En av matematikens stora idéer är att skriva tal i positionssystem och att

Kerstin Larsson & Niclas Larson Räkning en kul historia Att arbeta med att synliggöra olika talsystem öppnar möjligheter att beakta ett (kultur)historiskt perspektiv på matematiken. Författarna ger konkreta exempel på hur en medveten variation av skilda talsystem i undervisningen också bidrar till elevers förståelse av vårt tiobassystem. En av matematikens stora idéer är att skriva tal i positionssystem och att använda nollan som en symbol för en tom mängd. Vi använder i dag ett positionssystem som är baserat på basen tio och många ser det som en självklarhet och reflekterar aldrig över detta. Som lärare i grundskolan finns det emellertid flera anledningar till att uppmärksamma och reflektera över vårt positionssystem. Att hjälpa eleverna att få grepp om positionssystemet är oerhört viktigt, många elever hamnar i matematiksvårigheter just för att de inte ser själva systemet bakom hur vi skriver våra tal. Stora civilisationer har genom tiderna uppfunnit olika system för att skriva tal. En del är positionssystem, andra är det inte. Bara att inse att talsystem inte är givna av högre makter eller naturen utan en levande mänsklig konstruktion, som det står i kursplanen, är en viktig aspekt för att förstå matematik (Skolverket, 2000). I den kommande läroplanen, Lgr 11, betonas den historiska aspekten mycket tydligt då den lyfts fram som ett centralt innehåll i samliga skolår (Skolverket, 2010). Variation med talsystem som inte är positionssystem 1 10 100 1000 Det gamla Egypten Ett lättillgängligt talsystem som inte är ett positionssystem fanns i det gamla Egypten. Deras talsystem var rent additivt och med tio som bas. De hade en symbol för ett, en för tio, en för hundra osv. Med dessa symboler kan man skriva tal genom att helt enkelt ta så många tusental, hundratal, tiotal och ental som man behöver och sätta samman dem. Eftersom man räknar varje talsort för sig och summerar dem spelar det egentligen ingen roll i vilken ordning man skriver symbolerna. Talet 32 kan lika gärna skrivas som. Vi har arbetat med det egyptiska systemet med en grupp elever i åk 3 som hade problem med att hantera positionssystemet och hänga med i den ordinarie matematikundervisningen. De tyckte också att matematik var svårt och tråkigt. Under en period fick eleverna undervisning i en mindre grupp i syfte att stärka både deras matematiska kunskaper och deras självförtroende. Eleverna fick skriva tal med de egyptiska tecknen, tolka varandras tal samt addera och subtrahera. De tyckte att detta sätt att skriva tal var mycket enklare och tydligare än vårt eget sätt och kände sig snabbt väldigt säkra. När de adderade och 48 Nämnaren nr 2 2011

subtraherade hände det att de var tvungna att växla, vilket de klarade galant. Genom att arbeta med dessa symboler och samtidigt sätta ord på vad de gjorde, kunde vi tillsammans börja jämföra hur vi kan göra då vi adderar och subtraherar i vårt eget talsystem och vad växlingen av femton ental till ett tiotal och fem ental egentligen innebär. En viktig faktor för just dessa elever var att de tyckte att detta var nytt och spännande, de fick lära sig ett hemligt sätt att skriva tal som var gruppens eget. De gamla romarna Det romerska systemet är också ett additivt system med basen tio, men det skiljer sig från det egyptiska genom att det har fem som en slags mellanbas. För att skriva tal använde man så många tecken man behövde av ett, fem, tio, femtio etc. När vi i dag använder romerska siffror skriver vi vanligtvis med ett modifierat additivt system, där ett lägre tal till vänster om ett högre tal innebär en slags subtraktion. Nu skriver vi oftast IX i stället för VIIII för att beteckna 9, men ursprungligen var romarnas talsystem rent additivt 1. Förslag på uppgifter att arbeta med i det romerska talsystemet kan vara subtraktioner och öppna additionsutsagor i talområdet 0 10. Genom att lösa uppgifter av typen VIII II = och II + = VIIII ges eleverna möjlighet att träna uppdelning av tal och att se talens struktur. För de äldre eleverna kan det vara utmanande att arbeta med addition och subtraktion i talområdet 1 000 9 000 och fundera över växlingar som uppstår. Variation med talsystem som är positionssystem med annan bas än tio Hos mayaindianerna Mayaindianerna hade en högkultur för ca 1 500 3 000 år sedan på Yucatanhalvön i Centralamerika. De skrev tal med hjälp av tre olika skrivtecken: en prick, ett streck och en oval. Man brukar ofta säga att pricken symboliserade ett majskorn, strecket symboliserade en pinne och ovalen ett snäckskal. Talen 0 19 skrevs: 1 Exempel på hur man kan arbeta med detta talsystem i kombination med att använda fingertal har bland annat beskrivits av Dagmar Neuman (1989). Det finns mycket erfarenhet från länder där man använder sig av abacus (se t ex Zhou & Peverly, 2005) som visar hur kraftfull mellanbasen fem är för att hjälpa yngre elever att bygga upp en gedigen taluppfattning. Nämnaren nr 2 2011 49

