Laborationer OBS: Texten i laborationerna är till viss del formulerad för att passa med Excel. Valet av verktyg för att genomföra laborationerna är emellertid ingalunda nödvändigt att vara Excel. För att slippa att skriva in data som behövs nedan kan data hämtas på endera länken http://www.math.su.se/matstat/und/livfors eller http://www.actstrats.com. 1
2 Laborationer Laboration 1 - Utjämning med Makehams formel 1. Laborationen skall genomföras för både män och kvinnor. Utgå från Tabell E.1-3 för män och Tabell E.4-6 för kvinnor. De första fyra kolumnerna innehåller ålder, risktid samt döda, totalt och därav efter födelsedagen. Första uppgiften är att konstruera resterande kolumner, det vill säga dödsrisker, kvarlevande av 100 000 levande födda och återstående medellivslängd. Genomför uppgiften genom att använda de redan existerande kolumnerna samt lämpliga formler därför ur boken. De på detta sätt skapade värdena kommer inte att till fullo överensstämma med de givna kolumnerna i Tabellerna E.1-6 för alla åldrar, men för de flesta åldrar ligger värdena mycket nära de givna värdena. Skapa ytterligare två kolumner genom att skatta dödlighetsintensiteterna (för män respektive kvinnor). 2. Anpassa en Makeham-formel till de skattade dödlighetsintensiteterna (för män respektive kvinnor) med de föreslagna vikterna i kompendiet. Använd metoden i kompendiet att först fixera γ och sedan skatta α och β enligt de uppställda formlerna. Variera sedan γ och använd detta γ, tillsammans med de nya skattade α och β, som ger minst värde på den vägda residualkvadratsumman Q. Två signifikanta siffror är tillräcklig noggrannhet. Man behöver inte anpassa en andragradskurva för att få bästa γ. Istället kan man låta det temporära γ-värdet finnas i en cell och hela tiden referera till cellen när man behöver γ-värdet. Man behöver då bara ändra värdet i cellen när man vill ändra γ-värdet, och då ändrar sig Q och de skattade värdena av α och β automatiskt. Det är dock lämpligt att spara åtminstone Q-värdet för respektive γ-värde för att sedan kunna se vilket γ som minimerar Q. 3. När man har hittat det γ-värde som minimerar Q (för män respektive kvinnor) är det dags att plotta γ mot Q genom att
Laborationer 3 markera alla γ-värden och Q-värden och därefter klicka på symbolen för diagram i verktygspanelen. Välj x y-scatter som diagramsort. Beroende på hur man har ställt upp värdena så kan det hända att man måste ändra några inställningar. Prova till exempel att dubbelklicka på olika ställen i diagrammet när markören står på en fylld punkt i diagrammet. Bedöm medelst okulärbesiktning huruvida uppritat diagram ser ut som en andragradskurva? 4. Eftersom de skattade värdena på dödlighetsintensiteterna för låga och höga åldrar är mycket osäkra (varför?) kan det vara en god idé att utesluta de lägsta och högsta åldrarna från analysen. Om man vill behålla värdena i tabellen, och inte fysiskt ta bort dem, kan detta göras genom att de ställen där man för respektive kolumn summerar över alla rader, tar du bort de aktuella raderna från summationen. Gör sedan om analysen från Steg 2. Välj på ett sakligt sätt vilka åldrar som skall uteslutas ur analysen. 5. Plotta de skattade dödlighetsintensiteterna och Makehamformlerna (för män respektive kvinnor) i samma diagram mot de olika åldrarna. Gör detta dels för analysen med alla åldrar i materialet och dels för analysen med några borttagna åldrar. Man får två diagram med fyra kurvor i varje diagram. Gör iakttagelser! 6. Skriv en redovisning avseende funna resultat och slutsatser. Bifoga beräkningar och analys. Sträva efter att skriva en fullständig redogörelse. Tänkt målgrupp för redovisningen är individer utan mer omfattande matematisk skolning. Detta är normalt en aktuaries vardag, skriftlig (och muntlig) framställning.
4 Laborationer Laboration 2 - Beräkning av värdefunktionen 1. För att genomföra laborationen skall vi använda grundsystemet M90. Laborationen genomförs med data för män. Ett utdrag över de data som skall användas finns i Tabell C.1 längre ner i texten. Värdena i tabellen har multiplicerats med 100 000 för bättre överskådlighet samt återgetts med fler signifikanta siffror än i ursprungstabellen. Data finns också på länkarna angivna ovan. Data innehåller kommutationstalen D(x) och N(x) för åldrarna x = 0, 5, 10, 15,..., 100. 2. Beräkna numeriskt premien, värdefunktionen V (t) och risksumman vid tidpunkterna t = 0, 5, 10, 15,..., 100 för en sammansatt kapitalförsäkring med m = 30, n = 15 och S = 50 000 kronor med hjälp av ovanstående data. Antag att den försäkrade mannen är 50 år, det vill säga att x = 50. Tabulera såväl A(t) som B(t) och gör uppdelningen av P i riskpremie och sparpremie. Använd antagandena i M90 det vill säga även avseende det explicita antagandet av µ x vid beräkning av riskpremien och sparpremien. 3. Plotta värdefunktionen V (t) mot åldern. Förklara värdefunktionens utseende. 4. Beräkna med hjälp av Thieles differentialekvation värdefunktionen V (t) vid tidpunkterna t = 1, 2, 3, 4, 5 för samma försäk-ring som ovan. Använd steglängden h = 1. 5. Samma uppgift som i uppgift 4 ovan men med steglängden h = 0, 5 och t = 1, 2, 3, 4,..., 10. Vad beror skillnaden på? Vilken metod är att föredra? 6. Jämför framräknade värden i uppgifterna 2, 4 och 5. Diskutera skillnaderna efter att ha klarlagt vad som förorsakar skillnaderna.
Laborationer 5 x D x N x x D x N x x D x N x 0 100 000 3 239 552,0 5 87 121,0 2 772 487,6 45 28 612,1 664 816,2 85 5 012,3 33 667,2 10 75 896,8 2 365 585,7 50 24 743,8 531 618,6 90 2 842,8 14 194,0 15 66 113,0 2 011 120,5 55 21 293,5 416 681,4 95 1 214,7 4 334,0 20 57 582,2 1 702 368,7 60 18 175,2 318 130,5 100 324,4 796,4 25 50 140,4 1 433 484,4 65 15 304,7 234 516,6 105 39,7 64,8 30 43 643,3 1 199 391,0 70 12 600,9 164 806,0 110 1,3 1,4 35 37 963,4 995 690,0 75 9 994,7 108 346,5 115 0,0 0,0 40 32 987,2 818 584,4 80 7 451,2 64 758,7 120 0,0 0,0 Tabell 1: Utdrag ur Tabell E.19, Kommutationsfunktioner, D x och N x, enligt M90, man, i = 3 %, belastning på ɛ = 0, 003. 7. Skriv en redovisning avseende funna resultat och slutsatser. Bifoga beräkningar och analys. Sträva efter att skriva en fullständig redogörelse. Tänkt målgrupp för redovisningen är individer utan mer omfattande matematisk skolning. Detta är normalt en aktuaries vardag, skriftlig (och muntlig) framställning.