snittet A sägs vara mindre än snittet B om A är äkta delmängd till B detta skrivs även A A. Notera att om A b. Sidan 3 av 3

Sats :5 För två snitt A och B gäller ett och endast ett av följande alternativ: i) A = B ii) A B Antag att i) och ii) inte gäller. Då p A och p B. Om q B så är q B. Två fall kan inte gälla samtidigt. Definition :7 Om A > * sägs A vara positiv och om A < * sägs A vara negativ. Sats :6 Om A och B är positiva så är A + B positiv. p > ; p A och q > ; q B p + q > A + B > *. Sats :7 För varje A * gäller att antingen är A positiv och ( A) negativ eller är A negativ och ( A) positiv. Med B = * i sats :5 gäller att A är antingen positiv eller negativ. Om A är positiv kan inte ( A) vara positiv ty enligt sats :6 vore då * = A + ( A) > *. Det gäller även att ( A ) * ty annars vore A = ( A) = * = *. Om A är negativ följer analogt att ( A) är positiv. Nu är vi klara med ordningsrelationen i D och som nämnts innan måste vi för att kunna visa att D är en kropp först även definiera multiplikation av snitt, samt visa att detta är ett snitt. Definition :8 Om A eller B är lika med * så är A B = * i) Om A > * och B > * så är A B = { pq : p A, q B, p > och q > } { p : p }. ii) Om A > * och B < * så är A B = A ( B) ] iii) Om A < * och B > * så är A B = [ ( A) B] iv) Om A < * och < * så är A B = A B B ( ) ( ) Notera att p * q* = ( p q)* för alla p, q Q. Sidan 4 av 3

När vi nu skall visa att även produkten är ett snitt räcker det att visa detta för fallet i). Eftersom, som visas i satsen, fallen ii) och iii) kan omformuleras till fallet i) genom att lägga till ett minustecken. Vad gäller fall iv) så ingår där två minustecken som tar ut varandra och därför kan bortses. Sats :8 Om A och B är snitt så är även A B ett snitt. För att bevisa detta måste de tre kraven i definition : visas vara uppfyllda. I. Då A och B är positiva så A B alltså A B. # # Tag p > och q > så att p # A och q # B. # # För p A så är p , q > som tillhör A respektive B. # # # # Eftersom p q > gäller att p q A B alltså A B Q. II. Låt r = p q A B, där p, q > och p A och q B. s s Välj s så att < s < r och s kan skrivas som s = r = p q. r r Tag r A B och s < r. Om s så gäller att s A B. Om < s < r är r = p q där p > och q > och p A och q B. s s s Vi kan skriva s som s = r = p q = p q. r r r s r s s Då < < = gäller att och q >. Nu finns p A och q så att p > och q >. B p q = p q och q >. Vi har nu bevisat att även produkten av två snitt är ett snitt. Av definitionen för multiplikation a b c = a b c, och kommutativ, a b = b a. är det helt klart att produkten är associativ, ( ) ( ) För rationella tal gäller distributiva lagen, som säger att a ( b + c) = a b + a c. Direkt av definitionen av addition respektive multiplikation av snitt följer att A ( B + C) = A B + A C för godtyckliga snitt A, B och C. Nu har vi visat att D är en kommutativ ring. Genom att bevisa att * är det multiplikativa neutrala elementet kan vi bygga på det och säga att D är en kommutativ ring med etta. Sidan 5 av 3

