Hopp- och nickrörelser Jan Åslund jaasl@isy.liu.se Associate Professor Dept. Electrical Engineering Vehicular Systems Linköping University Sweden Studerar det dynamiska systemet i figur 7.7. m s z + k f (z l 1 θ) + k r (z + l 2 θ) = 0 I y θ k f l 1 (z l 1 θ) + k r l 2 (z + l 2 θ) = 0 där I y = m s ry 2 Föreläsning 9 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 1 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 2 / 47 Figur 7.7 Hopp- och nickrörelser Genom att införa beteckningarna får vi D 1 = k f + k r m s D 2 = k r l 2 k f l 1 m s D 3 = 1 (k f l1 2 + k r l2 2 ) = 1 I y m s ry 2 (k f l1 2 + k r l2 2 ) z + D 1 z + D 2 θ = 0 θ + D 2 ry 2 z + D 3 θ = 0 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 3 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 4 / 47
Hopp- och nickrörelser Hopp- och nickrörelser Egenfrekvenser och egenvärden kan beräknas som tidigare. Karakteristisk ekvation för systemet ω 4 n (D 1 + D 3 )ω 2 n + Egenvektorerna ges av systemet ( ) D 1 D 3 D2 2 ry 2 = 0 (D 1 ωn)z 2 + D 2 Θ = 0 D 2 ry 2 Z + (D 3 ωn)θ 2 = 0 Den första ekvationen ger sambandet Z Θ = D 2 ω 2 n D 1 Kvoten ger avståndet mellan tyngdpunkten och centrum för oscillationen för de två egenmoderna, se figur 7.19. Det går att visa att nämnaren ω 2 n D 1 är negativ för den lägre frekvensen och positiv för den högre. Tecknet på täljaren D 2 = 1 m s (k r l 2 k f l 1 ) beror på fjädrarnas styvhet och tyngdpunktens läge. Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 5 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 6 / 47 Figur 7.19 Hopp- och nickrörelser: Två specialfall Om D 2 = 1 m s (k r l 2 k f l 1 ) = 0 är systemet okopplat och rörelsen kan delas upp i en ren vertikal oscillation och en roterande oscillation med centrum i tyngdpunkten. Det andra intressanta specialfallet är då r 2 y = l 1 l 2 Centrum för oscillationerna ligger då vid främre resp. bakre fjädring. I detta fall är systemet ekvivalent med ett okopplat system med massan m s l 2 /L fram och massan m s l 1 /L bak. Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 7 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 8 / 47
Komfort och vibrationer Figur 7.1 Janeways komfortkriterium anger gränser för amplituden A för en vertikal harmonisk svängning med frekvensen f : I frekvensintervallet 1 6 Hz är det maximala knycket som begränsar: Aω 3 12.6 m/s 3 I frekvensintervallet 6 20 Hz är det maximal acceleration som begränsar: Aω 2 0.33 m/s 2 I frekvensintervallet 20 60 Hz det maximal hastigheten som begränsar: Se figur 7.1 Aω 2.7 mm/s Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 9 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 10 / 47 Komfort Figur 7.2a Komfortkriterier kan delas delas in i olika nivåer: Säkerhet och hälsa. Utmattning och prestationsförmåga. Möjlighet att t.ex. läsa, skriva och äta. Figur 7.2 ger exempel på lämpliga gränser för det kvadratiska medelvärdet av accelerationen om vi betraktar det andra fallet. Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 11 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 12 / 47
