Huvudräkning: att hitta primitiver genom att använda kedjeregeln baklänges.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 1 Lektion 1 Huvudräkning: att hitta primitiver genom att använda kedjeregeln baklänges. Variabelbyte: att använda formeln för variabelbyte i den första versionen. 1. Före lektionen bör ni ha katalogen över primitiver, s. 260 262 framme och lösa uppgifterna 5.1 och 5.2. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter, som eventuellt ställt till 2. Konstant inre derivata: Att hitta en primitiv till en sammansatt funktion med konstant inre derivata är lätt. Man tar primitiv till den yttre funktionen och dividerar med inre derivatan. T.ex. är (2x + 3) 4 dx = (2x+3)5 5 2 + C. Lös 5.3a,b,g,l och 5.5a,c,d,g. 3. Primitiver av typ f(t(x)) t (x) dx: Det handlar alltså om att ta primitiv till en funktion av en funktion gånger inre derivatan. Det är meningen att ni ska räkna i huvudet! Börja med 5.7a och 5.8a,b,c,d. Här är den inre funktionen t(x) = x 2. Ibland måste man själv förlänga med 2 för att det ska stämma. Försök nu med 5.8e,f,g! Vilka är de inre funktionerna? Man måste själv förlänga med en konstant för att det ska stämma. Fortsätt på samma sätt med 5.9a,d,e. Lös sedan 5.10a,b,d,e. Här måste man skriva om funktionerna lite för att kunna uppfatta dem som f(t(x)) t (x). Lös 5.11a,b,c. 4. Variabelbyte, version 1: Studera först Exempel 8 s. 267 i boken. I detta exempel ser man tydligt inre derivatan t (x) = dt dt dx som en faktor. Då gör man variabelbytet t(x) = t och byter ut dx dx mot dt. Man löser alltså inte ut x i t. Lös på detta sätt 5.13 och 5.14a. Inför lektion 2 A. Lös uppgifterna 5.3c, 5.5h, 5.9b, 5.10c, 5.11d,f,g, 5.14b och 5.15a,b. B. Läs Sats 1 om partiell integration s. 262 och Exempel 3 s. 263. Läs om rationella funktioner, kap. 5.2 t.o.m. Exempel 11.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 2 Lektion 2 Variabelbyte (forts.) Partialintegrering Rationella funktioner 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 2 som eventuellt ställt till 2. Variabelbyte, version 2: Även om man inte ser inre derivatan som en faktor, kan man ibland i alla fall göra ett variabelbyte t(x) = t, lösa ut x i t och sedan byta ut dx mot dx dt dt. Studera Exempel 7 s. 267 och lös sedan 5.16a,b. 3. Partialintegrering: Denna metod kan ibland användas för att hitta en primitiv till en funktion av typ f(x) g(x). Innan man prövar partialintegration, bör man alltid först kolla om den produkt man har är av typ funktion av en funktion gånger inre derivatan. I så fall är det troligen bättre att använda kedjeregeln baklänges (huvudräkning eller variabelbyte). Titta igen på Sats 1 s. 262 och Exempel 3 s. 263! Lös 5.17a,b. Studera Exempel 4 s. 263. Lös 5.17g. Ibland måste man partialintegrera mer än en gång. Lös 5.17h. 4. Rationella funktioner: Det finns en kokbok i fyra steg för rationella funktioner. Kontrollera först att alla i gruppen vet vad som menas med en rationell funktion. Steg 1: Utför polynomdivision, om det är möjligt. Detta räcker för att lösa 5.22a. Lös den uppgiften. Steg 2: Dela upp nämnaren i reella faktorer så långt möjligt. Steg 3: Partialbråksuppdelning. För varje faktor i nämnaren ansätter man ett s.k. partialbråk. Se tabellen s. 270 och Exempel 11 t.o.m. ansatsen (21)! Sedan bestämmer man koefficienterna genom att göra liknämnigt. Läs resten av Exempel 11 och lös sedan 5.23b och 5.24a. Steg 4: Hitta primitiver till partialbråken. Det har ni redan gjort i 5.23b och 5.24a. Det är lite svårare om nämnaren är av grad 2 utan reella nollställen. Det kommer på nästa lektion. Inför lektion 3 A. Lös uppgifterna 5.16c, 5.17c,d, 5.24d, Repetera uppgifterna 5.3 5.11! Lös dem genom huvudräkning. B. Läs avsnitt 5.2 i boken om rationella funktioner.