Lösningar till Kaströrelse magnetism Växelström Kaströrelse G1. y 4,6 sin 1 g t ger y (4,6 sin 1 9,8,3) m/s 0,9 m/s Sar: 1 m/s G. För hastigheterna id kaströrelse gäller x csα y sin α g t Om y 8,5 sin 11 g t gäller för hastigheten i x-led: x 8,5 cs 11 m/s 8,34 m/s Sar: 8,3 m/s G3. För hastigheten i y-led id kaströrelse gäller y sin α, där är begynnelsefarten. y 10,3 sin 39 g t 10,3 m/s Sar: 10,3 m/s G4. För hastigheterna id kaströrelse gäller x csα y sinα g t Om x 3,6 cs 18 m/s gäller y 3,6 sin 18 g t Begynnelsehastigheten i y-led ar då 3,6 sin 18 m/s 1,11 m/s Sar: 1,1 m/s G5. För hastigheterna id kaströrelse gäller x csα y sinα g t där är begynnelsehastigheten x 9,6 cs 1 m/s A detta framgår att 9,6 m/s. Sar: 9,6 m/s
G6. x cs α 16 cs 43 m/s 11,7 m/s α x Sar: 1 m/s G7. y sin α 6,0 sin 3 m/s,34 m/s Sar:,3 m/s G8. y 1 sin 3 t g t ger y (1 sin 3 0,65 9,8 0,65 ) m,06 m Sar:,1 m G9. Begynnelsehastigheten i y-led är nll. För rörelsen i y-led gäller att den är likfrmigt accelererad med den knstanta acceleratinen g 9,8 m/s. gt s 1,7 Fallhöjden s ger t s 0,588s g 9,8 Sar: 0,59 s G10. a) cs α x x 7,64 m/s y b) sin α y 3,73 m/s x cs α 8,5 cs 6 m/s y sin α 8,5 sin 6 m/s Sar: a) 7,6 m/s b) 3,7 m/s
G11. Hastigheten i x-led är id hrisntellt kast lika med begynnelsehastigheten. x 1 m/s ch y 10 m/s Pythagras' sats ger x + y 1 + ( 10) 15,6 m/s x y Sar: 16 m/s G1. Läget i x-led id kast x cs α t ger t x csα Sar: 0,77 s 8,0 1cs30 s 0,770 s G13. Stenens hastighet är riktad tangentiellt till kastbanan. Acceleratinen a är tyngdacceleratinen sm är riktad nedåt. a P G14. y. sin α gt I banans högsta punkt är hastigheten i y-led y 0 m/s. Vi får 0. sin α gt sin 3,0 sin 30 t α s 0,153 s g 9,8 Sar: 0,15 s
G15. a) Tyngdkraften är den enda kraft sm erkar på bllen. Acceleratinen a g + at ger då (eftersm 0 m/s i ändpunkten): 15 0 15 gt t g Det tar lika lång tid upp sm ner, så ttala tiden blir 15 g 30 9, 8 s 3,05 s b) Vi utnyttjar energiprincipen. Rörelseenergin i utkastet öergår till lägesenergi i högsta punkten. m mgh 15 h m 11,46 m g 9,8 Sar: a) 3,1 s b) 11 m G16. Hastigheten i banans högsta punkt är lika med kulans hastighet i x- led. Denna hastighet x är knstant under hela rörelsen. m/s 7 x x. cs 7. cs 7 m/s 19,6 m/s Sar: 0 m/s
.Frekensen är 10 blixtar/s. Tidsinterallet mellan tå på arandra följande expneringar a bllen är då 10 1 s 0,1 s a) För att bestämma bllens hastighet i x-led betraktar i de expneringar a bllen sm är närmast före resp. närmast efter P. Aståndet i x-led, x, mellan dessa expneringar är 4. 1,0 dm 0,40 m. Tidsinterallet är t. x 0,40 0,1 s 0, s. Bllens hastighet i x-led i punkten P bestäms då till x m/s,0 t 0, m/s. Egentligen är detta medelhastigheten mellan de tå expneringarna, men eftersm tidsinterallet är så litet kan i betrakta denna hastighet sm ungefär lika med mmentanhastigheten i P. b) På samma sätt aläses y i figuren. y 3. 