π DAGENN A D att Pris nivå Du får tävla on av π vars fel DGE och Bakgrund: Priserna:

Transkript

1 π DAGENN TÄVLING & PRISER Alla elever vid vår trevliga skola inbjuds att delta i årets stora PI tävling. Rikedom, ära och berömmelse, i måttlig grad, är vad som väntar de vinnande eleverna. Bakgrund: Den årliga PI dagen går av stapeln 14 mars. Datumet är myckett medvetet valt i synnerhet om datumet skrivs på det anglosaxiska sättet (3.14).. Matematiklärarna villl på allt sättt hedra och upphöja både och PI dagen vilket vi gör genom att vissa klasser arbetar tematiskt med alla elever vid skolan inbjuds till vår finfina tävling. Priserna: Pris nivå 1: PI tröjan en massa små siffror apparel/hoodies/7b0a/ ( tecknet på tröjan bildas avv hämtade från decimalutvecklingen av PI) Värde ca 220 kr. Pris nivå 2: Presentkort på 1 stt PIzza. Pris nivå 3: Presentkort på 1 stt PIrog. Tävlingsregler Du löser uppgiften på den nivå duu vill tävla i. Du tävlar individuellt. Du får tävla i flera nivåer men du kan bara vinna pris på en av nivåerna. Lösningen överlämnar du till din Ma lärare på PI dagen.. Jury är skolans Ma lärare och vi älskar att se lösningar fyllda med MVG kvalitéer, dvs generella lösningar i stället för exempellösningar, korrekt matematiskt språk, strukturerad redovisning, matematiskt djup i dina slutsatser, exakta lösningar i stället för närmevärden osv osv Uppgift nivå 1: 1913 publicerade Hubson en konstruktio on av π vars fel var mindre än Hans konstruktion var följande: Låt OA = 1, OD = 3/ /5, OF = 3/2 och OE = 1/2. DGE och AHF är halvcirklar och de har DEE resp AF som diametrar. Normalen till AB genom O skär dessa halvcirklar i G resp H. A D O G E B F H

2 Visa att GH = 1,77246 vilkett ligger näraa. Detta innebär att ( GH) 2 är mycket nära arean av en cirkel med AB A som diameter. För att klara denna uppgift måste du känna till cirkelns ekvation. Om cirkelns medelpunkt ligger i origo är ekvationen: x 2 + y 2 = r 2. Ligger cirkelns medelpunkt i (a,b) blir ekvationen (x a) 2 +( (y b) 2 = r 2. Utöver detta räcker det med kunskaper från Ma A. A Uppgift nivå 2: Lös följande uppgift i Excel. Använd Excel funktionen SLUMP() för attt slumpa fram koordinater i ett koordinatsystem. Punkterna ska hamna inom en kvadrat med hörnen i (1,1) (1, 1) ( 1,1) och ( 1, 1). Räkna andelenn av de punkter vars avstånd till origo är mindre än 1. Excel har en bra funktionn som heter ANTAL.OM() som just räknar antalet celler som uppfyller visst villkor. Utöver detta räcker det med kunskaper från Ma A samt allmänna färdigheter i Excel. Visa HUR du med dessa ledtrådar kan beräkna π och ta också fram ett närmevärde med valfri noggrannhet. (Om du inte får så braa värde på π betyder mindre. m Det viktigaste i denna uppgift är själva idén och metoden.) Uppgift nivå 3: Hur lång är den markerade cirkelbågen? Det räcker med geometri kunskaper från Maa A men ser du dessutom att det finns en dold Egyptisk triangel i figuren förvandlas problemet nästan till huvudräkning. Lycka till!

3 Några mer eller mindre nödvändiga fakta om π. π är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, dvs π = omkrets/diameter dvs det är π gånger längre runt en cirkel än tvärs över dess mitt. Detta innebär t.ex att om vi ritar en cirkel med diametern exakt 1 cm så blir dess omkrets π cm. Att använda den grekiska bokstaven π som symbol är ganska nytt och härstammar från 1700 talet. Förmodligen valde man denna symbol då det grekiska ordet för omkrets (perimeter) börjar på π. π är ett irrationellt tal, dvs går inte att skriva som ett bråk på formen a/b vilket ger att π därför har en oändlig och helt oregelbunden decimalutveckling. 3, Vid praktiska beräkningar behöver vi sällan jättemånga decimaler. Vill vi t.ex. beräkna hela jordens omkrets med en felmarginal mindre än en ynka atombredd så räcker det med ca 18 st decimaler. Att räkna ut korrekta decimaler på π var i äldre tider en ganska mödosam beräkning. Ludolph Van Ceulen vigde sitt liv till dessa beräkningar och hade när han dog 1610 lyckats beräkna 35 st korrekta decimaler. Med moderna datorer går det lättare och det senaste rekordet ligger på stycken och sattes av den nya japanska superdatorn T2K Tsukuba. Vid ett världsrekordförsök fick den jobba i 73 timmar med att beräkna pi:s decimaler. Ganska många! Om du läser en decimal i sekunden så får du rabbla i drygt år! Rekordet i att komma ihåg decimaler utantill har japanen Akira Haraguchi som i juli 2005 rabblade otroliga st korrekta decimaler direkt ur minnet. Under rekordförsöket kom han av sig efter tre timmar men han bet ihop och började om. Han slog sedan sitt eget rekord 3 4 oktober 2006 när han lyckades räkna upp de första decimalerna på 16,5 timme. π kallas ibland Arkimedes konstant efter den antike grekiska matematikern som med geometriska metoder uppskattade π och bl.a visade att π ligger mellan 22/7 och 223/71. Ett annat namn som ibland används är Ludolphs tal efter Ludolph van Ceulen, se ovan. Albert Einstein är född 14:e mars Nobelpristagaren i fysik Richard Feynman, känd för sitt intresse för huvudräkning, anmärkte en gång att han ville memorera π till den 767:e decimalen. Anledningen är att decimalerna 762 till och med 767 samtliga är nior, och att han då skulle kunna avsluta uppräkningen med nio, nio, nio, nio, nio, nio, och så vidare. π med några decimalers noggrannhet

4

5

6

7

8 Men det är bara de första 4 000, man känner till nästan decimaler!