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 3 Lektion 3 Rationella funktioner, forts. Rotuttryck 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 3 som eventuellt ställt till Kontrollera särskilt uppgifterna 5.3 5.11! 2. Rationella funktioner, forts.: Steg 4: Hitta primitiver till partialbråken. Det har ni redan gjort i 5.23b och 5.24a. Det är lite svårare om nämnaren är av grad 2 utan reella nollställen. Lös först 5.25a,b och 5.26a,c. Om nämnaren i partialbråket har en x-term, kvadratkompletterar man och byter variabel. Se Exempel 15 s. 274. Lös 5.27a,b och 5.28a. Nu har ni klarat av alla delproblem och får prova krafterna på några riktiga problem där flera steg i kokboken måste användas. Lös 5.30a och 5.31b. 3. Rotuttryck: Om integranden fås genom upprepad användning av de fyra räknesätten på x, x + α och konstanter så fungerar varibelbytet t = x + α. (Detsamma gäller om man byter ut x + α mot det något mer komplicerade uttrycket x+α x+β.) Läs på s. 279 och lös sedan 5.32. Studera formeln i (12) på s. 261. Lös 5.36a. Använd gärna tipset. Läs Exempel 20 på s. 282. Lös 5.37a. Vi har nu klarat av att hitta primitiver till flera viktiga funktioner innehållande rotuttryck, genom lämplig partialintegration, användning av formeln (12) och substitution av rotuttrycket. Man bör känna till att det finns metoder för att klara alla funktioner som är rationella uttryck i x 2 + ax + b och x respektive x 2 + ax + b och x. Metoderna beskrivs på sidan 280 respektive på sidan 284. Räkna, i mån av tid, 5.50b och 5.35 för att öva på detta. Inför lektion 4 A. Lös uppgifterna 5.25c, 5.26b,d, 5.28b, 5.36b,c och 5.37b. Repetera uppgifterna 5.3 5.11! Lös dem genom huvudräkning. B. Lär dig alla varianter av formeln för cos 2x. Se formel (60) s. 105. Läs igenom Kapitel 6.1 och 6.3 om införandet av integraler. Lägg märke till integralens tolkning som en summa av areor med tecken. Läs också Sats 9 på s. 306 och försök tänka efter vad S(x) betyder.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 4 Lektion 4 Trigonometriska uttryck Integraler Analysens huvudsats, inledning 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 4 som eventuellt ställt till Kontrollera särskilt uppgifterna 5.3 5.11! 2. Trigonometriska uttryck: Studera Exempel 24 på s. 286 och lös sedan 5.41d. Dessa båda funktioner är mycket viktiga att kunna ta primitiv till. I de följande problemen är funktionen (eller kan bli genom omskrivning) av typ f(t(x)) t (x). Gör variabelbytet t(x) = t (eller räkna i huvudet). Titta gärna på Exempel 8 s. 267. Lös 5.40b och 5.41a. Se tillbaka på vilka metoder ni använt i 5.41a,d. Genom att arbeta på liknande sätt kan man faktiskt finna primitiver till alla funktioner av typen cos n (x) och sin n (x). Diskutera igenom hur man skall göra detta! (Metoden i a lämpar sig för udda n och metoden i d för jämna n.) I knivigare fall av trigonometriska integrander använder man ibland substitutionen t = tan( x 2 ). Räkna, i mån av tid, 5.46. Ni behöver nog ta hjälp av räkningarna på sidorna 285 286 i boken. 