1,0 dm 0,30 m y 0,30 y m/s 1,5 m/s t 0, y P x A c) Den resulterande hastigheten i punkten P bestäms med hjälp a Pythagras' sats: x + y x + y,0 + 1, 5 m/s,5 m/s Sar: a),0 m/s b) 1,5 m/s c),5 m/s V. Efter tiden,0 s befinner sig stenen på höjden y i förhållande till utkastpunkten. Kastinkeln α 40 Utgångshastigheten är 8,0 m/s. gt y t sinα 9,8,0 (8,0sin 40,0 ) m 9,36 m Stenen har således fallit 9,36 m. Höjden öer haet blir då (40 9,36) m 30,64 m Sar: 31 m
V3. a) Hastigheten i x-led är knstant x 18. cs 60. s x. t 6,0 18. cs 60. t 6,0 t s 0,67 s 18 cs60 b) Bllens begynnelsehastighet i y-led är y 18. sin 60 m/s Efter 0,67 s befinner sig bllen på höjden y. gt y t (18. sin 60. 9,8 0,67 0,67 ) m 8, m. Bllen träffar således äggen 8, m öer den niå från ilken den kastades. (8, + 1,5) m 9,7 m Sar: a) 0,67 s b) på höjden 9,7 m V4. Vid likfrmigt accelererad rörelse gäller + at. Vi låter psiti riktning ara uppåt. är utgångshastigheten. Insättning a a g 9,8 m/s, t 1, s ch 4,0 m/s ger: 4,0 9,8. 1, (9,8. 1, 4,0) m/s 7,78 m/s Sar: 7,8 m/s V5. Bllens utgångshastighet i x-led är x 8,5. cs 45 m/s 6,0 m/s Bllens utgångshastighet i y-led är y 8,5. sin 45 m/s 6,0 m/s Efter 1,0 s har bllen en hastighet i y-led sm är y y gt (6,0 9,8. 1,0) m/s 3,8 m/s a) Bllens ttala hastighet efter 1,0 s är då x + y 6,0 + ( 3,8) m/s 7,1 m/s b) Efter 1,0 s befinner sig bllen på en höjd y öer den niå från ilken den kastades. gt 9,8 1,0 y y t ( 6,0 1,0 ) m 1,1 m Sar: a) 7,1 m/s b) 1,1 m
V6. I hrisntell led rör sig kulan 1,0 m på 0,35 s. Kulans hrisntella hastighet x är knstant. 1,0 x m/s 3,43 m/s 0,35 I ertikal led beskrier kulan ett fritt fall. Dess hastighet i ertikal led strax innan den når glet är y gt 9,8. 0,35 m/s 3,44 m/s Vi ill beräkna kulans ttala hastighet. y 3,44 m/s x 3,43 m/s Pythagras' sats ger: 3,43 + 3,44 3,43 + 3,44 m/s 4,85 m/s Kulans rörelseenergi blir då m 0,05 4,85 E J 0,9 J Sar: 0,9 J V7. I kastögnblicket har bllen både rörelseenergi m m 6,0 E k ch lägesenergi E p mgh, där h 1,5 m är höjden öer marken. m Då bllen når marken har den endast rörelseenergi. m 6,0 a) Vi får: + mg. m 1,5 Diisin med m ch multiplikatin med ger: 6,0 +. 9,8. 1,5 65,46 65, 46 m/s 8,09 m/s b) gt Bllen kastas uppåt med hastigheten +6,0 m/s. Då bllen når marken har den hastighet i mtsatt riktning. Vi skrier 8,09 m/s Vi får: 8,09 6,0 9,8. t 14,09 t s 1,43 s 9,8 Sar: a) 8,1 m/s b) 1,4 s
