ELEKTRICITETSLÄRA GRUNDLÄGGANDE BEGREPP Repetition och inledning till kurserna i Elektromagnetism Inst. för Fysik och astronomi 2005 / 2010, O.Hartmann
1. Elektrisk laddning, elektriskt fält, elektrisk potential. Enheten för elektrisk laddning i SI-systemet är 1 C = 1 As. Elementarladdningen, dvs protonens laddning är 1,60. 10-19 C. Coulombs lag: Kraften mellan två punktformiga laddningar Q 1 och Q 2 på avståndet r ges av F = k. Q. 1 Q 2 r 2 = 1 Q. 1 Q 2 4πε o r 2 Där ε o = 8,854. 10-12 C 2 /Nm 2 kallas permittiviteten (kapacitiviteten) för fria rymden. Laddningar av lika tecken repellerar varandra, medan laddningar av olika tecken attraherar varandra. Elektrisk fältstyrka är kraft per enhetsladdning och kan definieras genom E = F Q där F är kraften på en provladdning Q. Enheten för elektrisk fältstyrka är 1 N/C = 1 V/m. Potentialdifferensen eller spänningen mellan två punkter definieras från skillnaden i potentiell elektrisk energi för en enhetsladdning i de två punkterna. Enheten för spänning är 1 V = 1 J/C. Om laddningen Q genomlöper spänningsfallet U ändras därvid dess potentiella energi enligt W = Q. U Energieneheten 1 ev är den energi en partikel med en elementarladdning får vid acceleration genom spänningsfallet 1 V 1 ev = 1,60. 10-19 J. I ett homogent elektriskt fält är spänningen mellan två punkter på avståndet d längs en fältlinje givet av U = E. d
Övningsexempel 1. Hur stor är den elektriska kraften i förhållande till gravitationskraften mellan en proton och en elektron? 2. Två små identiska kulor har laddningarna 4 nc resp 10 nc. Kulorna får beröra varandra och separeras därefter till ett inbördes avstånd på 30 cm. Hur stor blir kraften mellan kulorna? 3. Beräkna kraften på laddningen Q. 4. En laddad kula med massan 10 mg hänger i en lätt tråd i ett homogent, horisontellt riktat elektriskt fält. Kulans laddning är 30 nc. Tråden bildar vinkeln 10 o med vertikalriktningen. Hur starkt är det elektrisk fältet? 5. Spänningen mellan två isolerade parallella plattor på avståndet 1,0 cm från varandra är 2,0 kv. Vad blir spänningen om plattavståndet ändras till 1,5 cm? 6. En elektron frigör sig från en glödkatod och accelereras mot anoden som ligger på en spänning av 105 V i förhållande till katoden. Vilken hastighet har elektronen när den når anoden? 7. Det homogena elektriska fältet mellan plattorna i figuren är 2,0. 10 5 V/m. Beräkna a) Spänningen U mellan plattorna. b) Spänningen i punkten P. c) Arbetet som krävas för att föra en positiv enhetsladdning från jord till punkten P.
2. Kondensatorer. En kondensator kan lagra elektrisk laddning. Kapacitansen hos en kondensator definieras ur C = Q U där Q = kondensatorns laddning och U = spänningen över kondensatorn. Enheten för kapacitans är 1 F = 1 C/V En luftfylld plattkondensator med plattarean A och plattavståndet d har kapacitansen C = ε o A d Om plattkondensatorn fylls med ett material med relativa permittiviteten ε r blir kapacitansen C = ε o ε r A d Vid parallellkoppling av kondensatorer ges ersättningskapcitansen av C = Σ C k Vid seriekoppling av kondensatorer ges ersättningskapacitansen av 1 C = Σ 1 C k Övningsexempel 8. Över en kondensator med kapacitansen 0,1 μf ligger spänningen 20 V. Hur stor laddning har tillförts kondensatorn? 9. Vilken area bör en luftfylld plattkondensator ha för att kapacitansen skall bli 100 pf om avståndet mellan plattorna är 1 mm? Vilken area skulle krävas för att få kapacitansen 1 F? 10 Beräkna för krets I: a) ersättningskapacitansen. b). laddningen på var och en av kondensatorerna. c) spänningen över var och en av kondensatorerna. 11. Beräkna motsvarande storheter för krets II. 12. I en plattkondensator är plattavståndet 2,0 mm och plattarean 40 cm 2. Kondensatorn ansluts till en spänningskälla på 1000 V. a) Bestäm kondensatorns laddning. b) En 2,0 mm polymerskiva (ε r = 2,5) skjuts in mellan plattorna. Vad blir i detta fall kondensatorladdningen?