3. Integraler, inledning: Med integralen av en funktion mellan två x-värden kommer vi att mena arean mellan funktionsgrafen och x-axeln räknad med tecken. (Areor under x-axeln ger negativt bidrag.) Detta måste dock preciseras matematiskt. Man börjar med att göra det för så kallade trappfunktioner. (Vad är det?) Titta på def. 1 s. 295. Lös 6.1b. Lös 6.3. Använd gärna tipset. Vilken sats i boken använder ni er av i lösningen? 4. Analysens huvudsats, inledning: Idag skall vi bara bekanta oss med funktionen S som förekommer i satsen. Uttrycket S(x) är givet som en integral, nämligen S(x) = x a f(t) dt. Uppgift 6.7 går ut på att ni ska få se en konkret sådan funktion. Lös denna uppgift. Gör så här: Ta först x fixt mellan 0 och 1 och rita ut den yta i figuren som har arean S(x). Beräkna på så sätt S(x). Ta sedan x fixt mellan 1 och 3, rita ut ytan som har arean S(x), och beräkna sedan S(x). Etc. Lös 6.9. Tänk på tolkningen av S(x) som en area med tecken. Inför lektion 5 A. Lös uppgifterna 5.40d och 6.4. B. Läs Sats 9 s. 306 och Exempel 4 s. 307. Läs igenom Sats 10 s. 308 samt s. 310 om partialintegration och variabelbyte.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 5 Lektion 5 Analysens huvudsats Beräkning av integraler 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 5 som eventuellt ställt till 2. Analysens huvudsats: Det hörs på namnet hur viktig denna sats är. Gå tillsammans igenom formuleringen av satsen och beviset. (En av de vanligaste teorifrågorna vid tentamen.) Börja med att titta tillbaka på uppgiften 6.7 från förra lektionen. Kontrollera att alla i gruppen förstår vad S(x) är. Är f i denna uppgift kontinuerlig? Titta också igen på uppgift 6.9. Huvudsatsen säger att om f är kontinuerlig och om S(x) definieras på ett visst sätt, så är S en primitiv funktion till f. Läs nu eftertänksamt igenom huvudsatsens formulering. Bevisidén är att helt enkelt visa att S (x) = f(x). Kontrollera att alla i gruppen kan skriva upp definitionen av derivata. Läs nu eftertänksamt igenom de tre första raderna av beviset. Är allt klart? Fråga annars läraren. För att komma vidare i beviset behövs integralkalkylens medelvärdessats, som står på s. 304. Titta först på den och läs sedan resten av beviset för huvudsatsen. Fråga läraren, om något är oklart. 3. Analysens huvudsats (forts.): Nu ska ni med hjälp av huvudsatsen lösa några uppgifter där man deriverar funktioner givna som integraler. Titta på Exempel 4 och 5 på s. 307 i boken. I föreläsningsanteckningarna finns också exempel. (När man deriverar x a f(t) dt, så tar man tydligen integranden f(t) och byter ut t mot x.) Lös 6.11 och 6.12a. 4. Beräkning av integraler: Gå tillsammans igenom formuleringen och beviset för Sats 10, insättningsformeln. (En av de vanligaste teorifrågorna vid tentamen.) Satsen har strukturen om... och om..., så är.... Vad ska det stå istället för prickarna? Fråga läraren om ni inte förstår. Beviset börjar med konstaterandet av att man har två primitiva funktioner till f. Vilka? Vilket samband finns då mellan de båda primitiverna? Läs igenom beviset tillsammans noga. Ungefär mitt i beviset bestämmer man konstanten C. Hur går det till? Alldeles på slutet sätter man in x = b, och då får man b a f(t) dt = F (b) F (a). Men man skulle ju komma fram till b a f(x) dx = F (b) F (a). Hur hänger detta ihop? 5. Beräkning av integraler (forts.): Läs på s. 310 om partialintegration och variabelbyte. Läs också Exempel 8 s. 310. Lägg märke till att man måste ändra gränserna, om man byter variabel. Lös 6.14, 6.15a,d och 6.16c,d. Inför lektion 6 A. Lös uppgifterna 6.12b, 6.17a och 6.20c. B. Läs Kapitel 6.5, 7.1 och 7.2.