De byggde alltså upp siffersymboler genom att additivt använda pricken som ett ental och strecket som ett femtal. Det betyder också att tillsammans med ovalen, som symboliserar nollan, använde mayaindianerna 20 olika symboler för att skriva tal. Detta kan jämföras med att vi endast använder tio symboler, siffrorna 0 9. När mayaindianerna skulle skriva talet 20 hände något som i detta sammanhang är bland det mest intressanta. Här växlar man nämligen från 19 ental i lägsta positionen och skriver en prick i nästa position, för att beteckna att man har ett tjugotal. För att visa att man har växlat till nästa position lägger man en oval i den första positionen, som därmed symboliserar 0 ental. Basen i mayaindianernas talsystem är alltså tjugo. En annan skillnad mot vårt talsystem är att en högre position skrivs ovanför en lägre i stället för till vänster om den. Principen är dock exakt densamma som vår och detta tydliggör vad som menas med ett positionssystem. 20 21 25 400 445 Genom att använda mayaindianernas talsystem tvingas eleverna tänka på vad positionerna egentligen står för och hur varje symbols värde varierar med dess position i talet. På det viset tydliggörs både själva idén med symbolernas olika positioner och det faktum att man växlar genom att höja värdet i närmast högre position med ett steg, t ex när man har nitton ental och ska skriva det närmast högre talet. Våra erfarenheter med att arbeta i detta talsystem med elever från åk 4 till 7 är att eleverna upptäcker en hel del av hur positionssystem egentligen fungerar. Vi har låtit dem arbeta praktiskt med bönor som symboliserar pricken, träpinnar som symboliserar strecket och snäckskal för nollan. De har översatt tal mellan vårt sätt att säga eller skriva tal och mayaindianernas. Efter att ha arbetat ett tag i de två första positionerna ställer vi, eller någon av eleverna, frågan hur mycket en böna med två snäckskal under sig är värd. Det brukar kunna bli en intressant diskussion innan eleverna är med på att den bönan är värd 400. Då är det dags att utmana tankarna igen. Vi ber dem att lägga det största tal de kan, men bara hålla sig inom de två första positionerna. För en del tar det en liten stund medan andra snabbt lägger två nitton över varandra eftersom nitton ju är den siffra som har störst värde. När vi ber eleverna översätta detta tal till vårt talsystem beräknar de flesta 19 20 + 19. När de får värdet 399 inser en del att det går att finna svaret på ett snabbare sätt, nämligen genom att det måste vara ett mindre är talet 400 eftersom det minsta talet skrivet med tre positioner är just 400. Några kanske också inser detta utan att behöva utföra beräkningen. Här brukar det bli en aha-upplevelse hos en del elever och den bidrar förhoppningsvis till att de kan se vårt talsystem med nya ögon. 50 Nämnaren nr 2 2011

1 2 3 osv 10 12 32 60 61 I Babylon Ett annat talsystem som är intressant här är det babyloniska. Under rubriken centralt innehåll för åk 4 6 i Lgr 11 pekar man också ut det babyloniska som ett exempel på tal system som använts i historiska kulturer. Babylonierna använde endast två olika tecken, som betyder ett respektive tio. Med hjälp av tecknen byggdes siffersymboler för talen från 1 till 59 på ett additivt sätt, liknande mayaindianernas. Tecknen placerades i grupper för att underlätta avläsning med en snabb blick på ett liknande sätt som vi läser av prickarna på en tärning. För tal högre än 59 växlar man och 60 skrivs alltså på samma sätt som 1, där ettan symboliserar ett sextiotal. Talet 61 skrivs då som ett sextiotal och ett ental. En nackdel med talsystemet är att babylonierna inte använde sig av nollan 2. Det gör att det i vissa fall kan vara svårt att tolka vilken position symbolerna står skrivna i. Hur kunde de utan nollan som hjälp veta om betyder 60 eller 1 eller kanske till och med 3 600? Detta vet vi inte med säkerhet, men eftersom deras bas är så stor blir det också stora skillnader mellan tal som skulle kunna blandas ihop och förmodligen kunde de avgöra av sammanhanget vilket tal som avsågs. Man kan jämföra genom att avgöra om betecknar 2 eller 120 utifrån sammanhang via våra nutida sporter. Om det handlar om antalet mål i en fotbollsmatch är det knappast 120 utan troligen 2. Men om det är en basketmatch är det troligare att ena laget har gjort 120 poäng. Det här är ett tydligt exempel på att man inte bara ska utföra beräkningar utan att man också måste fundera över kontexten och hur rimligt ett svar är i förhållande till denna. Genom att låta eleverna arbeta med det babyloniska talsystemet, så tvingas de att tänka igenom vad varje position betyder för att kunna tolka de skrivna talen. De uppmärksammas också på hur viktig nollan är i vårt talsystem, vilket inte är en självklarhet för alla elever. Våra erfarenheter är att elever upplever det babyloniska talsystemet som knepigare än mayaindianernas gamla talsystem. De svårigheter som uppstår brukar ofta vara förknippade med att basen är 60 och därmed blir tal som använder flera positioner relativt stora. Det binära talsystemet De flesta elever har nog på ett eller annat sätt hört talas om det binära talsystemet, eftersom det används i datorer. Det är en anledning till att det är lämpligt som arbetsområde. Dessutom finns det binära talsystemet som centralt innehåll för åk 4 6 i den nya kursplanen. Det binära talsystemet, ett positionssystem med basen 2, använder endast de två siffrorna 0 och 1. Från höger till vänster blir siffrornas platsvärde ental, tvåtal, fyratal, åttatal etc. 1101 TVÅ betyder alltså 1 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1 = 13 i bas tio. Vi har arbetat i elevgrupper med att eleverna får visa hur tal upp till 15 skrivs med hjälp av en levande räknedisplay, där fyra elever får agera ettor och nollor genom att sträcka upp en arm för att visa en etta och stå med armarna nedåt 2. Så småningom började babylonierna att använda ett tecken för att symbolisera tomma positioner inuti tal. Dock använde man aldrig tecknet i slutet av tal. Nämnaren nr 2 2011 51