3. Strömkretsar. Med elektrisk strömstyrka i en ledare avses den totala laddning som per tidsenhet passerar ett tvärsnitt av ledaren, dvs den momentana strömstyrkan i ges av dq i = dt Enheten för strömstyrka är 1 A. Kirchhoff s 1:a lag: Summan av alla strömmar in mot en strömgreningspunkt är lika med summan av alla strömmar ut från punkten Σ I k = 0 Kirchhoff s 2:a lag: För en sluten väg i ett ledningsnät gäller att summan av alla emk i kretsen är lika med summan av alla potentialfall Σ e i = Σ R k I k eller Σ e i - Σ R k I k = 0 O hm s lag: I metalliska ledare gäller. U = RI där U = spänningen över ledaren, I strömstyrkan och R är ledarens resistans. Enheten för resistans är 1 Ω = 1 V/A En metalltråd av längd l och tvärsnittsarean A har resistansen. l R = ρ A där ρ = metallens resistivitet V id seriekoppling av resistorer ges ersättningsresistansen av R = Σ R k V id parallellkoppling av resistorer ges ersättningsresistansen av 1 1 R = Σ R k Joules lag: I en strömgenomfluten resistor omvandlas elektrisk energi till värme Effektutvecklingen ges av.. 2 P = UI = R I
Övningsexempel: 13. Strömstyrkan i en ledare är 100 ma. Hur många elektroner passerar ett tvärsnitt av ledaren per sekund? 14. Beräkna elektronernas driftshastighet i en koppartråd med 1,0 mm 2 tvärsnittsarea, då strömstyrkan i tråden är 1,0 A. Koppars atomvikt är 63,6 och dess densitet är 8,9. 10 3 kg/m 3. Antag att antalet ledningselektroner är lika med antalet koppar-. 23-1 atomer. Avogadros tal = 6,0 10 mol. 15. Strömstyrkan i en krets växer linjärt med tiden från i = 0 vid t = 0 till i = 0,25 A vid t = 5,0 s. Hur stor laddning har passerat under denna tid? 16. Tre resistorer är kopplade till en spänningskälla enligt figuren. Bestäm resistansen R. 17. Beräkna strömstyrkan genom var och en av resistorerna i figuren. 18. En galvanometer (vridspoleinstrument) har resistansen 150 Ω och ger fullt utslag då spänningen över den är 0,50 V. Hur stort förkopplingsmotstånd krävs för att man skall få en voltmeter som visar 20 V vid fullt utslag? 19. En galvanometer har resistansen 100 Ω och visar fullt utslag vid strömstyrkan 120 μa.. Vilket shuntmotstånd skall kopplas in för att ge en amperemeter som visar fullt utslag vid strömstyrkan 10,0 ma? 20. Vid en resistansmätning enligt volt-amperemetoden avlästes spänningen 15,0 V och strömstyrkan 80 ma. Voltmeterns inre resistans R v var 1500 Ω. Hur stor är resistansen R? 21. Vilken spänning krävs för att ge en ström på 10 A i en koppartråd av längd 10 m och diameter 0,50 mm. Koppars resistivitet = 1,7 10-8 Ωm. 22. Vid mätning av en resistans R x med hjälp av en Wheatstonebrygga erhölls strömlöshet i galvanometern då R 1=300 Ω, R 2 =700 Ω och R 3 = 10,0 Ω. Bestäm R x.
