SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera båda leden i () P ( y) Q( ) () För att kolla om en differentialekvation av första ordningen L(,y,y' ) R(,y,y' ) är separabel, och därefter lösa den, gör vi följande steg: STEG Lös ut eplicit första derivatan y'f(,y) STEG Faktorisera högerledet i faktorer som innehåller endast en variabel eller y, om detta är möjligt: t e y f ( ) g( y) eller y f ( ) g( y) h( ) k( y) Om det är omöjligt att faktorisera i faktorer med endast en variabel då är ekvationen inte separabel STEG Ersätt med och separera variabler dvs flytta "y-faktorer" till vänster och "faktorer" till häger och ange ekvationen på formen A ( y) B( ) STEG Du får lösningen genom att integrera båda leden A ( y) B( ) C (Det räcker att addera konstanten C till högerleden) STEG 5 Förenkla lösningen och, om möjlig, ange y på eplicit form yy() Eempel a Lös ekvationen 0y y b) Är ekvationen y y separabel? Lösning a: STEG Vi lös ut y': y 0 y 0 STEG Vi faktorisera högerledet i faktorer som innehåller endast en variabel eller y ( om detta är möjligt): ( 0 y ) Sida av 9
STEG Vi ersätter med, separerar variabler och får ( y 0 ) (separera var) y 0 STEG Integrera båda leden (formelblad) y 0 y arctan( ) C den allmänna lösningen på implicit form 0 STEG 5 Vi anger y på eplicit form yy() : y y y arctan( ) C arctan( ) C tan( y tan( 0 0 0 0 Svar a: y tan( den allmänna lösningen på eplicit form 0 Lösning b: Är ekvationen y y separabel? Steg y y Vi kan inte faktorisera y i faktorer som innehåller endast en variabel eller y, Därför är ekvationen INTE separabel Svar b: Nej Eempel Lös följande differentialekvation med avseende på y () 8 ( 5 e ) y y cos y Först ersätter vi med 8 ( 5 e ), y y cos y och därefter separerar variabler ( y y cos y) ( 5 e Slutligen integrerar vi båda leden: 8 ) ( y y cos y) ( 5 8 e 8 y y 5 e sin y C 8 8 y y 5 e Svar: sin y 8 ), den allmänna lösningen (på implicit form) C Sida av 9
Eempel a) Lös följande differentialekvation med avseende på y () 5 ( e )( y ) b) Ange lösningen på eplicit form Först ersätter vi med och därefter separerar variabler: 5 ( e )( y ) 5 ( e ) ( y ) Vi har separerat variabler Det kvarstår att integrera båda leden: 5 ( e ( y ) ) 5 e arctan y C (den allmänna lösningen på implicit form) 5 b) Eplicit form: Vi löser ut y ur föregående ekvation och får 5 e y tan( (den allmänna lösningen på eplicit form) 5 Eempel Partikulär lösning a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen 8 y b) Ange lösningen på eplicit form c) Bestäm den lösning som satisfierar y ( 0) (begynnelsevillkor) a) Först ersätter vi med och därefter separerar variabler: 8 y Vi integrerar båda leden och får 8 y arcsin y C (den allmänna lösningen på implicit form) b) Eplicit form: Sida av 9
Vi löser ut y ur föregående ekvation och får y sin( (den allmänna lösningen på eplicit form) c) Vi använder villkoret y ( 0) för att bestämma C i den allmänna lösningen, sin( 0 C ) Härav C (Anmärkning: Man kan använda en av värdena C k 6 6 ) och y sin( ) är den partikulära lösningen som satisfierar givet villkor 6 Eempel 5 Singulära lösningar a) Bestäm alla lösningar till ekvationen y (*) a) Först ersätter vi med y För att separera variabler delar vi föregående ekvation med y och därför antar att y 0 Alltså fortsättning gäller om y ± Men vad gäller i fallet y eller y? Omedelbart inses att de två konstanta funktioner satisfierar ekvationen (*) ( t e y 0 båda leden i ekvationen (*) är lika med 0) Alltså har vi fått två speciella lösningar Om de inte omfattas av den allmänna lösningen då kallas sådana speciella lösningar för singulära lösningar Vi fortsätter med separation och integration för att få den allmänna lösningen y y arcsin( ) C y sin( y sin( ( Den allmänna lösningen) De två speciella lösningar y, y finns inte bland de allmänna lösningar, ( Det finns inte något C-värde sådant att y sin( blir y eller y och därför kallas de för singulära lösningar) Svar: Ekvationen har följande lösningar: Sida av 9