V8. Pilen i fig. 1 representerar. Dess längd i y-led är 9 rutr ds 9 0,5 m/s 4,5 m/s Pilen i fig. representerar hastigheten id en senare tidpunkt t. Dess längd i y-led är 5 rutr. Pilen pekar nedåt. Hastigheten i y-led är då. 5 0,5 m/s,5 m/s. y y gt,5 4,5 9,8 t 4,5 +,5 t s 0,71 s 9,8 Obserera att båda pilarnas längder är 6 rutr i x-led. Hastigheten i x-led är således förändrad. Sar: 0,7 s V9. Kulan rör sig i hrisntell led med samma fart sm ballngen, ds x 8,0 m/s. Efter 1,5 s har kulan fått en hastighet i y-led y gt 9,8. 1,5 m/s 14,73 m/s. Kulans ttala hastighet kan då beräknas med hjälp a Pythagras' sats. x 8,0 m/s y 14,73 m/s 8,0 + 14,73 16,8 m/s Sar: 17 m/s V10. Kastets längd ar x 3,75 m. Utgångshastigheten ar 13,5 m/s. Vi ill beräkna höjden y, där kulan träffar stängslet. x cs α t x 3,75 t s 0,374 s csα 13,5 cs 4 gt y sin α t ger då med ärdet på t insatt: y (13,5. sin 4. 9,8 0,374 0,374 ) m,69 m Eftersm kastet började,13 m öer marken hamnar kulan (,69 +,13) m 4,8 m öer marken då den träffar stängslet. Sar: 4,8 m öer marken
V11. Stenens högsta höjd är h. När stenen är i högsta punkten a sin bana är dess hastighet i y-led lika med nll. Dess hastighet är då lika med x. Denna hastighet är knstant under hela kaströrelsen. 10 m/s 3 x x. cs 3 10. cs 3 9,1 m/s Rörelseenergin id utkastet är lika med summan a rörelseenergi ch lägesenergi i högsta punkten. m m x + mgh x + gh x 10 9,1 h m 0,78 m g 9,8 Sar: 0,78 m V1. För att bestämma bllens hastighet i punkten P bestämmer i först dess hastighet i x-led ch i y-led. Vi mäter då astånden x ch y mellan bllens läge strax före P ch strax efter P. Denna sträcka har tillryggalagts på tiden T. 0,1 s 0, s. Vi mäter ckså höjden h då bllen befinner sig i P. y P x h A h 0 Mätning i figuren ger: x 0,4 m y 0,3 m h 0,5 m a) I punkten P gäller: x 0,4 x m/s,0 m/s T 0,1 y 0,3 y m/s 1,5 m/s T 0,1 x + y,0 + 1, 5 m/s,5 m/s b) Energiprincipen ger att rörelseenergin i punkt A är lika med summan a rörelseenergin i punkt P ch lägesenergin i punkt P. m m + mgh + gh,5 +. 9,8. 0,5 4,01 m/s Sar: a),5 m/s b) 4,0 m/s
V13. I öersta punkten är hastigheten i y-led, y 0 m/s. Hastigheten i öersta läget är lika med hastigheten i x-led. x. cs α I öersta punkten är rörelseenergin 35% a rörelseenergin i början. m m 0,35 m( cs ) α m 0,35 cs α 0,35 cs α 0, 35 α 53,7 Sar: 54 V14. Låt ara farten efter,3 s. Prjektilen befinner sig då på höjden h 1, m. 14 m/s är begynnelsefarten. Prjektilens massa sätts till m. Energiprincipen ger att rörelseenergin id utskjutningen är lika med summan a rörelseenergi ch lägesenergi efter,3 s. m m + mgh + gh gh 14 gh 9,8 1, m/s 13,1 m/s Sar: 13 m/s
V15. Stenens begynnelsehastighet är 8,0 m/s. Dess begynnelsehastighet i x-led ch y-led betecknas x resp. y. y 8,0 m/s 30 x x 8,0. cs 30 m/s y 8,0. sin 30 m/s Hastigheten i x-led är knstant. I y-led är rörelsen accelererad med acceleratinen g. Rörelselagarna ger att efter tiden t är hastigheten i x-led resp. y-led: x 8,0 cs 30 y 8,0 sin 30 gt Efter tiden t 1,3 s är hastigheterna 8,0 cs 30 x m/s 6,93m/s y (8,0 sin 30 9,8 1,3)m/s -8,77 m/s Den ttala hastigheten erhålls med hjälp a Pythagras' sats. 6,93 m/s -8,77 m/s 6,93 + 8,77 6,93 + 8,77 m/s 11, m/s Sar: 11 m/s V16. Utgångshastigheten uppdelas i x ch y, hastigheterna i x-led resp. y-led. y 15. sin 30 m/s 15 m/s 30 x 15. cs 30 m/s Hastigheterna efter tiden t kan skrias: x x 15 cs 30 gt y y 15 sin 30 gt ilket ger hastigheterna efter t 1, s: x x 15 cs 30 m/s 13,0 m/s (15 sin 30 y 9,8 1,)m/s 4,3 m/s Pythagras' sats ger då den ttala hastigheten :