Sats :9 * är multiplikativt neutralt element i D, det vill säga A D är A * = A. Antag att A > *. Vi behöver bara betrakta de positiva talen i A respektive *. Om p A och p > samt z * och z > så är p z . Då p A och p > p. Sätt r =. Då gäller att r * och p = pr A *. Detta medför att A A *. Om < * gäller att p A A * = ( A) * = ( A) = A. Nu återstår bara att visa det sista av de nio villkoren för en kropp, nämligen att varje snitt A * har en multiplikativ invers. Men först måste vi definiera A samt bevisa att det är ett snitt. Detta görs på liknande sätt som för additiv invers 6. Definition :9 Om A > * är A = { p Q, p > och A ( ) < * är A = A. < : q A r p gäller att p q r } (,] p. Om Sats : Om A är ett snitt så är även A ett snitt. et är analogt med beviset för sats :3. Sats : För varje snitt A * gäller att A A = *. Fall om A > så gäller enligt definitionerna av produkt, A och * att A A *. För att visa det omvända väljer vi p *. Det intressanta att undersöka är om och det finns ett heltal n så att. För q A gäller att q < r n+ och ( ) s q r ( n+ ) r n A men r n + A. n n+ att s A och p = r = r r A A. Alltså * A A och A A = *. Fall om A < så är > A och således A = A ( A) r n+ = r <. Detta medför ( ) = ( A)( A) = * A. Vi har nu bevisat att D är en kropp. Genom att låta varje snitt vara ett reellt tal får vi en väldefinierad konstruktion av de reella talen som utvidgning av Q. 6 Jämför definition :9 med definition :5, sats : med sats :3 och sats : med sats :4. Sidan 6 av 3

Definition : Mängden av reella tal är lika med mängden av snitt, där varje rationellt tal r identifieras med snittet r *. Vi skall nu visa att R, och därmed D, har supremumegenskapen. Vilket till exempel medför, som nämndes i delkapitel., att Cauchys konvergensprincip kan bevisas. Sats : Varje uppåt begränsad icke-tom mängd M i R har en minsta övre begränsning. Denna kallas supremum av M och skrivs supm. Låt M = { A α :α I} vara en icke-tom mängd av snitt, det vill säga reella tal, som är begränsade uppåt. Eftersom M är begränsad uppåt, finns ett snitt A så att Aα A för alla α I. Detta betyder att Aα A för alla α I. Låt B = U α I Aα. Det är lätt att se att B är ett snitt, det vill säga reellt tal, och att det är en övre begränsning för M. Antag att C är en övre begränsning för M; sådant att Aα C ( Aα C) för alla α. Då är B = U α I Aα C ; med andra ord B C. Härav är B minsta övre begränsning för M.. Några grundläggande satser i envariabelanalys Många av de viktigaste satserna för kontinuerliga funktioner kräver supremumegenskapen för att kunna bevisas. Här följer fyra vanliga satser, däribland satsen om största och minsta värde. Men vi börjar med satsen om mellanliggande värde. I detta avsnitt behandlar vi enbart funktioner f : R R. Sats :3 Antag att f är en kontinuerlig funktion på ett intervall I och att a, b I. Låt μ vara ett tal mellan a och b. Då finns det minst en punkt x mellan a och b så att f x ) = μ. f ( ) () f ( y y=f(x) f(x )=μ a x b x Det räcker att bevisa fallet då a b f ( a) < f ( b) <,. Om a = b är μ = f (a) och x = a. Om a > b döper vi bara om a till b och b till a. Om f ( a) = f ( b) är μ = f (a) och x = a. Om f ( a) > f ( b) kan man istället studera f. Sidan 7 av 3