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 6 Lektion 6 Generaliserade integraler Tillämpningar av integraler: area, rörelse och massa 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 6 som eventuellt ställt till 2. Generaliserade integraler: I vanliga integraler är både funktionen och intervallet begränsade. I generaliserade integraler är funktionen och/eller intervallet obegränsade. Vi börjar med fallet att funktionen är begränsad och intervallet obegränsat. Titta på Definition 4 s. 311 och Exempel 9 och 10 s. 312. Lös 6.24 och 6.26a,b. Nu tar vi fallet att funktionen är obegränsad och intervallet begränsat. Titta på Definition 5 och Exempel 13 s. 314. Lös 6.27 och 6.29a. Lös nu det lite svårare problemet 6.36. Om en integral är generaliserad på mer än ett sätt, så delar man upp den i delintegraler, som bara är generaliserad på ett sätt. Titta på Exempel 20 s. 319 och lös sedan 6.31b. 3. Area: Arean av området mellan två givna funktionskurvor kan man räkna ut med hjälp av en integral, se s. 321. Titta eventuellt också på lösningen av 7.1 och lös sedan 7.2. 4. Rörelse: Om man vet en partikels läge x(t) vid tiden t (rätlinjig rörelse), så kan man få dess hastighet och acceleration genom att derivera en respektive två gånger. I de följande uppgifterna ska vi gå baklänges. Om man t.ex. vet hastigheten v(t) vid tiden t, så är förflyttningen under den korta tiden t ungefär lika med x = v(t) t. Om vi summerar alla delförflyttningar får vi en approximation av den totala förflyttningen. Låt nu delintervallens längd gå mot noll. Summans värde går då å ena sidan mot det exakta värdet på den totala förflyttningen från tiden a till b och å andra sidan mot integralen b a v(t) dt (enl Sats 4 s. 300). Titta gärna på exempel i föreläsningsanteckningarna. Lös 7.4 och 7.5. 5. Massa: Vi arbetar med längddensitet (kg/m) för trådar, ytdensitet (kg/m 2 ) för skivor och vanlig densitet (kg/m 3 ) för kroppar. Densiteten kan variera i en kropp. T.ex. kan en kropp vara tillverkad av olika material eller vara en skiva av varierande tjocklek. För att räkna ut en kropps massa tänker man först på en mycket liten del av kroppen, i vilken man kan tänka sig densiteten konstant. Man summerar sedan alla smådelarnas massor och får den totala massan. Titta gärna på exempel i föreläsningsanteckningarna. Lös 7.9 och 7.11. Inför lektion 7 A. Lös uppgifterna 6.29b, 6.31b, 6.40, 7.3 och 7.10. B. Läs Kapitel 7.3, Kapitel 7.4 t.o.m. formel (5) och Kapitel 7.5.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 7 Lektion 7 Tillämpningar av integraler: volymer, längd av kurvor och rotationsytors areor 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 7 som eventuellt ställt till 2. Volymer: Idén är att dela upp kroppen i små delar, beräkna delarnas volymer och sedan summera (integrera). Den första metoden innebär att kroppen delas upp i skivor. Se början av Kapitel 7.3. Lös 7.14. Ett viktigt specialfall är rotatationskroppar. Man skivar då kroppen vinkelrätt mot rotationsaxeln. Formeln, som uppstår, kallas ofta skivformeln. Se s. 327-329. Lös 7.19. Ibland är det fördelaktigt att dela upp kroppen i rör. Se Exempel 7 s. 330. Lös sedan 7.21 med den metoden. 