13,0 m/s 4,3 m/s 4,3 + 13,0 4,3 + 13,0 m/s 13,7 m/s Sar: 14 m/s V1.Den hrisntella kmpsanten B jh a det jrdmagnetiska fältet är inkelrät mt den ertikala åskledaren. B jh B j cs 63 78 cs 63 µt 35,4 µt Kraften på åskledaren: F B jh I l 35,4 10 6 3, 103 14,0 N 1,59 N I 3, ka 63 Bjh mt nrr B j B j Kraftens riktning erhåller i med hjälp a högerhandsregeln. Vi får kraftriktningen inåt inkelrätt mt papperets plan. Kraften är således riktad mt äster. Sar: 1,6 N riktad mt äster V. Vi bestämmer först den mt ytan inkelräta kmpsanten B j. sin 68 Bj B 5 sin 68 j µ T 48, µt Bj Det magnetiska flödet Φ B j A 48, 10 6,0 Wb 96,4 µwb Sar: 96 µwb
V3. Flödestätheten B i centrum a en lång sple: N I B l 0,80 0,40 B µ µ Wb/Am l N I 100 0,50 5,33 10 4 Wb/Am Permeabiliteten för akuum µ 4π 10 7 Wb/Am Permeabiliteten för ett ämne µ µ r µ, där µ r är den relatia permeabiliteten. µ 5,33 10 4 µ r 44 µ 4 10 7 π Sar: 40 V4. Där kmpassnålen befinner sig är den magnetiska flödestätheten B 1 från kabeln inkelrät mt jrdmagnetiska fältets hrisntalkmpsant B jh. B 1 60 10 7 I 10 7 T 4,0 µ T a 3,0 B jh 16 µt Kmpassnålen kmmer att ställa in sig i det resulterande fältets riktning. Vinkelfelet blir α enligt figuren nedan. 16 µt α B 4,0 µt Ur figuren erhåller i 4,0 tan α α 14,0 16 (Berende på strömriktningen blir felet antingen åt öster eller äster.) Sar: 14 V1.Om elektrnerna skall kunna passera de båda fälten utan att ändra riktning måste den elektriska kraften e E ara lika str sm den magnetiska kraften e B. Krafterna måste därtill ara mtriktade. Vi får ekatinen e E e B sm ger 3 E 50 10 m/s,5 Mm/s B 0 10 3 Då det elektriska fältet tas brt, finns den magnetiska kraften kar. Den kmmer att ara en centripetalkraft, ilket ger ekatinen: 9,1 10 31,5 10 6 e B m r m m r eb 1,6 10 19 0 10 3 7,11 10 4 m Sar: 0,71 mm
V. Den magnetiska kraftens strlek kan beräknas med frmeln F Q B 1, där B 1 är den kmpsant a flödestätheten B sm är inkelrät mt hastigheten. B1 60 B B Ur figuren får i sin 60 B 1 B sin 60 4,0 sin 60 1 B mt 3,46 mt B Med insatta ärden erhålles F 3, 10 19 7,1 105 3,46 10 3 N 7,87 10 16 N Sar: 0,79 fn V3. Den magnetiska kraften F i cirkelbanans öre punkt måste ara nedåtriktad enligt figuren. En elektrn sm rör sig åt höger mtsaras a en psiti ström åt änster. psiti strömriktning I F Högerhandsregeln ger sedan riktningen a den magnetiska flödestätheten, sm är riktad inåt inkelrätt mt papperets plan. Den magnetiska kraften F e B är här en centripetalkraft F c Vi får m e B, ilket ger r 31 6 m 9,1 10,5 10 r m 1,78 10 m eb 19 3 1,6 10 0,80 10 Sar: Riktat inåt från läsaren, radie 1,8 cm m. r
