MMA127 Differential och integralkalkyl II

Relevanta dokument
MMA127 Differential och integralkalkyl II

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

Tentamen IX1304 Matematik, Analys , lösningsidéer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

= 0 genom att införa de nya

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2015 Skrivtid 8:15 12:15

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.

Modul 4 Tillämpningar av derivata

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Campus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Transkript:

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. 11 p: U. 12 16 p: 3. 17 21 p: 4. 22 p eller mer: 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 73 763 27 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Delpoäng utdelas, så lämna in allt som du gjort även om du inte lyckades slutföra uppgiften. Om du inte klarar en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en förklaring till vad du skulle ha gjort. Om du i en uppgift behöver ett resultat från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den så att det går att komma vidare. Du behöver inte utföra krångliga numeriska beräkningar; det är OK att svara t.ex. 5 6 7. 1. Lös nedanstående integral: 2 1 y/2 ye x3 dx dy (Tips: byt integrationsordning.) Integrationsområdet ser ut som Omformulerat blir det y 2x, x 1. Med omkastade gränser blir det 2 1 y/2 ye x3 dx dy 1 2x ye x3 dy dx 1 [ 1 2 y2 e x3] 2x dx 1 2x 2 e x3 dx [ 2 3 ex3] 1 2 3 (e 1) 1

MMA123 Tentamen 211.8.11 Lösningsförslag Sida 2 (av 7) Rättningsnorm: Korrekt hanterat gränserna: 1 p. Klart visat att man vet hur dubbelintegraler räknas ut (inre först, yttre sen): 1 p. Löst integralerna korrekt: 1 p. 2. Parabeln y 5x x 2 och linjen y 4 avgränsar tillsammans ett ändligt område. Beräkna volymen av den kropp som erhålls då detta område roterar runt linjen y 3. Området ser ut så här: Det sträcker sig mellan x 1 och x 4. Vid rotation runt y 3 bildas ett cylinderformat hål med radien 1 i mitten. Enklast är att räkna volym utan hål och sedan dra bort hålet. Skrivar vi upp den massiva kroppen motsvaras skivornas radie av avståndet mellan parabeln och linjen y 3, dvs. radien blir r (5x x 2 ) 3. Volymen blir V 4 1 π(5x x 2 4) 2 dx π 1 2 3 4 1 π(x 4 1x 3 + 33x 2 4x + 16) dx 3π 51π 1 v.e. Rättningsnorm: Helt rätt: 3 p. Missat en eller två saker: 2 p. Missat mer än så, men inte helt fel: 1 p. 3. (a) Då man löser max- och minproblem så börjar man med att leta reda på intressanta punkter, som man sedan undersöker närmare. Om man ska lösa ett två-variablers problem, vilka typer av punkter är det som man ska leta upp? (1p) Punkter där båda partialderivatorna är noll ( kritiska ), punkter där någon av derivatorna inte går att beräkna ( singulära ), randpunkter. Rättningsnorm: Alla tre typerna måste finnas med för poäng. (b) Då man löser max- och minproblem i en variabel kan man använda både förstaderivatatestet och andraderivatatestet. Förstaderivatatestet går dock inte att använda för problem i två variabler. Förklara varför! (1p) Förstaderivatatestet bygger på att man ser om funktionsvärdena ökar eller minskar till höger respektive till vänster om den undersökta punkten. I två variabler skulle