3. Längd av kurvor: Idén är att dela upp kurvan i små bitar, beräkna längden av varje del och sedan summera (integrera). Om kurvan är given i parameterform, så används formeln (5) på s. 334. Om kurvan är en funktionskurva, så kan den alltid parameterframställas enkelt, och det leder till formeln sist i Exempel 10. Lös 7.23a, 7.25 och 7.26. 4. Rotationsytors areor: Idén är att återigen skiva kroppen vinkelrätt mot rotationsaxeln, räkna ut areorna av skivornas kanter och summera (integrera). Det tryggaste är att tänka fram formel (8) s. 340 varje gång man behöver den och inte bara lära den utantill. Lös 7.32 och 7.34. Inför lektion 8 A. Lös uppgifterna 7.17, 7.33 och 7.56. B. Läs Kapitel 7.8 fram till Guldins regler, Kapitel 7.9 t.o.m. Exempel 20 och Kapitel 8.2.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 8 Lektion 8 Tillämpningar av integraler: tyngdpunkter samt integraler och summor Differentialekvationer av första ordningen: linjära 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 8 som eventuellt ställt till 2. Tyngdpunkter: Om tyngdpunkten för en kropp K med massan m har x-koordinaten x T, visas på s. 346 347 att m x T = K x dm. I denna symboliska integral är dm är massan av den del av kroppen som har x-koordinater mellan x och x + dx. Se exempel i föreläsningsanteckningarna. Lös 7.37. Börja med tänka ut hur sambandet mellan dm och dx ser ut i detta fall, om ytdensiteten kallas ϱ. Använd sambandet för att först beräkna massan med hjälp av en integral. Räkna sedan ut integralen i högerledet. 3. Integraler och summor: Summor är ofta svåra att beräkna. Ibland kan de uppskattas med hjälp av integraler. Det går bra om summan är av typ m k=n f(k), där funktionen f är positiv och antingen växande eller avtagande. Rita en figur varje gång och rita in summan som rektangelareor. Se s. 350 351, där man resonerar om en avtagande funktion. Lär ingenting utantill utan rita och tänk varje gång! Lös 7.46. (Man får en bättre uppskattning än den begärda!) 4. Första ordningens linjära differentialekvationer: De har utseendet y + g(x)y = h(x). Ett enkelt specialfall är ekvationen y = h(x), som löses genom att man direkt tar primitiv. Lös 8.2a. Den allmänna ekvationen kan lösas med hjälp av en s.k. integrerande faktor. Titta på Exempel 5 s. 373. I lösningen används deriveringsregeln för en produkt baklänges. Var? Hade detta steg kunnat utföras före multiplikationen med den integrerande faktorn? Ett specialfall är ekvationen y + ay = 0, där a är en konstant. Om man vill, får man komma ihåg utantill att dess lösning är y = Ce ax, där C är en godtycklig konstant. Lös 8.5, 8.6a,c och 8.7. Läs Exempel 1 s. 365 och lös sedan 8.12. I b) löser man först differentialekvationen. Därefter sätter man mängden m = m 0 2 och löser sedan ut tiden t. Inför lektion 9 A. Lös uppgifterna 7.40, 8.2b, 8.6b,d, 8.9c, och 8.13. B. Läs Kapitel 8.3 t.o.m. Exempel 11.