23. Ett värmeelement är stämplat 230 V / 800 W. Beräkna motståndstrådens resistans. 24. När brytaren i kretsen slutes växer spänningen över kondensatorn enligt Uc = U (1-e -t/rc ). Beräkna kondensatorladdningen efter tiden t=rc, dvs kretsens tidskonstant. 4. Magnetfält, magnetiskt flöde, magnetisk kra ftverkan. Enheten för magnetisk flödestäthet är 1 T = 1 Vs/m 2 Alla magnetfält härrör från laddninga r i rörelse. Inuti en långsträckt spole (solenoid) är det magnetiska flödet praktiskt taget homogent och flödestätheten ges av B = μ o N. I l dä r N är antalet trådvarv, l är spolens längd och I är strömstyrkan. Konstanten μ o = 4π 10-7 Vs/Am kallas permeabiliteten för fria rymden. På avståndet a från en lång rak ledare ges flödestätheten av μ o I B = 2πa Flödeslinjernas riktning erhålles genom skruvregeln. En strömförande ledare av längd l i ett yttre magnetfält, med en komposant B vinkelrätt mot ledaren, påverkas av en kraft. Denna kraft är vinkelrät mot både ledaren och magnetfältet och riktad enligt högerhandsregeln. Kraften är F = I. l. B En partikel med laddningen Q som rör sig med hastigheten v vinkelrätt mot ett magnetfält påverkas av en kraft F = Q. v. B
En slinga med arean A vinkelrätt ett magnetfält med flödestätheten B omsluter ett magnetiskt flöde Φ. Flödet ges av Φ = B. A Enheten för magnetiskt flöde är 1 Wb = 1 Nm/A = 1 Vs Övningsexempel: 25. Den jordmagnetiska flödestätheten på en viss ort är 40 μt. Vilken ström krävs för att inuti en långsträckt spole, lindad med 1000 varv/meter skapa ett rum fritt från magnetiskt flöde? 26. Beräkna attraktionskraften per meter mellan två parallella ledare på 1 m avstånd om strömstyrkan i ledarna är 1,0 A. 27. En elektron rör sig parallellt med plattorna inuti en plattkondensator över vilken ligger spänningen 2000 V. Plattavståndet är 2,0 cm. Hur skall ett magnetfält anbringas för att elektronen skall röra sig rätlinjigt? Hur starkt magnetfält krävs om elektronens hastighet är 1,0. 10 6 m/s? 28. En kvadratisk strömslinga med sidan 3,0 cm befinner sig i ett homogent magnetiskt fält på 0,10 T. Antalet trådvarv i slingan är 10 och strömstyrkan 0,10 A. Beräkna vridande momentet på slingan när slingans plan bildar vinkeln 30 o med flödeslinjerna. 29. En elektron accelereras i en elektronkanon av en spänning på 50 V. Den kommer in i ett homogent magnetfält, riktat vinkelrätt mot rörelseriktningen, där den kommer att beskriva en cirkulär bana med radien 5,0 cm. Hur stor är magnetiska flödestätheten? 5, Induktion. Då en ledare i sin rörelse skär över ett magnetiskt fält induceras en emk över ledaren. Om fältet, ledaren och hastigheten är vinkelräta varandra ges emk av e = l. v. B där l är ledarens längd och v dess hastighet. Då det magnetiska flödet genom en slinga ändras induceras i slingan en emk. Denna ges av dφ e = - dt I en spole med N varv induceras därvid en total emk dφ e = - N dt
Den inducerade emk strävar att driva en ström i en sådan riktning att ändringen i det magnetiska flödet motverkas (Lenz lag) En strömändring i en spole innebär en flödesändring i spolen. P.g.a självinduktion induceras därvid en emk i spolen som är proportionell mot strömändringen per tidsenhet e = - L di dt L är spolens induktans. Enheten för induktans är 1 H = 1 Vs/A Övningsexempel 30. Ett flygplan som har avståndet 15 m mellan vingspetsarna flyger söderut med en fart av 500 km/h. Jordmagnetiska fältets vertikalkomponent är 30 μt. Beräkna den mellan vingspetsarna inducerade elektromotoriska kraften. 31. En solenoid av längd 50 cm och diameter 1,0 cm är lindad med 800 varv ledningstråd. En sekundärspole med 10 varv är lindad runt solenoidens centrum. När solenoiden ansluts till ett batteri växer strömstyrkan till en början med 5,0 A/s. Hur stor inducerad emk kan mätas upp över sekundärspolen? 32. När brytaren i kretsen slutes kommer strömmen att växa enligt i = U R (1-e -(R/L)t ). Hur stor är strömstyrkan efter tiden t = L/R, dvs kretsens tidskonstant? 6. Växelström Momentanvärdet för en sinusformad växelspänning och ström ges av u = u^ sin (ωt) respektive i = i^ sin (ωt) V äxelspänningen och strömmen kan representeras med visare som roterar med vinkelhastigheten ω. Momentanvärdet kan därvid fås som projektionen av toppvärdesvisaren. Effektivv ärdet av en växelström är storleken av den likström som i en resistor ger samma värmeutveckling som växelströmmen i genomsnitt ger. För sinusformad växelström gäller ^ ^ i u I = och U = 2 2 I visardiagram används vanligen effektivvärdesvisare.
