LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker 8 poäng och minst uppgifter med eller poäng. Godkända inlämningsuppgifter vt ger poäng att addera till skrivningsresultatet. Markera detta genom att skriva G i rutan för uppgift 8. Fullständiga motiveringar krävs. Lösningar finns efter skrivtidens slut på kurshemsidan http://www.mai.liu.se/ uljan/kurser/ete5/ ( p ( p ( p ( p ( p. (a Formulera tre, i kursen ingående, centrala satser som handlar om linjärt beroende/oberoende, basbegreppet eller dimensionsbegreppet. (b Bevisa en av de satser du formulerade ovan.. (a Betrakta linjen L: { x + y z = x + y + z = 7. Bestäm den punkt på L som ligger närmast punkten (9,, och beräkna avståndet från (9,, till denna närmaste punkt (b Rita, på separat papper, en figur som tydligt illustrerar den lösningsgång du valt i (a och de beteckningar du inför.. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationssystemet Bestäm därefter alla lösningar { x = x + x x = x + 5x. ( x x sådana att lim t e t x (t =. ( p 4. Låt v = (,,, 4, 4 E 5 och U = [(,,,,, (,, 4,,, (,, 4,, ] E 5. Bestäm min v u u U samt det u U för vilket detta minsta värde antas. VÄND!
( p 5. Den linjära avbildningen F: R 4 R 4 har avbnildningsmatrisen a A = b c 4 d i standardbasen. Bestäm de reella talen a, b, c, d R så att (,,, N(F. För dessa värden på a,b,c,d, bestäm α så att (7,α, 9, V (F. För dessa värden på a,b,c,d och α, bestäm alla u R 4 sådana att F(u = (7,α, 9,. ( p 6. Vilken sorts yta definieras av ekvationen x + y + z xz yz =? Ange de punkter på ytan som ligger närmast respektive längst ifrån (om sådana finnes origo samt avståndet från origo till dessa punkter. ( p 7. Låt A vara en n n-matris med n st olika egenvärden λ,λ,...,λ n och låt E beteckna enhetsmatrisen. Bilda matrisen B = (A λ E (A λ E... (A λ n E. Visa att BX = för alla n -matriser X.
Lösningsförslag till ETE5, Linjär algebra, 5 8. Se kursboken, kapitel 4.4.. (a Lös först ekvationssystemet så att vi får ut L på parameterform: { { { x + y z = x + y + z = 7 x z = 5 x + y + z = 7 y z = y + z = x 5 L: e y e +te OP + tv, t R. z Sätt P = (9,, och beräkna ortogonalprojektionen av P P på v. ( P P v P P v = v v = e 5 = OP p = OP + P P v = e e e 6. Slutligen beräknas avståndet som längden av vektorn P p P: Pp P 9 = e e 6 = 8 e 7 5 = 8 (b P P P P p P L P v P P v P p OP OP p O
( x. Sätt X = x och skriv på matrisform. Beräkna sedan egenvärden och egenvektorer till koefficientmatrisen. { x = x + x x X = = x + 5x det (A λe= λ 5 λ ( λ = 4 = λ = = ( X 5 =( λ(5 λ + =λ 6λ + 8= λ = 4, ( ( = X 4 = t ( ( ( = X = t Därav följer det att den allmänna lösningen kan skrivas ( ( ( x X = = C e 4t + C e t = x = C e 4t + C e t = x = e t x = C e 4t t + C e t t = C e t + C. Ur detta ser vi att om C så gäller att e t x då t. För den lösning som har gränsvärdet då t måste därför C =. Detta ger att e t x = C C = C =, ( ( x d v s den sökta lösningen är = e t. x 4. Sätt u = (,,,,,u = (,, 4,,,u = (,, 4,,. Vi börjar med att notera att u = u + u. Satsen om löjliga element (sats 4..5, sid 97 ger då att U = [u,u,u ] = [u,u ]. Vi löser problemet med minsta-kvadratmetoden, d v s studera det olösbara ekvationssystemet ( λ u + λ u = v 4 λ = AX = Y = λ 4. 4 Studera normalekvationerna. A t A = ( 4 4 ( 4 6 ( A t A ( 6 = 4