Vägprofil Empiriska modeller för S g För en icke-harmonisk vägprofil z(x) används ofta spektraltäthet istället för amplitud: S g (Ω) = Z(iΩ) 2 där Z(iω) betecknar fouriertransformen och Ω är spatial frekvens med enheten [cykler/m]. Det kvadratiska medelvärdet av z ges av z 2 = 0 S g (Ω) dω givet att vi har valt en lämplig definition av transformen. En enkel modell för spektraltätheten S g är S g (Ω) = C sp Ω N Figur 7.25 visar sambandet där parametrarna C sp och N ges av tabell 7.1. En annan modell visas i figur 7.27: S g (Ω) = S g (Ω 0 )(Ω/Ω 0 ) 2 för Ω Ω 0 S g (Ω) = S g (Ω 0 )(Ω/Ω 0 ) 3/2 för Ω > Ω 0 där Ω 0 = 1/2π och S g (Ω 0 ) ges av tabell 7.2. Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 13 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 14 / 47 Figur 7.27 Frekvenssamband Om bilen håller hastigheten V med spatial frekvens Ω ges frekvensen f av sambandet f [Hz] = Ω[cykler/m]V [m/s] Sambandet mellan spektraltätheterna ges av S g (f ) = S g (Ω) V Givet en vägprofil med spektraltäthet S g (f ) och en hastighet V så kommer detta resultera i att den fjädrade massan vibrerar. Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 15 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 16 / 47
Frekvenssvar För enkelhetens skull studerar vi en kvartsbilsmodell med en frihetsgrad. k Matematisk modell för systemet: m z 0 z c Frekvenssvar Genom att införa dämpfaktorn och den naturliga vinkelhastigheten kan differentialekvationen skrivas ζ = c 2 km ω n = k m z + 2ζω n ż + ωnz 2 = 2ζω n z 0 + ωnz 2 0 m z + cż + kz = cz 0 + kz 0 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 17 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 18 / 47 Frekvenssvar Figur 7.8 Genom att transformera differentialekvationen får vi och (s 2 + 2ζω n s + ω 2 n) z = (2ζω n s + ω 2 n) z 0 z = (2ζω ns + ωn) 2 s 2 + 2ζω n s + ωn 2 z 0 Förstärkningen ges av 1 + (2ζf /f n ) H(f ) = 2 (1 (f /f n ) 2 ) 2 + (2ζf /f n ) 2 Figur 7.8 visar hur förstärkningen beror av dämpfaktorn och frekvenskvoten. Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 19 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 20 / 47
Komfort Komfort Sambandet mellan vägprofilens spektraltäthet S g (f ) och fjädrade massans spektraltäthet S v ges av S v (f ) = H(f ) 2 S g (f ) För att studera komfortkriterier kommer vi nu att studera den fjädrade massans acceleration och spektraltätheten för accelerationen ges av S va (f ) = (2πf ) 2 H(f ) 2 S g (f ) Kvadratiska medelvärdet av accelerationen i en tredjedels oktavband med mittfrekvensen f c ges av: 1.12fc 0.89f c S va (f ) df Figur 7.30 visar gränser för detta medelvärde enligt ISO 2631. Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 21 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 22 / 47 Figur 7.30 Reglering: Aktiv fjädring Figur 7.31 visar principen för en aktiv hjulupphängning. Hydrauliska aktuatorer Nackdelen är att systemet ofta väger mycket och förbrukar mycket energi. Elektromagnetiska aktuatorer Linjära elektromagnetiska motorer är monterade vid samtliga hjul. Snabbare respons än hydrauliska. Motorerna kan användas som generatorer för att återvinna energi. Företaget Bose har utvecklat en proof of concept -modell för ett sådant system. Bose startades av MIT-professorn Amar G. Bose. Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 23 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 24 / 47
Figur 7.31: Aktivt system Reglering: Semi-aktiva system Ett alternativ är att använda dämpare där dämpkoefficienten c sh kan regleras. Magnetreologiska dämpare Dämparen är fylld med en magnetreologisk vätska som strömmar genom kanaler i dämparen. Viskositeten ökar när man lägger på ett magnetfält, vilket gör dämparen styvare. Hydrauliska solenoidventiler Här regleras flödet av hydrauliska solenoidventiler. Ett exempel på detta är Öhlins CES-dämpare (Continously controlled Electronic Suspension). Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 25 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 26 / 47 Magnetreologisk dämpare Figur 7.32: Semiaktivt system Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 27 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 28 / 47