Om μ = f (a) väljer vi x = a och om μ = f (b) väljer vi x = b. Vi kan därför anta att f ( a) < μ < f ( b). Sätt M = { x : a x b, f ( x) < μ}. Då tillhör a mängden M, ty f (a) < μ. Därför är M inte tom. Talet b är en majorant till M, så M är uppåt begränsad. Då har M en minsta majorant som vi döper till x, det vill säga x = supm. Vi skall visa att f ( x ) = μ. Först visar vi då att () f ( x ) μ och därefter () f ( x ) μ. Då följer att f ( x ) = μ. () f x ) μ ( Antag motsatsen att f ( x ) < μ. Eftersom μ < f (b) måste x b. Därför är x < b. Eftersom är kontinuerlig i så finns det en omgivning U av x sådan att f x I f (x < μ x < x < μ x M x x U ). I U måste det finnas ett så att x < b. Men då gäller f ( x ), så att. Detta är orimligt eftersom är en majorant till M. () f x ) μ ( Antag motsatsen att f ( x ) > μ. Eftersom f (a) < μ måste vi ha att a < x. Eftersom f är kontinuerlig i finns det en omgivning V av x sådan att x V I f (x) > μ. I V måste det finnas ett K så att x a < K < x. Eftersom sup = x x V f ( x M så finns ett x M så att K < x x. Men då gäller att I. Därför är ) > μ. Detta är omöjligt eftersom M. x En vanligare variant av denna sats är att man söker nollställen till funktionen μ = och då kan vi istället formulera denna följdsats. Följdsats :4 Om f är en kontinuerlig funktion definierad på ett intervall, och f har ett positivt värde i en punkt a och ett negativt värde i en punkt b då finns en punkt c mellan a och b där f c =. (Inget krav att a och b är ändpunkter). () Med andra ord en kontinuerlig funktion kan bara byta tecken vid ett nollställe. I inledningsavsnittet.3 nämndes att satsen om mellanliggande värde endast var sann då man arbetar med funktioner av reella tal. Vi kan nu återknyta till detta eftersom vi nu har utökat från de rationella talen Q till de reella talen R, och skriva om vårt exempel som: Låt f : R R vara given som f ( x) = x. Då är f kontinuerlig, och har negativt värde för x = och positivt värde för =, så finns så att x Äntligen har vi ett väl definierat tal vars kvadrat är. x ( x ) = f det vill säga x =. Om vi vänder på det kan vi med satsen visa att alla intervall är sammanhängande. Sidan 8 av 3

Definition : En mängd C är sammanhängande om satsen om mellanliggande värde är sann för varje kontinuerlig reell funktion f : C R. Sats :5 S är en sammanhängande delmängd av den reella tallinjen om och endast om S är ett intervall.,. Vi kan välja en av dessa genom att specificera huruvida de är begränsade uppåt eller nedåt, samt om de innehåller infimum eller supremum. Det finns nio typer av intervall ( a, b)[ a, b]( a, b][ a, b)( a, )[ a, )(, b)(, b] och ( ) Vi väljer att bevisa fallet då S är en begränsad sammanhängande mängd på den reella tallinjen utan vare sig infimum eller supremum. Eftersom S är begränsad, har den en minsta övre och största undre begränsning som vi kallar respektive. Vi vill nu visa att S = a,b. b a ( ) Låt z ( a, b), eftersom a < z < b så garanterar egenskaperna för infimum och supremum att det existerar element x och x i S sådan att a x < z < x b. Låt f ( x) = x z. Då är f kontinuerlig och får ett negativt värde i x S och ett positivt i x S. Eftersom S är sammanhängande, finns det en punkt t S med f ( t) =. Men f ( x) = endast för x = z. Härav är z = t S och ( a, b) S. På sättet som a och b valdes vet vi att S [ a, b]. Men vi antog att S varken innehåller eller, med andra ord att S a,b och även S = a,b. a b ( ) ( ) Innan vi går vidare skall vi titta närmare på några funktioner för att se om de är uppåt eller nedåt begränsade samt om de antar största eller minsta värde (presenteras i tabell nedan). De två första funktionerna är på slutna intervall [ a, b], medan funktionerna 3 och 4 är på öppna intervall ( a,b). Funktion : Funktion : Funktion 3: Funktion 4: Sidan 9 av 3

Det finns oändligt antal varianter att ge som exempel, men följande två är exempel på funktioner som går mot oändligheten. x x Funktion 5: f ( x) = På intervallet (, ) - Funktion 6: f ( x) = x a) På intervallet (, ) b) På intervallet (,] Tabell : Är funktion -6 begränsade uppåt eller nedåt och antar de största eller minsta värde? Funktion Uppåt begränsad Nedåt begränsad Antar största värde Antar minsta värde Ja Ja Ja Ja Ja Ja Ja Ja 3 Ja Ja Nej Nej 4 Ja Ja Ja Nej 5 Nej Nej Nej Nej 6a Nej Ja Nej Nej 6b Nej Ja Nej Ja f ( ) [ ] Om x är kontinuerlig på ett slutet begränsat intervall a, b så blir det alltid Ja i kolumnerna och, enligt sats :6, och i kolumnerna 3 och 4, enligt sats :7. f är kontinuerlig på det slutna begränsade intervallet [ a, b] så är f begrän- Sats :6 Om funktionen sad på [ a,b]. Vi använder supremumaxiomet och bildar M = { x [ a, b] : f är begränsadi[ a, x]}. Nu är M icke-tom, eftersom den innehåller åtminstone punkten a, och M är uppåtbegränsad av punkten b. Av supremumaxiomet får vi då existensen av x = supm. Sidan av 3