V4. Magnetfältets riktning är från nrd till syd. N B S Högerhandsregeln ger kraftriktningen på prtnen. Den magnetiska kraften blir riktad inåt, inkelrätt mt papperets plan. Acceleratinen har samma riktning sm kraften. Vi kmpsantuppdelar hastighetsektrn. 30 1 Den mt flödestätheten B inkelräta kmpsanten är 1. 1 cs 30,3 cs 30 Mm/s 1,99 Mm/s Kraften på prtnen: F e 1 B 1,60 10 19 1,99 106 58 10 3 N 1,848 10 14 N Kraftekatinen F m a ger sedan acceleratinen: 14 F 1,848 10 a m/s 1,11 10 13 m/s m 7 1,67 10 Sar: 1,1. 10 13 m/s riktad inåt inkelrätt mt papperets plan V5. a) Den magnetiska kraften F B sm erkar på elektrnen är riktad nedåt (riktningen erhålles med hjälp a högerhandsregeln). Om elektrnernas hastighet inte skall ändras måste den elektriska kraften F E ara riktad uppåt ch ara lika str sm F B. Detta innebär att det elektriska fältet E är riktat nedåt eftersm elektrnerna påerkas i en riktning mtsatt fältriktningen. Den öre plattan skall således anslutas till spänningskällans psitia pl. B 48 mt F E E F B b) F E F B ger e E e B, där E är den elektriska fältstyrkan ch e elementarladdningen. Vi får E B 1,0 10 6 48 10 3 V/m 48 kv/m. U E U E d 48 10 3 1,0 10 V 480 V d Sar: a) den öre plattan b) 480 V V6. Laddningarna A, B ch D rör sig inkelrätt mt fältet. C rör sig parallellt med fältet. På denna laddning blir då kraften nll. A befinner sig i ett starkare magnetfält. De magnetiska fältlinjerna ligger tätare där A befinner sig. Kraften blir
därmed störst på A. Sar: A G6.A scillskpbilden framgår att spänningens tppärde û 15,0 V. 15,0 V 5,0 V Effektiärdet U uˆ 15 V 10,6 V Sar: 11 V G7. Då frekensen f är 100 Hz, är periden T 1 s 0,01s 100 Tiden för äxelspänningen att äxa från 0 till sitt maximiärde mtsarar 4 1 perid, ds t 1 s 0,005 s 4 100 Sar:,5 ms G8. Ekatinen för en sinusfrmad äxelström: π i i ˆ sin t T Strömmens effektiärde I î,5 I A 1,768 A π 600π T s 0,00333s T 600 Sar: I 1,8 A, T 3,3 ms. G9. Ekatinen för en sinusfrmad äxelström kan skrias i iˆ sin(πf t) En jämförelse med i 3,5 sin (000π t) ger πf 000 000 f π Hz 1000 Hz Sar: 1,0 khz
G10. u 7,0. sin(400π. t) Således är tppärdet ˆ u 7, 0 V ch inkelhastigheten ω 400π s 1. ˆ 7,0 a) Spänningens effektiärde U u V 4,95 V b) Växelspänningens frekens f: ω 400π ω πf f Hz 00 Hz π π Sar: a) 4,9 V b) 00 Hz G11. u 140. sin(100π. t) I detta uttryck kan i direkt aläsa spänningens tppärde û 140 V ch inkelhastigheten ω πf 100π. Vi får då att frekensen f 50 Hz. Sar: Tppärdet är 140 V, frekensen är 50 Hz G1. A scillskpbilden framgår att spänningens tppärde û 45 V ch att peridtiden T 40 ms. 45 V 15 V 10 ms Frekensen f 40 ms 1 1 T 40 10 3 Hz 5 Hz Sar: û 45 V f 5 Hz 4 cm G13. Aståndet mellan tå närliggande tppar är 4 cm. Periden T 4 5,0 ms 0 ms Frekensen f 1 1 T 0 10 3 50 Hz
Sar: 50 Hz