4 1.2 Inledning Figur 7.32: CES-da mparen Figur 7.32: CES-da mparen Figur 1.1. En CES-dämpare. Fra n ett tidigare exjobb (Kvalde n och Johansson, 2011): 1.2 Problembeskrivning Dämpkraften i CES-systemet är en kraftigt olinjär funktion av styrström och hastighet. Existerande reglering kan ibland vara för oexakt för att fungera tillfredställande, se figur 1.2 för exempel på detta. Figur 2.2. Skiss av oljeflödet vid kompressionsslag. Figur 1.1. En CES-dämpare. Problembeskrivning När dämparen komprimeras kommer trycket att öka i kammare A, se figur 2.2. Oljan tillåts strömma mellan kammare A och B genom en backventil, och därmed kommer trycket i kammare A och B vara väldigt lika. Då volymminskningen i kammare A är större än volymökningen i kammare B, eftersom kolvstången pressas in i dämparen, måste en del av oljan dräneras via CES-ventilen och därmed går Systembeskrivning Fo rela sning 9 29 / 47 30 / 47 det att styra trycket i dämparens högtryckssida. med den Figur 1.2. Dämpkraft som funktion av hastighet för en Trycket CES-dämpare.tillsammans Ett exempel för att visa på hur dämparens reglering kan brista. Målet är att dämpkraften ska följa areaskillnad som referensen finns på kolven ger en kraft som verkar motriktad hastigheten. med större noggranhet. Dämpkraften CES-systemet är en kraftigt olinjär funktion av styrström och hasfigur i 7.32: CES-da mparen ompression Retur tighet. Existerande reglering kan ibland vara för oexakt för att fungera tillfredställande, se figur 1.2 för exempel på detta. Figur 2.2. Skiss av oljeflödet vid kompressionsslag. är att dämpkraften ska följa den givna referensen i så stor utsträckning som Figur Målet 7.32: CES-da mparen möjligt. Detta innebär att dämpkraften ska vara så låg som möjligt runt nollan, vid A i figur 1.2, samt att den ska följa referensen och ligga på rätt dämpkraftsnivå Figur 2.3. Skiss av oljeflödet vid returslag. 31 / 47 32 / 47
CES-ventilen är en tryck- och flödeskompenserad ventil som styr tryckfallet mellan dämparens hög- och lågtrycksida. Tryckfallets storlek kan således styras genom att Figur 7.32: CES-da mparen justera strömmen till ventilen. En vital skillnad mellan CES-dämparen och en passiv dämpare är dess arbetsom råde, se figur 2.5,7.32: samt CES-da mparen deras möjligheter att variera detta. Figur Figur 2.4. Schematisk bild över CES-ventilen. 33 / 47 Ventilen är en tvåstegsventil, det vill säga att den har ett huvudsteg och ett pilotsteg, se figur 2.4. Huvudsteget har till uppgift att strypa flödet från inlopp till utlopp, i princip allt flöde går via huvudsteget. För att ventilen ska ha ett liknande beteende för flera olika trycknivåersystem används ett pilotsteg som använder trycket i Reglering: Semi-aktiva inloppet till att styra huvudsteget. 34 / 47 Figur 2.5. Jämförelse av externt justerbara arbetsområden för CES-dämpare A oc en passiv dämpare. I figuren kan man tydligt se att CES-dämparen har betydlig större spann mellan högsta och lägsta dämpkraft än den passiva dämparen, både vi Reglering kompressions- och returslag. Notera att figuren endast beskriver en typ av grov instäl ning för den passiva dämparen. Sa ha r kan det se ut: När karakteristiken/inställningen på en passiv dämpare ska justeras, finns de Requested två olika sätt att göra detta. Det första alternativet är att grovt justera dämpa Force rens inställning. Detta görs genom att montera isär dämparen för att kunna byt delar av innanmätet och på så vis påverka lutningen på dämpkraftskurvan. A ternativ två innebär i stället en finjustering av inställningen, detta kan ofta göra Arbetsga ng: Va lj en reglerstrategi Bera kna o nskad kraft fra n da mparen Fsh Damper Velocity Va lj csh sa att da mparen ger kraften Fsh na r sa a r mo jligt. Damper Force 35 / 47 36 / 47
