Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Relevanta dokument
Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i ETE305 Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

Provräkning 3, Linjär Algebra, vt 2016.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Kontrollskrivning i Linjär algebra ,

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

LYCKA TILL! kl 8 13

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Tentamen TMV140 Linjär algebra Z

Facit/lösningsförslag

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t)

Vektorgeometri för gymnasister

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

Vektorgeometri för gymnasister

Preliminärt lösningsförslag

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

Chalmers tekniska högskola Datum: Våren MVE021 Linjär algebra I

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

Preliminärt lösningsförslag

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

Linjär algebra och geometri I

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

Lösningar kommer att läggas ut på kurshemsidan första arbetsdagen efter tentamenstillfället. Resultat meddelas via epost från LADOK.

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

x + y + z + 2w = 0 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet y + z+ 2w = 0 (2p)

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Linjär algebra på några minuter

November 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: c 1

Vektorgeometri för gymnasister

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

Preliminärt lösningsförslag

Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

M = c c M = 1 3 1

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

14. Minsta kvadratmetoden

Linjär algebra/matematik. TM-Matematik Mikael Forsberg ma014a, ma031a

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

Egenvärden och egenvektorer

Transkript:

LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker 8 poäng och minst uppgifter med eller poäng. Godkända inlämningsuppgifter vt ger poäng att addera till skrivningsresultatet. Markera detta genom att skriva G i rutan för uppgift 8. Fullständiga motiveringar krävs. Lösningar finns efter skrivtidens slut på kurshemsidan http://www.mai.liu.se/ uljan/kurser/ete5/ ( p ( p ( p ( p ( p. (a Formulera tre, i kursen ingående, centrala satser som handlar om linjärt beroende/oberoende, basbegreppet eller dimensionsbegreppet. (b Bevisa en av de satser du formulerade ovan.. (a Betrakta linjen L: { x + y z = x + y + z = 7. Bestäm den punkt på L som ligger närmast punkten (9,, och beräkna avståndet från (9,, till denna närmaste punkt (b Rita, på separat papper, en figur som tydligt illustrerar den lösningsgång du valt i (a och de beteckningar du inför.. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationssystemet Bestäm därefter alla lösningar { x = x + x x = x + 5x. ( x x sådana att lim t e t x (t =. ( p 4. Låt v = (,,, 4, 4 E 5 och U = [(,,,,, (,, 4,,, (,, 4,, ] E 5. Bestäm min v u u U samt det u U för vilket detta minsta värde antas. VÄND!

( p 5. Den linjära avbildningen F: R 4 R 4 har avbnildningsmatrisen a A = b c 4 d i standardbasen. Bestäm de reella talen a, b, c, d R så att (,,, N(F. För dessa värden på a,b,c,d, bestäm α så att (7,α, 9, V (F. För dessa värden på a,b,c,d och α, bestäm alla u R 4 sådana att F(u = (7,α, 9,. ( p 6. Vilken sorts yta definieras av ekvationen x + y + z xz yz =? Ange de punkter på ytan som ligger närmast respektive längst ifrån (om sådana finnes origo samt avståndet från origo till dessa punkter. ( p 7. Låt A vara en n n-matris med n st olika egenvärden λ,λ,...,λ n och låt E beteckna enhetsmatrisen. Bilda matrisen B = (A λ E (A λ E... (A λ n E. Visa att BX = för alla n -matriser X.

Lösningsförslag till ETE5, Linjär algebra, 5 8. Se kursboken, kapitel 4.4.. (a Lös först ekvationssystemet så att vi får ut L på parameterform: { { { x + y z = x + y + z = 7 x z = 5 x + y + z = 7 y z = y + z = x 5 L: e y e +te OP + tv, t R. z Sätt P = (9,, och beräkna ortogonalprojektionen av P P på v. ( P P v P P v = v v = e 5 = OP p = OP + P P v = e e e 6. Slutligen beräknas avståndet som längden av vektorn P p P: Pp P 9 = e e 6 = 8 e 7 5 = 8 (b P P P P p P L P v P P v P p OP OP p O