MMA123 Tentamen 211.8.11 Lösningsförslag Sida 3 (av 7) man behöva undersöka vad som händer på alla sidor om punkten. Tyvärr finns det här oändligt många sådana! Man kan inte undersöka oändligt många saker en i taget. Rättningsnorm: Allt som tyder på att man förstår problematiken godtas. (c) Beskriv kortfattat hur andraderivatatestet för två-variablers funktioner fungerar. Det man gör är att undersöka tecknet på AC B 2, där A f xx (a, b), B f xy (a, b) och C f yy (a, b) och (x, y) (a, b) den punkt som ska undersökas. Men varför ger denna undersökning svar på frågan? (Svaret behöver inte vara så välformulerat, men det måste gå att se att du har förstått.) (1p) Det man egentligen tittar på är skillnaden mellan funktionsvärdet i den punkt där förstaderivatorna är noll och i punkter i närheten. Om denna skillnad hela tiden har samma tecken så är punkten en extrempunkt, annars är den en sadelpunkt. Genom att ställa upp ett andra ordningens Taylorpolynom och kvadratkomplettera så kan man göra denna teckenanalys. Man får kvadrat+(ac B 2 ) kvadrat. Om AC B 2 är positivt måste ju detta garanterat bli positivt (vilket innebär konsekvent tecken), annars kan det bli både positivt och negativt, beroende på vilken av kvadraterna som dominerar. Rättningsnorm: Det ska på något sätt framgå att det handlar om teckenstudium av skillnaden mellan funktionsvärdena. 4. Anta att w f (x, y), x r cos θ och att y r sin θ. Visa att ( ) 2 + Kedjeregeln ger att ( ) 2 ( ) 2 + 1 r r 2 ( ) 2 θ r r + r θ θ + θ Vi har också att r r cos θ cos θ r r r sin θ sin θ r All denna information insatt i högerledet ger θ r cos θ r sin θ θ θ r sin θ r cos θ θ ( ) 2 + 1 ( ) 2 ( r r 2 θ r + ) 2 + 1 ( r r 2 θ + ) 2 θ ( ) 2 cos θ + sin θ + 1 ( ) 2 r sin θ + r 2 r cos θ ( ) 2 cos 2 θ + 2 ( ) 2 cos θ sin θ + sin θ 2 + 1 ( ) 2 r 2 r2 cos 2 θ 2r 2 ( ) 2 cos θ sin θ + r2 sin θ 2 ( ) 2 ( ) 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) + (cos 2 θ + sin 2 θ)

MMA123 Tentamen 211.8.11 Lösningsförslag Sida 4 (av 7) ( ) 2 + ( ) 2 (Detta kan vara intressant om man räknar på något som bäst låter sig beskrivas i polära koordinater.) Rättningsnorm: Helt rätt: 3 p (ställt upp kedjeregeln rätt: 1 p; räknat partialderivatorna rätt: 1 p; satt ihop informationen och förenklat: 1 p). I övrigt poäng efter hur stor del av uppgiften man löst. 5. (a) Förklara vad det innebär att en funktion f : R 2 R har gränsvärdet L i punkten (x, y) (a, b). (Formell definition eller egna ord går lika bra.) (1p) Att funktionsvärdet kommer att närma sig L då man går mot (a, b) oavsett vilken väg man går. Att man kan få funktionsvärdet godtyckligt nära L genom att lägga sig tillräckligt nära (a, b), oavsett i vilken riktning relativt (a, b) man befinner sig. Att det till varje positivt tal ε går att hitta ett positivt tal δ sådant att om (x, y) ligger inom avståndet δ från (a, b) (och i definitionsmängden men inte exakt på (a, b)) så kommer skillnaden mellan f (x, y) och L att vara mindre än ε. Rättningsnorm: Det där att det ska funka utmed alla vägar/alla håll måste framgå. (b) Ge formella definitionen av att en funktion funktion f : R 2 R är kontinuerlig i punkten (x, y) (a, b). (1p) Funktionsvärde och gränsvärde existerar båda i punkten och är lika med varandra. Rättningsnorm: Ska vara precis detta, det är så formella definitionen är! (c) Ge ett exempel på en funktion f : R 2 R som är kontinuerlig men inte differentierbar i origo. (Formel, bild eller beskrivning i ord går lika bra.) (1p) Enklaste exempelt: En kon, f (x, y) x 2 + y 2. Är kontinuerlig men har en spets i origo och är därför inte differentierbar. Rättningsnorm: Svaret ska gå att begripa och uppfylla det givna kravet. 6. Vi har differentialekvationen (a) Visa att dy dx 2xy f (x) n x 2n n! är en lösning till differentialekvationen. (2p) Variant 1: Vi skriver om uttrycket till klartext, vilket är lättare att analysera och derivera: f (x) x! + x2 1! + x4 2! + x6