För resistor gäller sambandet. U = R I där spänning och ström är i fas med varandra. För kondensator gäller sambandet U = 1. I ωc där spänningen ligger π/2 efter strömmen F ör resistansfri spole gäller sambandet U = ωl. I Visar- diagram: Visar- diagram: Visardiagram där spänn ingen ligger π/2 före strömmen För godtycklig belastning gäller sambandet U = Ζ. I d är Z är belastningens impedans. Allmänt är spänningen fasförskjuten en vinkel φ i förhållande till strömmen. Effektutvecklingen i belastningen är P = U. I. cos φ Övningsexempel 33. Hur stor kapacitans skall en kondensator ha för att vid 50-periodig växelström ha impedansen 1,0 kω. 34. Vid vilken frekvens har en resistansfri spole med induktansen 15 mh en impedans av 15 Ω. 35. Växelspänningen i figuren arbetar vid 1000 Hz och har toppvärdet 10 V. Rita visardiagram och beräkna växelströmmens effektivvärde. Hur stor är fasförskjutningen mellan ström och pålagd spänning? 36. En spole med resistansen 100 Ω och induktansen 0,10 H ansluts till en växelspänning på 230 V, 50 Hz. Beräkna strömstyrka, fasförskjutning, och effektförbrukning.
Svar 1. Förhållandet 2 10 39. 2. F = 0,9 μn 3. F = Q 2 /(2πε o a 2 ) riktad rakt vänster i figuren. 4. E = 0,58 kv/m 5. U=3,0 kv 6. v = 6,1. 10 6 m/s 7. U = 6,0 kv U P = 2,0 kv W = 2,0 kj 8. Q = 2 μc 9. 0,011 m 2 1,1. 10 8 m 2. 10. krets I: C = 5,0 μf, Q 1 = 0,20 mc Q 2 = 0,30 mc U 1 = U 2 =100V 11. krets II: C = 1,2 μf, Q 1 =Q 2 =0,12 mc, U 1 =60V, U 2 =40V. 12. Q = 18 nc resp. 44 nc 13. 6. 10 17 elektroner/sekund 14. v d = 7,4. 10-5 m/s 15. Q = 0,63 C 16. R = 33 Ω 17. 0,19 A, 0,11 A 0,08 A 18. R s = 5,85 kω 19. R p = 1,21 Ω 20. R = 214 Ω. 21. U = 8,7 V 22. R x = 23,3 Ω. 23. R = 66,1 Ω. 24. q = 6,3 μc vid t= 1 ms. 25. I = 32 ma 26. F = 2.10-7 N/m (amperedefinitionen) 27. B = 0,1 T vinkelrätt mot v och E. 28. τ = 7,8 10-5 Nm 29. B = 0,48 mt 30. e = 63 mv 31. e = 7,9 μv 32. i = 0,63 A vid t=0,05 s 33. C = 3,2 μf 34. f= 159 Hz 35. I = 13 ma (eff.värde), φ = 87 o. 36. I = 2,2 A φ = 17 o P = 480 W.