( x. Sätt X = x och skriv på matrisform. Beräkna sedan egenvärden och egenvektorer till koefficientmatrisen. { x = x + x x X = = x + 5x det (A λe= λ 5 λ ( λ = 4 = λ = = ( X 5 =( λ(5 λ + =λ 6λ + 8= λ = 4, ( ( = X 4 = t ( ( ( = X = t Därav följer det att den allmänna lösningen kan skrivas ( ( ( x X = = C e 4t + C e t = x = C e 4t + C e t = x = e t x = C e 4t t + C e t t = C e t + C. Ur detta ser vi att om C så gäller att e t x då t. För den lösning som har gränsvärdet då t måste därför C =. Detta ger att e t x = C C = C =, ( ( x d v s den sökta lösningen är = e t. x 4. Sätt u = (,,,,,u = (,, 4,,,u = (,, 4,,. Vi börjar med att notera att u = u + u. Satsen om löjliga element (sats 4..5, sid 97 ger då att U = [u,u,u ] = [u,u ]. Vi löser problemet med minsta-kvadratmetoden, d v s studera det olösbara ekvationssystemet ( λ u + λ u = v 4 λ = AX = Y = λ 4. 4 Studera normalekvationerna. A t A = ( 4 4 ( 4 6 ( A t A ( 6 = 4

( A t Y = 4 4 4 A t AX = A t Y X = ( A t A A t Y = ( ( = 5 5 ( ( ( 5 =. Enligt sats 5.., sid gäller att det u U som minimerar avståndet är u = v U och ur sats 5.4, sid 4 fås att ( v U = e AX = 4 = e 8 5 = v v U = e 4 e 5 8 = = 6 4 5. Sätt v = (,,,. Enligt definitionen av nollrum så gäller att v N(F om F(v =. Beräkna F(v med hjälp av avbildningsmatrisen och sätt denna till för att på så sätt beräkna a,b,c,d. a F(v = F e e b c 4 d a = b = = A c =. d = 4 + a b + c + d En vektor u V (F om det finns v så att F(v = u. Översatt till matrisform betyder detta att vi skall lösa nedanstående ekvationssystem 7 r r r r 4 4 4 α r r r 4 r 9 9 7... 4 6 4 α α + r +r r +4r

4 9 α + r 4r α + Följaktligen gäller att u V (F omm α = och då gäller att de v som uppfyller F(v = u fås genom att lösa 7 x + t 9 v = e x x e + t. 4 x 4 t. 6. Sätt Q(e X e = x + y + z xz yz =, skriv på matrisform och bestäm en ON-bas av egenvektorer till matrisen. λ Q(e X e = Xe t X e, det (A λe = λ r r = λ λ = ( λ λ k +k λ = ( λ λ λ = = ( λ λ λ = ( λ(( λ( λ = = ( λ(λ 5 5 5λ+4 = λ =, ± 4 4 = 5 ± =, 4. Då egenvärdena är positiva är ytan en ellipsoid. Beräkna egenvektorerna på vanligt sätt. λ = : X = t, f = e λ = : λ = 4 : Byte till denna ON-bas av egenvektorer ger X = t X 4 = t Q(u = Q(f X f = y + y + 4y =., f = e, f = e 6.

Enligt sats 8.., sid gäller u = Q(u = y + y + 4y = 4 u 4 u u med likhet om u är en egenvektor till motsvarande egenvärde. Följaktligen är det kortaste avståndet till origo och den punkt som ligger närmast origo har f som ortsvektor. Längsta avståndet är och den punkt som ligger längst ifrån har ±f som ortsvektor. Resonemanget ovan visar alltså att de punkter som ligger närmast respektive längst ifrån är någon av ellipsoidens skärningspunkter med de nya koordinataxlarna, d v s ± 6 (,, är närmast origo (avstånd och ± (,, är längst ifrån origo (avstånd. 7. Då A har n st olika egenvärden så är A diagonaliserbar (sats 7..6, sid 85. Låt X i vara egenvektorn till λ i. Då är BX i = (A λ E (A λ E... (A λ n EX i = = (A λ E (A λ E... (AX i λ n X i = = (A λ E (A λ E... (λ i X i λ n X i = = (λ i λ n (A λ E (A λ E... (A λ n EX i = = (λ i λ n (A λ E (A λ E... (AX i λ n X i = = (λ i λ n (A λ E (A λ E... (λ i X i λ n X i = = (λ i λ n (λ i λ n (A λ E (A λ E... (A λ n EX i ( Fortsätt på samma sätt tills vi kommer ner till A λ i E. Då blir ( ( = (λ i λ n (λ i λ n... (λ i λ i+ (A λ E (A λ E... (A λ i EX i = = (λ i λ n (λ i λ n... (λ i λ i+ (A λ E (A λ E... (AX i λ i X i = = (λ i λ n (λ i λ n... (λ i λ i+ (A λ E (A λ E... (λ i X i λ i X i = }{{} = Låt nu X vara en godtycklig n -matris. Då X,X,...,X n är en bas finns α,α,...,α n så att X = α X α X +... + α n X n = = BX = B(α X α X +... + α n X n = α BX + α BX +... + α n BX n = vilket skulle bevisas. = α + α +... + α n =