R e c e n s i o n John Stillwell: Yearning for the impossible. The surprising truths of mathematics. AK Peters Ltd, 2006. 230 sidor. Ca $30. - - - MATEMATIK - DET OMÖJLIGAS KONST John Stillwell (f. 1942) är matematiker ursprungligen från Australien, men numera (sedan 2002) professor i Kalifornien vid San Franciscos jesuit-universitet. Förutom sin forskning i topologi och geometri är Stillwell känd för sitt intresse för matematikhistoria. Han har översatt endel klassiska texter samt skrivit en matematikhistoriebok, Mathematics and its history (Springer 2002, 2.a uppl.), som tillhör mina favoriter. Föreliggande bok om matematiken som "längtan till det omöjliga" vänder sig till en bred men intellektuellt alert publik inkluderande gymnasieelever, lärare, professorer, och dem som är allmänt är intresserad av vad matematik går ut på. Boken kräver inga speciella förkunskaper men ett pensum motsvarande gymnasiematematik borde finnas i bakhuvudet. Bokens idé går tillbaka till en artikel om "matematiken som accepterar det omöjliga" vilken Stillwell skrev redan 1984. Kungstanken är att matematikens utveckling ofta drivits fram av försöken att förstå det skenbart omöjliga. Märkliga
begrepp såsom "irrationella tal", "imaginära tal", "transcendentala tal", osv, är benämningar vilka visar spår av deras förflutna mystiska status i gränslandet mellan det möjliga och omöjliga. Den tyske matematikern Leopold Kronecker är känd för sitt yttrande att "Die ganzen zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" (1886); dvs, Gud har skapat talen medan människan gjort resten. Man kunde egentligen tänka sig att matematiken skulle kunna begränsa sig till användningen av de naturliga talen 0,1, 2,... medan "resten" är onödigt påhitt. Men så fort vi har de hela talen kan vi ställa oss frågan om det exv finns ett tal (x) som multiplicerat med 5 är lika med 2 (5 * x = 2). Detta leder oss till att utvidga de "naturliga" talen till att omfatta bråktal som exv 2/5. Bråktal är användbara då man mäter eller väger eftersom vikter och längder sällan exakt sammanfaller med exakta multiplar av givna längd- och viktenheter. Storyn kunde ha slutat här eftersom bråktal skulle räcka för alla praktiska räknebehov. I antikens Grekland kring 500 före vår tideräkning började man emellertid alltmer betona matematiken som en teoretisk vetenskap där satser skulle härledas logiskt från givna premisser (som senare kom att kallas axiom). Detta ledde till utvecklingen av geometrin där man bl a ställdes inför följande problem: Ifall en kvadrat har sidorna 1 så är dess diagonal ett tal x som multiplicerat med sig självt är lika med 2 (x*x = 2). (Detta följer av att en kvadrat B med en sida av samma längd som en kvadrat A:s diagonal har dubbelt större area än A.) Man kom underfund med att inget bråktal m/n kunde uppfylla detta krav. Detta ledde till en kris inom grekisk matematik och man accepterade motvilligt den något vaga existensen av vad man kallade "alogos" tal som inte kan skrivas på bråkform, vilket på latin kom att heta "irrationella" tal eller "surdus" (besläktat med vårt absurd), en beteckning som förmedlades via arabiskans ord for stum.
Det verkar som om då man ger lillfingret åt matematiken så tar den snart hela armen. Har vi således accepterar hela tal kan vi t ex fråga efter ett tal x som adderat med 2 ger 1 (x+2 = 1). Detta är ett naturligt spörsmål då man har att göra med säg debet och kredit men ändå tog det länge innan man accepterade 'negativa' tal och lösningen x = -1. Har vi väl en gång accepterat negativa tal kan vi t ex fråga efter ett tal x som multplicerat med sig självt ger -1 (x*x = -1). Detta verkar ledda till en omöjlig situation eftersom då man multiplicerar ett positivit eller negativt tal med sig självt får vi alltid ett positivt tal som resultat. Detta (x*x = -1) är just den sorts omöjlighet som Stillwell hänvisar till och som driver matematiken framåt. Nämligen man frågar sig, vad händer om vi trots allt ponerar att det finns ett sådant 'imaginärt' tal som vi kan beteckna fast med 'i' och vilket alltså satisfierar i*i = -1? Faktiskt, de imaginära (eller komplexa) talen kom att revolutionera matematiken under 1800-talet. Stillwell tar upp ett flertal exempel på hur denna kreativa dynamik fortsatt (kvaternioner, octoioner, idealtal, oändliga serier, ickeeuklidisk geometri, 4-dimensionella rum, oändlighet, osv). Varje ny utvidning inom matematiken bär således fröet till nya generaliseringar. Det mest märkliga kanske är hur dylika skenbart abstrusa konstruktioner plöstligt kan komma att tillämpas på verkligheten själv så att säga; exempelvis komplexa tal inom kvantfysiken, och icke-euklidisk geometri inom relativitetsteorin. Slutligen är det värt att nämna en kort skoltidsstory som Stillwell berättar under rubriken "If you can read this, thank the english teacher". Engång vikarierades Stillwells matematiklärare av engelskläraren Mrs Burke. Hon lärde ut någonting som hon erinrade från sina egna skolår men som därefter fallit bort ur undervisningen. Nämligen hur man kan räkna ut decimalerna i den oändliga decimalserien
1.41421356... för kvadratroten av 2. Vidare berättade hon att ingen egentligen förstod sig på mönstret hos denna decimalutveckling; förekommer t ex 7 i decimalutvecklingen oändligt många gånger eller inte? Det var dessa spörsmål som fick den unge Stillwell att intressera sig för matematiken vilket slutligen ledde via unversitetskarriär till föreliggande bok. En sensmoral är kanske vikten av att även inflika utmanande exempel i skolläroböcker samt skriva ut att det finns olösa frågor. Och som källa till inspirerande material lönar det sig definitivt att ta en titt på Stillwells bok. Ett exempel är construzione legittima inom geometrin som säkert kunde fascinera många elever, och som beskriver hur man ritar perspektiv (projektiv geometri i matematik). I samma veva bör jag också rekommendera en gammal klassiker (som jag nyligen stötte på via ett antikvariat): Lancelot Hogben, Mathematics for the millions (orig. 1937, finns fortfarande i tryck) -- att ge till den som drabbats av matematikbacillen eller som tråkades ut av skolmatematiken och vill ta igen. Hogbens matematikfilosofi (betonar matematkens praktiska rötter) är kanske antipodisk till Stillwell men boken är likväl läsvärd. Stillwell och Hogben alltså obligatoriska böcker för bibilioteken! Frank Borg PS. Algoritm för att beräkna bättre och bättre approximationer för kvadraroten av 2. Starta med x1 = 1, beräkna sedan x2 = 1/2*(x1 + 2/x1); x3 = 1/2*(x2 + 2/x2); osv. Dvs, när man beräknat approximationen x får man den följande approximationen genom att ta medelvärdet av x och 2/x.