( A t Y = 4 4 4 A t AX = A t Y X = ( A t A A t Y = ( ( = 5 5 ( ( ( 5 =. Enligt sats 5.., sid gäller att det u U som minimerar avståndet är u = v U och ur sats 5.4, sid 4 fås att ( v U = e AX = 4 = e 8 5 = v v U = e 4 e 5 8 = = 6 4 5. Sätt v = (,,,. Enligt definitionen av nollrum så gäller att v N(F om F(v =. Beräkna F(v med hjälp av avbildningsmatrisen och sätt denna till för att på så sätt beräkna a,b,c,d. a F(v = F e e b c 4 d a = b = = A c =. d = 4 + a b + c + d En vektor u V (F om det finns v så att F(v = u. Översatt till matrisform betyder detta att vi skall lösa nedanstående ekvationssystem 7 r r r r 4 4 4 α r r r 4 r 9 9 7... 4 6 4 α α + r +r r +4r
4 9 α + r 4r α + Följaktligen gäller att u V (F omm α = och då gäller att de v som uppfyller F(v = u fås genom att lösa 7 x + t 9 v = e x x e + t. 4 x 4 t. 6. Sätt Q(e X e = x + y + z xz yz =, skriv på matrisform och bestäm en ON-bas av egenvektorer till matrisen. λ Q(e X e = Xe t X e, det (A λe = λ r r = λ λ = ( λ λ k +k λ = ( λ λ λ = = ( λ λ λ = ( λ(( λ( λ = = ( λ(λ 5 5 5λ+4 = λ =, ± 4 4 = 5 ± =, 4. Då egenvärdena är positiva är ytan en ellipsoid. Beräkna egenvektorerna på vanligt sätt. λ = : X = t, f = e λ = : λ = 4 : Byte till denna ON-bas av egenvektorer ger X = t X 4 = t Q(u = Q(f X f = y + y + 4y =., f = e, f = e 6.
Enligt sats 8.., sid gäller u = Q(u = y + y + 4y = 4 u 4 u u med likhet om u är en egenvektor till motsvarande egenvärde. Följaktligen är det kortaste avståndet till origo och den punkt som ligger närmast origo har f som ortsvektor. Längsta avståndet är och den punkt som ligger längst ifrån har ±f som ortsvektor. Resonemanget ovan visar alltså att de punkter som ligger närmast respektive längst ifrån är någon av ellipsoidens skärningspunkter med de nya koordinataxlarna, d v s ± 6 (,, är närmast origo (avstånd och ± (,, är längst ifrån origo (avstånd. 7. Då A har n st olika egenvärden så är A diagonaliserbar (sats 7..6, sid 85. Låt X i vara egenvektorn till λ i. Då är BX i = (A λ E (A λ E... (A λ n EX i = = (A λ E (A λ E... (AX i λ n X i = = (A λ E (A λ E... (λ i X i λ n X i = = (λ i λ n (A λ E (A λ E... (A λ n EX i = = (λ i λ n (A λ E (A λ E... (AX i λ n X i = = (λ i λ n (A λ E (A λ E... (λ i X i λ n X i = = (λ i λ n (λ i λ n (A λ E (A λ E... (A λ n EX i ( Fortsätt på samma sätt tills vi kommer ner till A λ i E. Då blir ( ( = (λ i λ n (λ i λ n... (λ i λ i+ (A λ E (A λ E... (A λ i EX i = = (λ i λ n (λ i λ n... (λ i λ i+ (A λ E (A λ E... (AX i λ i X i = = (λ i λ n (λ i λ n... (λ i λ i+ (A λ E (A λ E... (λ i X i λ i X i = }{{} = Låt nu X vara en godtycklig n -matris. Då X,X,...,X n är en bas finns α,α,...,α n så att X = α X α X +... + α n X n = = BX = B(α X α X +... + α n X n = α BX + α BX +... + α n BX n = vilket skulle bevisas. = α + α +... + α n =