Varför: model för aktiekurs dock med aber... exempel: Black-Scholes jfr Binomialoptionsmodellen Johan Koskinen Statistiska institutionen Stockholms universitet Finansiell statistik vt-05 F5 Tidsserieanalys Först: konstruera Brownsk rörelse från enkel slumpvandring Sedan: kort om egenskaper exempel: Pär och Bertill spelar ett spel omgångar: om Bertill förlorar om Bertill vinner där vi betecknar Bertills vinst i omgång vidare säger vi att Pär och Bertill i varje spel har lika chanser att vinna: med sannolikheten / med annolikheten / 3 Antag även oberoende mellan utfallen i spelomgångarna alltså sekvens av Bernoulliförsök Hur mycket har Bertill vunnit i omgång? Inför beteckningen : vinst i omgång kan skrivas som ex.: några realisationer 4
Vad är sannolikheten att Bertill går jämt ut efter omgångar? Sannolikheten P 0 Alla sekvenser lika troliga: så att 0 0 med lika många som 5 Vad är sannolikheten att Bertill går jämt ut efter omgångar? Sannolikheten P 0 0 om ojämn! med lika många som på hur många sätt kan vi ordna / och /? P 0 / 6 Vad är sannolikheten att Bertill har exakt efter omgångar? Sannolikheten P Alla sekvenser lika troliga: så att P eftersom lika många som ger 0 måste vi ha ett mer än 7 / st och / st så att P / Generellt: sannolikheten att Bertill har exakt efter omgångar? Sannolikheten P / st och / st P / 8
Antag Bertill startar med 0 kr Vad är sannolikheten att Bertill har förlorat exakt kr efter omgångar? Sätt 0 0 Sannolikheten P 0 P 8 / st och / st P 8 / 9 Antag Bertill startar med 0 kr men är bankrutt när han inte har några pengar kvar. Vad är sannolikheten att Bertill har förlorat exakt kr efter omgångar utan att bli bankrutt? Sätt 0 0 Sannolikheten 8 > 0 > 0 > 0? P antal vägar med / st och / st förutom de som skär 0 antal vägar med / st och / st förutom de som skär den horisontella axeln Kort om reflexionsprincipen: antal vägar från till som går genom 0 är lika många som antal vägar från till som går genom 0 005-05-30 antal vägar som går genom 0 antal vägar med 0--88 fler än P 8 > 0 > 0 8 / 8 0 / / > Johan Koskinen Department of Statistics
Med Pär-och-Bertill-exemplet eftersom ex.: några realisationer lite begränsat för t.ex. kursutveckling exempelvis differensen med sannolikheten / med annolikheten / Antag att vi stoppar in extrasteg mellan tidpunkterna t.ex.: med vi får då med sannolikheten / / med annolikheten/ / ex.: några realisationer m slh./4 0 m slh./ m slh./4 3 4 Antag att vi stoppar in många extrasteg mellan tidpunkterna Vi låter...vara oberoende likafördelade och definierar m.a.o. med sannolikheten / med annolikheten / observera tidsskalan Stoppa in interpolerade värden mellan extrastegen mellan tidpunkterna för tidpunkten i intervallet [ ] Tidpunkterna är nu kontinuerliga!!! / ex.: alltså utan punkterna ex.: några realisationer 005-05-30 5 Johan Koskinen Department of Statistics 6
Eftersom i princip Enligt CGS: när antalet extrasteg blir stort 0 oberoende likafördelade variabler Procesen kallas för standard Wienerprocess om den uppfyller 0 0 0 för alla Var σ för alla är normalfördelade för alla har oberoende ökningar: för alla < 3 < 4 gäller att och 4 3 är oberoende 7 8 9