när de visar en nolla. Här får eleverna också tänka på vad varje position har för värde för att kunna skriva rätt tal. Övningen öppnar också för att se mönster som att entalet måste räcka upp handen för vartannat tal och ta ned handen för vartannat tal, tvåtalet vilar på noll och ett, har armen uppe på två och tre osv. Hur arbetar då fyratalet? Hur arbetar de olika positionerna när vi skriver i bas tio? Här finns också anledning att fundera över vilket som är det högsta talet vi kan skriva med ett visst antal positioner och att sedan jämföra detta tal med vilket värde nästa position kommer att ha. Variationsteori Vi har hämtat inspiration från variationsteorin som mycket förenklat kan sägas utgå från idén att i varje lärandesituation skapas ett lärandeobjekt som det är möjligt för den lärande att urskilja, erfara och förstå. Genom att medvetet utforma en lärandesituation så att kritiska aspekter av lärandeobjektet varieras är det möjligt för den lärande att urskilja, erfara och förstå lärandeobjektet. Utifrån variationsteoretisk inspiration har vi enkelt uttryckt identifierat vårt positionssystem med bas tio som ett lärandeobjekt. En kritisk aspekt av detta lärandeobjekt är att uppfatta att det är ett positionssystem och vad det innebär. Denna aspekt försöker vi sätta i fokus genom att kontrastera det dels mot talsystem som inte är positionssystem och dels mot talsystem som är positionssystem men använder en annan bas. Vi menar att det talsystem som vi använder till vardags synliggörs genom att vi varierar hur talsystem kan vara konstruerade. Vi vill lyfta fram just att det är ett positionssystem genom att exemplifiera med aspekter som utmärker ett system som inte är positionsbaserat. Vi vill fördjupa synen på vad ett positionssystem är genom att arbeta praktiskt med andra talsystem, inte i första hand för att eleverna ska lära sig de talsystemen utan för att synliggöra vad som utmärker vårt tiobassystem. Vi försöker alltså variera en kritisk aspekt av positionssystemet. Sammanfattning Vi vill uppmuntra lärare att i sin undervisning utnyttja kulturskatten som de gamla talsystemen utgör. Det är en rik källa att ösa ur och det finns otroligt mycket mer att göra än de exempel vi har lyft fram. Det finns fler talsystem från förr och nu. Kanske borde det finnas ett talsystem i seriefigursvärlden som bygger på basen åtta. Titta efter så ser ni att Kalle Anka och hans vänner bara har fyra fingrar på varje hand. Detta talsystem kanske dina elever kan beskriva och hitta på tecken till? Litteratur Emanuelsson, G. m fl (red) (1996). NämnarenTe m a : Matematik ett kommunikationsämne. NCM, Göteborgs universitet. Häggström, J. (2008). Teaching systems of linear equations in Sweden and China: What is made possible to learn? (Doktorsavhandling). Acta Universitatis Gothoburgensis. Göteborgs universitet. Lindberg, D. & Kuijl, B. (1991). Fakta om hur man räknade förr. Solna: Almqvist & Wiksell. Marton, F. & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur. Neuman, D. (1989). Räknefärdighetens rötter. Stockholm: Utbildningsförlaget. Skolverket (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier. www.skolverket.se/publikationer Skolverket (2010). Lgr 11. Kursplan i matematik i grundskolan. www.skolverket.se/publikationer Zhou, Z. & Peverly, S. T. (2005). Teaching addition and subtraction to first graders: A Chinese perspective. Psychology in the Schools, 42(3), 259 272. 52 Nämnaren nr 2 2011