5 y sin( ( Den allmänna lösningen), y, (singulär lösning) y (singulär lösning) Uppgift Betrakta ekvationen ( ) y a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen b) Skriv lösningen på eplicit form d v s på formen y f () c) Bestäm den lösning som satisfierar begynnelsevillkoret y(0) 0 a) ( ) y ( ) y ( Vi delar med (y-) och antar att y Omedelbart inses att funktionen y är en lösning till ekvationen ) y y ln y ln C (den allmänna lösningen på implicit form ) b) Från föregående ekvation får vi ln C ln y e e C y ± e ln ln e e ) (Vi förenklar ( ) y ± e C ± ( ) Vi betecknar konstanten ± e C D och får ± y D y D ± ( ) (den allmänna lösningen på eplicit form som dessutom inkluderar den speciella lösningen y ) c) y ( 0) 0 D y y Sida 5 av 9
6 Svar: a) ln y ln C b) D y c) y Uppgift Lös ekvationen med avseende på v(t) dv 9 v dt v(0)0 Ange lösning på eplicit form För att separera variabler delar vi ekvationen med 9 v 0 dv dt, dvs v ± 9 v Anmärkning: 9 v under antagande dv Funktionerna v och v, uppenbart satisfierar ekvationen dt inte villkoret v(0)0, alltså är de INTE lösningar till vår begynnelsevärdesproblem 9 v, men Vi integrerar ekvationen: dv 9 v Vi löser ut v dt v ln( ) t C 6 v (Den allmänna lösningen på implicit form) v ln( ) 6C v v 6 C e v v 6 t De v ( v) De v v ( De ) ( De ) v vde De ( De ) v (Den allmänna lösningen på eplicit form) ( De ) Slutligen bestämmer vi D, ( D) v(0)0 0 D ( D) ( e ) v ( den partikulära lösningen som satisfierar begynnelsevillkoret) ( e ) Svar: v ( e 6 ( e t ) ) Sida 6 av 9
7 Uppgift Betrakta ekvationen: y cos( ) a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen b) Bestäm den lösning som satisfierar y ( 0) c) Skriv lösningen på eplicit form d v s på formen y f () a) y y ( y ) cos cos cos( ) y cos y arctan y sin C (Den allmänna lösningen på implicit form) (samma läsningen på eplicit form: y tan(sin( ) b) y( 0) arctan sin 0 C C arctan y sin c) Eplicit form: y tan(sin ) Svar: a) arctan y sin C b) arctan y sin c) y tan(sin ) Uppgift a) (p) Lös följande differentialekvation y Ange lösningen på eplicit form b) (p) Lös följande differentialekvation 5 y y y Bestäm även eventuella singulära lösningar a) y ( Anmärkning: Vi delar ekvationen med y om uttrycket är skilt från 0 Substitutionen y /, y 0 i ekvationen visar att den konstanta funktionen är Sida 7 av 9
8 också en lösning En sådan lösning kallas singulär om den inte kan fås ur den allmänna lösningen) y y ln y ln C ln y ln C ln y ln C y e ln C C ln y ± e e D y D Svar a: y är den allmänna lösningen på eplicit form (Anmärkning: Formeln innehåller också den konstanta lösningen y/; alltså ingen singulär lösning i detta fall) b) 5 y y 5 y y 5 ( ) y ( Vi delar ekvationen med y om uttrycket är skilt från 0 Substitutionen y ±, y 0 i ekvationen visar att de två konstanta funktioner är också lösningar till ekvationen En sådan lösning kallas singulär om den inte kan fås ur den allmänna lösningen) 5 ( ) y y ( 5 ) arcsin y 6 C 6 6 y sin( 6 6 Den allmänna lösningen är alltså y sin( 6 Dessutom har vi två singulära lösningar y ± eftersom de inte kan fås ur den allmänna lösningen 6 Svar b: Den allmänna lösningen är y sin( 6 Ekvationen har dessutom två singulära lösningar är y och y Sida 8 av 9
9 Sida 9 av 9