Reglering: Skyhook Studerar kvartbilsmodellen med en frihetsgrad k m z c Reglering: Skyhook Förstärkningen ges i det passiva fallet av Z 1 + (2ζf /f n ) = 2 Z 0 (1 (f /f n ) 2 ) 2 + (2ζf /f n ) 2 Börjar med fallet med passiv fjädring som vi har studerat tidigare. z 0 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 37 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 38 / 47 Reglering: Skyhook En konfiguration där man slipper kompromissen mellan hög och låg dämpfaktor är följande Reglering: Skyhook Förstärkningen för detta system ges av Z 1 = Z 0 (1 (f /f n ) 2 ) 2 + (2ζf /f n ) 2 m z 0 c sky k z Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 39 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 40 / 47
Reglering: Skyhook Reglering: Skyhook Kraften på den fjädrade massan i låtsas-systemet ges av: c sky ż + k(z z 0 ) Kraften på den fjädrade massan i det riktiga systemet är c(ż ż 0 ) + k(z z 0 ) En jämförelse ger följande samband: ż c = c sky ż ż 0 En förenklad variant som presenteras i boken är c = { c firm om ż 1 (ż 1 ż 2 ) 0, c soft om ż 1 (ż 1 ż 2 ) < 0 Eftersom c alltid är positiv väljer vi { } ż c = max c sky, 0 ż ż 0 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 41 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 42 / 47 Reglering: Alternativ strategi Betraktar även här kvartsbilsmodellen. Antag vi vill få den fjädrade massan m s att bete sig som att resten av systemet inte fanns, Reglering: Alternativ strategi Totala kraften som verkar på den fjädrade massan är c sh (ż 1 ż 2 ) + k s (z 1 z 2 ) m s k s c sh z 1 Genom att sätta uttrycket till noll, lösa ut c sh och ta hänsyn till att c sh inte kan vara negativ, så får vi följande reglerstrategi: k tr m us c t z 2 c sh = { c soft om (ż 1 ż 2 )(z 1 z 2 ) 0, k s (z 1 z 2 )/(ż 1 ż 2 ) om (ż 1 ż 2 )(z 1 z 2 ) < 0, z 0 Observera att med denna metod behöver vi bara känna till z 1 z 2, d.v.s. den relativa skillnaden mellan den fjädrade och ofjädrade massan. d.v.s. att kraften på massan är lika med noll. Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 43 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 44 / 47
Olinjära dämpare Hittills har vi studerat linjära modeller för dämpare. Följande figur visar sambandet mellan kraft och ż 1 ż 2 för en olinjär dämpare, där hastigheten v t är en designparameter. Olinjära dämpare När parametern v t skall väljas kan det finnas motstridiga önskemål. Exempel på detta är komfortmåttet damper force N 1500 1000 500 0 500 1000 v t = 0.1 m/s v t = 0.05 m/s v t = 0.15 m/s 1500 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 strut velocity m/s J 8 = T 0 z 2 1 dt och följande mått på den fjädrade massans avvikelse från jämviktsläget: J 5 = T 0 z 2 1 dt Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 45 / 47 Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 46 / 47 Olinjära dämpare Följande figur visar hur J 5 och J 8 beror av v t 1 The effect of the piecewise linear damper on ride comfort and external load rejection 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 J5/max(J5) J8/max(J8) J5, c= 3435 Ns/m J8, c = 3435 Ns/m 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 v hat in m/s Referens: Simulation-based analysis and optimal design of nonlinear passive vehicle suspensions, Christos Papageorgiou och Malcolm C. Smith Jan Åslund (Linköping University) Föreläsning 9 47 / 47