Eftersom f är kontinuerlig i x finns det ett tal δ > så att x δ < x x f ( x) f ( x ) +. Eftersom supm = x kan vi finna ett x M sådant att x δ < x. Det följer att f är begränsad av ( f ( x ) +) på intervallet [ x, x ]. Eftersom x M är f även begränsad på [ ]. Därför är begränsad på a, x = a, x x,. Återstår att bevisa att x = b. a, f [ ] [ ] [ ] x x Vi gör nu ett indirekt bevis och antar att x < b. Nu är f kontinuerlig i x och alltså finns för ε = ett δ > sådant att x x < δ och x [ a, b] f ( x) f ( x ). Men då är speciellt ( ) ( ) ε f x f x + om x x x + δ b. Alltså är begränsad i intervallet a, x + δ vilket strider mot definitionen av att x = supm. Vi har en motsägelse. Alltså är x = b. < f [ ) Vi skall nu visa satsen om största och minsta värde, som visar att man under lämpliga villkor kan vara säker på att ett största och ett minsta värde existerar. Satsen är ett viktigt hjälpmedel vid lösning av extremproblem 7, och beviset av den bygger på supremumegenskapen. Först måste vi dock definiera begreppen för största och minsta värde. Definition : Vi säger att f har det största värdet S om () f ( x) S x D f () det finns x med f ( x ) = S Analogt sägs f ha det minsta värdet m om () f ( x) m x D f ' ' () det finns x med f ( x ) = m Observera att om f har det största värdet S så är sup f ( x) = S. Och analogt om f har det minsta värdet i m så är f. Sats :7 Antag att f är en kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall I. Då har f ett största värde och ett minsta värde på I. Vi visar endast att f har ett största värde på intervallet I. et för att f har ett minsta värde är analogt. Vi gör ett indirekt bevis och antar att f saknar största värde på I, det vill säga att f x < G = sup f x x I. ( ) ( ) x I 7 För mer om detta hänvisar jag läsaren till kapitel 4 i Frennemo, Löfström, Tobiasson (974) Elementär analys i en dimension. Sidan av 3

Vi kan då bilda funktionen g( x) = som är kontinuerlig (den är sammansatt av G f ( x) kontinuerliga funktioner) på det slutna begränsade intervallet I. Enligt satsen är g begränsad på I. Det vill säga det finns ett positivt tal B så att g( x) = B x I. G f x B G = G x I. B B Detta är en motsägelse mot att G = sup x I f ( x). Alltså är antagandet felaktigt och f har ett största värde på I. Detta innebär att B ( G f ( x) ) x I det vill säga f ( x) ( ) Vi har, med metoden Dedekinds snitt, visat att de reella talen existerar. Samt att de har supremumegenskapen, vilken vi använt för att bevisa några viktiga satser inom matematiken. Och härmed är uppsatsen slut. Sidan av 3

Litteraturförteckning Dedekinds snitt definierar de reella talen Frennemo, Lennart och Jörgen Löfström och Leif Tobiasson, Elementär analys i en dimension, Almqvist & Wiksell 974. Ifrah, Georges, Räknekonstens kulturhistoria ( delar), Wahlström & Widstrand 4. Johansson, Bo Göran, Matematikens historia, Studentlitteratur 4. Matematiklexikon, Wahlström & Widstrand 99. Olsson, Stig, Matematiska nedslag i historien, Ekelunds förlag AB 999. Parzynski, William R. och Philip W. Zipse, Introduction to mathematical analysis, McGraw- Hill Book Company 987. Schramm, Michael J., Introduction to Real Analysis, Prentice Hall 996. Sjöberg, Boris, Från Euklides till Hilbert, Åbo 995. Thompson, Jan, Historiens matematik, Studentlitteratur 99. Sidan 3 av 3