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 9 Lektion 9 Differentialekvationer av första ordningen: linjära och separabla 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 9 som eventuellt ställt till 2. Första ordningens differentialekvationer med separabla variabler: Dessa differentialekvationer har utseendet g(y)y (x) = h(x). På föreläsningen visades att man kan lösa dem så här: Finn först primitiva funktioner G och H till g respektive h. Integrera sedan differentialekvationen med avseende på x: g(y)y (x) dx = h(x) dx. Använd variabelbyte för att inse att vänsterledet är G(y) + C 1. Högerledet är H(x) + C 2. C 1 och C 2 är godtyckliga konstanter. Vi får att G(y) = H(x)+C där C = C 2 C 1 är en godtycklig konstant. Anm.: Om en differentialekvation är både linjär och separabel, är det i allmänhet bäst att anse den vara linjär och lösa den med integrerande faktor. Lös 8.21a,b. Ibland måste man skriva om sin differentialekvation för att kunna se att den har separabla variabler. Om man därvid dividerar med bokstavsuttryck (t.ex. y), måste man undersöka vad som händer om det bokstavsuttrycket är = 0. Lös 8.23c,d. 3. Två svårare problem: Det första problemet handlar om koncentrationsändringar i en behållare med förorenat vatten. Läs Exempel 2 s. 366 och Exempel 7 s. 375. Diskutera särskilt hur problemet översätts till en differentialekvation (dvs resonemanget i Exempel 2) så att alla i gruppen är med på detta. Lös sedan 8.18. Det bästa är nog att beteckna föroreningsvolymen med y(t) l. Nu ska ni lösa ett problem från fysiken. Kolla först att alla i gruppen kommer ihåg kraftekvationen. Titta gärna igen på uppgift 8.13. Lös 8.26. 4. Reservtid: Gör färdigt gamla saker, som ni inte har hunnit, exempelvis uppgifter inför de olika lektionerna. Inför lektion 10 A. Lös uppgifterna 8.21c,d, 8.24a. Den integral som uppstår i vänsterledet har en rationell funktion som integrand. Använd metoden i fyra steg som vi lärt oss för att finna primitiver till rationella funktioner. Lös även 8.25. B. Läs Kapitel 8.4 t.o.m. Exempel 13 och Kapitel 8.6 t.o.m. Exempel 17.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 10 Lektion 10 Homogena differentialekvationer av andra ordningen Integralekvationer 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 10 som eventuellt ställt till 2. Homogena differentialekvationer av andra ordningen: Våra ekvationer har dessutom konstanta koefficienter, så de ser ut så här: y +ay +by = 0. Man löser dem med hjälp av den karakteristiska ekvationen: r 2 + ar + b = 0, så som beskrivs i Sats 2 s. 389. Lös 8.38a,b. Om rötterna till den karakteristiska ekvationen är icke-reella, använder man Sats 3 s. 392 för att få alla reella lösningar. (Oftast gör problemställningen att det är de reella lösningarna man är intresserad av.) Se också Exempel 16 s. 391 och dess fortsättning Exempel 17 s. 393. Hur omvandlar man svaret i Exempel 16 till formel (31) i Exempel 17? Försök att själva göra omskrivningen. Lös sedan 8.38c, 8.39c, 8.40a och 8.41a. Lös det lite svårare problemet 8.44. Glöm inte att vinklar alltid måste mätas i radianer när derivator av trigonometriska funktioner är inblandade. 3. Integralekvationer: Den sökta funktionen finns då i en integral. Man behöver Analysens huvudsats s. 306. Läs Exempel 13 s. 382. Lös 8.36. 4. Reservtid: Gör färdigt gamla saker, som ni inte har hunnit, exempelvis uppgifter inför de olika lektionerna eller räkna uppgifter inför nästa seminarium. Inför lektion 11 A. Lös uppgifterna 8.35, 8.39a,b,d och 8.40b. B. Läs Kapitel 8.7 t.o.m. s. 399 samt punkt (F) s. 403.