MMA123 Tentamen 211.8.11 Lösningsförslag Sida 5 (av 7) 1 + x 2 + x4 2! + x6 f (x) + 2x + 4x3 2! + 6x5 2x f (x) 2x + 2x 3 + 2x5 2! + 2x7 2x + 2 2x3 2 + 3 2x5 3 2! + 4 2x7 4 3! + 2x + 4x3 2! + 6x5 3! + 8x7 4! +... Vi ser att f (x) och 2x f (x) är lika, så f (x) 2x f (x) är noll, dvs. detta är en lösning till differentialekvationen. Variant 2: Vi känner igen uttrycket som MacLaurinutvecklingen av e x2, så det vi har att göra är att bekräfta att denna funktion löser differentialekvationen: y e x2 y 2xe x2 y 2xy 2xe x2 2xe x2 Ja, det stämmer! Rättningsnorm: Helt rätt: 2 p. Delvis korrekt, eller delvis löst: 1 p. (b) Bestäm den lösning till differentialekvationen som uppfyller bivillkoret y() 5. Variant 1: Differentialekvationen är separabel, och kan skrivas om till 1 dy y dx 2x Löses enligt 1 y dy 2x dx ln y x 2 + C Det är givet att y är positivt i det område som vi studerar, så vi kan skippa beloppstecknet. ln y x 2 + C y e x2 +C Bivillkoret ger ln 5 2 + C C ln 5 Lösningen är alltså y e x2 +ln 5 e x2 e ln5 5e x2. Variant 2: Diffetentialekvationen är linjär: y + ( 2x)y Integrerande faktor fås genom att ta fram en primitiv funktion till 2x, t.ex. x 2. Vi får e x2 (y + ( 2x)y) e x2 e x2 y + ( 2x)e x2 y d dx (e x2 y)

MMA123 Tentamen 211.8.11 Lösningsförslag Sida 6 (av 7) e x2 y dx C y C e x2 Cex2 Sedan bestäms C ur bivillkoret. Rättningsnorm: Helt rätt: 3 p (angripit med lämplig metod: 1 p; lyckats med metoden: 1 p; fixat bivillkoret: 1 p). I övrigt poäng efter hur stor andel man lyckats genomföra. 7. En reflex sitter monterad på ett cykelhjul. Reflexens läge vid tiden t kan beskrivas med parameteruttrycken x,3(t +,5 cos t) y,3(1,5 sin t) x och y mäts i meter och tiden t i sekunder. (a) Skissa den kurva som reflexen följer under tidsintervallet t 2π. (2p) Gör upp en värdetabell för de värden på t där det verkar möjligt att räkna ut något. (Om tidsnöd råder, tag värden med π/4 emellan, använd mer fingraderat annars.) π 3, cos π/4 sin π/4,7. Man kan inse att y-värdena kommer att upprepas, så man behöver inte beräkna alla där. t x y,15,3 π/4,33,2 π/2,45,15 3π/4,57,2 π,75,3 5π/4 1,2,4 3π/2 1,35,45 7π/4 1,68,4 2π 1,95,3 Rättningsnorm: Korrekt teknik och en någorlunda rätt kurva: 2 p. Rätt teknik men felräknat/felritat så att kurvan är definitivt fel: 1 p. Korrekt kurva utan motivering: 1 p. (b) Bestäm vid vilken tidpunkt i intervallet reflexens fart är som störst. (Farten är lika med storleken på hastigheten.) Hastigheten är v t,,3(1,5 sin t),,15 cos t t så farten är v v,3 (1,5 sin t) 2 + (,5 cos t) 2,3 1 sin t +,25 sin 2 t +,25 cos 2 t

MMA123 Tentamen 211.8.11 Lösningsförslag Sida 7 (av 7),3 1,25 sin t Detta uttryck kan maximeras på vanligt sätt med hjälp av derivering, men annars ser man att det har sitt största värde då sin t är som minst. Minsta värdet är 1 och antas då t 3π/2 (motsvarar toppen på bågen, då reflexen rör sig rakt framåt). Rättningsnorm: Helt rätt: 3 p. (Hastigheten: 1 p; farten: 1 p; maximeringen: 1 p). I övrigt poäng efter hur mycket som är rätt. (Så fel hastighet, men sedan korrekt fart och maximering baserat på detta ger 2 p.) Lycka till!