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 11 Lektion 11 Partikulärlösningar till ekvationen y + ay + by = h(x) 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 11 som eventuellt ställt till 2. Högerledet h(x) är ett polynom: Då gör man ansatsen y p = ett polynom. I avsnitt (B) på s. 396 beskrivs hur man skall välja ploynomets grad. Konstanta högerled kan anses som polynom av grad 0. Titta på Exempel 19 s. 397. Prova att i detta exempel ansätta en lösning av grad två. Vad händer? Lös 8.49a,d. 3. Högerledet h(x) är av typ p(x) e kx, där p(x) är ett polynom: Man går då över till en ny sökt funktion z = z(x) genom substitutionen y = z e kx. Detta omvandlar problemet till att finna partikulärlösning till en differentialekvation i z med ett polynom i högerledet. Läs noga Exempel 20 på s. 398. Vilken differentialekvation i z får vi här? Lös sedan 8.51c. 4. Högerledet h(x) = h 1 (x) + h 2 (x), där h 1 (x) och h 2 (x) är tidigare behandlade högerled: Man börjar med att hitta partikulärlösningar y p1 och y p2 till ekvationerna y + ay + by = h 1 (x) resp. y + ay + by = h 2 (x). Då är y p = y p1 + y p2 en partikulärlösning till y + ay + by = h(x). (Varför?) Läs igenom Exempel 23 s. 404. Där hänvisas tillbaka till Exempel 21, men istället för att läsa detta kan ni själva ta fram den ena partikulärlösningen genom att göra ansatsen y p1 = A sin(x) + B cos(x). Lös sedan 8.53. 5. Reservtid: Gör färdigt gamla saker, som ni inte har hunnit, exempelvis uppgifter inför de olika lektionerna. Inför lektion 12 A. Lös uppgifterna 8.49b och 8.51a. B. Läs kap. 8.7 fram till Andra metoder s. 404. Studera särskilt punkt (D), som börjar på s. 400.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 12 Lektion 12 Partikulärlösningar till ekvationen y + ay + by = h(x) (forts.) Ett svårare problem (resonans) 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 12 som eventuellt ställt till 2. Högerledet h(x) är av typ h(x) = p(x) cos βx eller p(x) sin βx, där p(x) är ett polynom: Man ska alltså finna en partikulärlösning till y + ay + by = h(x) (1) där alla koefficienter är reella. Man bildar då först hjälpekvationen u + au + bu = p(x)e iβx (2) Till (2) hittar man en partikulärlösning u p som i Punkt 3, Lektion 11. Då är y p = Re u p (resp. y p = Im u p ) en partikulärlösning till den ursprungliga ekvationen (1). (Varför?) Läs igenom Exempel 21 på s. 401 och Exempel 22 på s. 402 som illustrerar denna metod. Lös sedan 8.56a på detta vis. Anmärkning: Om man har ett högerled av formen C cos(βx) + D sin(βx) kan man i de flesta fall finna en partikulärlösning genom att sätta y p (x) = A cos(βx) + B sin(βx) och beräkna A och B, men till skillnad från metoden som beskrivs här är det inte alltid detta fungerar. Om högerledet är en summa av tidigare behandlade högerled, så gör man som i Punkt 4, Lektion 11. Lös, genom att använda detta, 8.56b. 3. Ett svårare problem: Lös 8.61. I tipset i boken beskrivs hur man kan formulera problemet matematiskt. Kika inte på tipset förrän ni själva tagit fram ett förslag till matematisk formulering. När ni väl funnit en differentialekvation för att beskriva kroppens rörelse och löst denna så skall ni fundera över vad som händer efter lång tid. Inför lektion 13 A. Lös uppgifterna 8.56e och 8.60. B. Nästa lektion skall vi repetera Kapitel 5 och 6. Förbered dig genom att se igenom dessa kapitel i boken igen. Gör en mindmap eller kort sammanställning över de saker som du tycker är viktigast från varje kapitel. Fundera också över vad du skulle behöva träna lite extra på i dessa kapitel.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 13 Lektion 13 Repetition av Kapitel 5 och 6 1. Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från Inför lektion 13 som eventuellt ställt till 2. Kapitel 5 Primitiva funktioner Många av uppgifterna nedan har ni redan löst, men det är ofta bra övning att lösa ett problem en gång till. Lös 5.1 och 5.2a,b,c. Det man ska ta primitiv till är ofta en funktion av en funktion gånger inre derivatan. Då räknar man i huvudet eller sätter den inre funktionen lika med en ny variabel. Lös 5.7 och räkna i huvudet 5.8 5.11. (Ta t.ex. a) och b) på varje uppgift.) Variabelbyte: Ibland löser man ut x i t, och ibland gör man det inte. Lös 5.16a. Partialintegrering: Om ni har en produkt f(x)g(x), tänk då alltid först efter om det är en funktion av en funktion gånger inre derivatan. Lös 5.17h. Rationella funktioner: Lös 5.31a. I den uppgiften får man göra alla stegen i kokboken. Rotuttryck: Lös 5.37a. Trigonometriska uttryck: Lös 5.41d. 3. Kapitel 6 Integraler Två superviktiga satser: Kan ni formulera och bevisa Analysens huvudsats och Insättningsformeln? Diskutera och öva med varandra. Variabelbyte: glöm inte att ändra gränserna! Lös 6.17a. Generaliserade integraler: Om integrationen går från a till +, börja då med att integrera från a till X och ta sedan gränsvärdet då X +. Lös 6.36. 1 Inför lektion 14 A. Gör färdigt Lektion 13. B. Nästa lektion skall vi repetera Kapitel 7 och 8. Förbered dig genom att se igenom dessa kapitel i boken igen. Gör en mindmap eller kort sammanställning över de saker som du tycker är viktigast från varje kapitel. Fundera också över vad du skulle behöva träna lite extra på i dessa kapitel.

Lektionsblad Analys A3, LP3 VT 2011 14 Lektion 14 Repetition av Kapitel 7 och början av Kapitel 8 1. Var det några uppgifter kvar från förra lektionen som ni fick räkna hemma efteråt? Gå i så fall igenom och diskutera i grupp de problem som eventuellt uppstått. 2. Kapitel 7 Användningar av integraler Många av uppgifterna nedan har ni redan löst, men det är ofta bra övning att lösa ett problem en gång till. Areabestämningar: Lös 7.2. Massa: Man arbetar med tre sorters densiteter. Vilka? Vilka är deras enheter? Lös 7.10. Volym: Oftast används skivformeln. Då är dv volymen av den skivan av kroppen, som har förstakoordinaten mellan x och x + dx. Om kroppen har uppstått genom att en kurva har roterat kring x-axeln, så är snittytan en cirkelskiva. Lös 7.19. Längd av kurva: Formeln finns i två versioner, beroende på om kurvan är i parameterform eller en funktionskurva. Lös 7.26. Area av rotationsyta: Hur kommer man ihåg formeln? Jo, genom att rita diverse figurer och använda ds som i föregående punkt. Lös 7.34. Tyngdpunkt: Lägg alltid noga märke till om kroppen är en skiva eller en vanlig kropp eller ett skal. Lös 7.40. Integraler och summor: Om f(x) 0 är växande (eller avtagande) för x 1, så kan vissa summor och integraler, där f är inblandad, uppskattas med varandra. Lös 7.46. 3. Kapitel 8 (början) Första ordningens differentialekvationer Vi arbetar med två sorters ekvationer: linjära ekvationer och ekvationer med separabla variabler. Diskutera med varandra hur dessa ekvationer ser ut och vilka lösningsmetoder man har. Lös 8.25. Linjära ekvationer: Lös 8.8b. Ekvationer med separabla variabler: Lös 8.23c,d,e. Efter lektion 14 A. Gör eventuella resterande uppgifter från Lektion 14. B. Observera att uppgifter om komplexa tal (Appendix A) och Maclaurins och Taylors formler (Kapitel 9) också kan komma på tentamen i denna kurs!