MATEMATIK, LINJÄR ALGEBRA för E1, lp 1 2000

MATEMATIK, LINJÄR ALGEBRA för E1, lp 1 2000 Kurschef Gunnar Mossberg (GM). Träffas under lp 1 i anslutning till föreläsningar och seminarieövningar enligt nedan. Dessutom torsdagar kl 12.15 12.45 i rum 545, femte våningen i MH (matematikhuset, använd trappor/hiss till höger) telefon 046-222 3165 e-mail: mossberg@maths.lth.se Postbox finns i hylla direkt till höger i MH:554 (sekr Ann-Kristin Ottossons rum). Elevexpedition i MH:540 må fr kl 10 12.15 och 14.00 16.30 med kaffepaus från ca kl 15 (Ann-Margret Svensson), tel 046-222 8530, e-mail: ams@maths.lth.se TENTAMENSUPPLYSNINGAR, EXTENTOR mm finns på vår hemsida: http://www.maths.lth.se klicka på "Faculty of Engineering" och därefter på "Vita hyllan". Färdigutskrivna exemplar finns i vår (vita) hylla vid hissen på 5:e våningen (norr). Anslagstavla i MH, bottenvåningen till höger runt hörnet (för tentaresultat mm). Undervisning: Föreläsningar (GM) i E:A må kl 13 15, on kl 10 12 och to 31/8 kl 10 12. Seminarieövningar (GM) i E:A to kl 10 12 (utom 31/8 då det ju är föreläsning i stället). Övningar: A GM Ti 13 15 E:1407 Fre 10 12 E:1147 B Tomas Rutegård (TR) Ti 13 15 E:1408 Fre 10 12 MH:333 C Max Lindholm (ML) Ti 13 15 E:1409 Fre 10 12 MH:362B D Lars Vretare (LV) Ti 8 10 E:1409 Fre 8 10 MH:229 E Thomas Mårtensson (TM) Ti 8 10 E:3318 Fre 8 10 MH:331 F Nils-Olof Tired (NOT) Ti 8 10 E:3319 To 8 10 MH:143 Litteratur: Sparr: Linjär algebra, Studentlitteratur 1995. Här ingår kapitel 1 10 utom 9.9 och 10.4 (avsnitt 6.3 och notiser läses dock kursivt). Det förutsätts att man kan lösa många övningsuppgifter: Övningar i Linjär algebra, Matematiska institutionen (KFS) 1997. Tentamen preliminärt fredagen den 20 okt kl 8.00 13.00 (lokal meddelas senare). Första omtentamenstillfälle blir preliminärt den 8 januari. (Till omtentamen ska anmälan på anslagstavlan ovan göras senast en vecka före tentamen. Det behövs däremot ingen anmälan till den 20/10.) Observera att inga andra hjälpmedel än skriv- och ritverktyg är tillåtna på tentamen (du får alltså t ex inte ha med räknedosa, formelsamling eller egna anteckningar). Hur utnyttjar du undervisningen bäst? Observera att vid högskolestudier är det du själv som har det fulla ansvaret för att du utnyttjar erbjuden undervisning, ställer frågor och bedriver självstudier kontinuerligt och i tillräcklig omfattning för att du ska nå de kunskaps- och färdighetsmål (inkl tentamensresultat) som du föresatt dig. Enligt din studiehandbok beräknas självstudietiden för denna kurs till 90 timmar för den som har goda förkunskaper, det blir mer än två och en halv klocktimme varje vardag utöver schemalagd undervisning och ännu mer för den som har brister i förkunskaperna. Att du som individ bedriver effektiva studier är alltså inte universitetets uppgift att kontrollera (i stället ska vi försöka besvara dina frågor, entusiasmera dig och genom utbildningen hjälpa dig att utvecklas från gymnasist till en fullfjädrad civilingenjör, som på vetenskaplig grund kan finna lösningar på de problem framtidens internationella och snabbt teknikutvecklade samhälle kommer att generera). Tänk också på att matematikstudier inte enbart är till för att lära dig den matematik du sedan behöver i tillämpningarna - utan att det också är en utmärkt träning i logiskt strukturerat tänkande. Det är viktigt att du redan från första dagen organiserar ditt arbete så att du får så stort utbyte av undervisningen som möjligt. Några tips: Föreläsningar. Här får du en presentation av grundläggande teori och exempel som behövs för 1

att du direkt ska kunna ge dig på egen problemlösning. Tyvärr måste tempot bli högt, men du kommer att förstå mycket mer av föreläsningen om du i förväg hunnit skumma igenom avsnittet i boken. Lägg därvid särskilt märke till termer, definitioner, satsernas formulering och innebörd samt idén i något exempel. Däremot måste du (vid denna tidpunkt) inte förstå alla bevis eller behärska alla exempel i detalj. Efter föreläsningen är det viktigt att direkt komma igång med lösandet av följande övnings uppgifter. I samband med problemlösningen kontrollerar du att du förstår teorin och att du behärskar terminologi, definitioner och viktiga satser, lemman m m. Försök också att klart formulera de frågor du vill ställa på kommande övning. Efter genomförd problemlösning är det slutligen dags för ett fördjupat teoristudium: Med utdelade instuderingsfrågor som ledning pluggar du in definitioner och satser, förstår bevisen och försöker själv återge bevis. Det är viktigt att inte släppa gamla avsnitt utan att i stället kontinuerligt repetera, plugga och ställa frågor. Seminarieövningar. Flera uppgifter kan vara svårare än de på övningarna och du får se lösningar som de bör vara på tentamensskrivningen. Andra uppgifter är valda mer för att ge upphov till en principiell diskussion och ibland utförs inte alla detaljer i lösningen. För att maximera ditt utbyte är det nödvändigt att du är väl insatt i problemställningarna och verkligen har försökt lösa uppgifterna själv i förväg. Starta i god tid - så snart motsvarande avsnitt är behandlat på föreläsning. Övningarna är i första hand ditt stora tillfälle att ställa frågor på sådant som du inte förstått både på teorin och räkneuppgifterna. I andra hand räknar du färdigt det som du inte hunnit med hemma av dagens program. Det är viktigt att snabbt komma igång med det egna räknandet även om du inte tycker att du hunnit smälta teorin. Är en övningsuppgift för svår arbetar man först igenom något liknande exempel i läroboken eller ett av de problem i övningshäftet som har genomarbetade lösningar (om du t ex inte klarar uppgift 1.3 på första övningen så studerar du lösningen till den likartade 1.2 på sidan 8). De L-märkta uppgifternas lösningar kan också vara bra att ha när du repeterar (t ex inför tentamen). Försök att räkna så många som möjligt av dagens uppgifter före övningen. Då kan du bli klar med de lätta och hinna fundera en del på de svåra, så att du har frågor klara när du kommer till övningen. Det kan t ex gälla något steg i de tryckta lösningarna som du undrar över, ett påstående i dina egna lösningar som du är osäker på om det är korrekt eller en lösningsidé som du själv har men som du har svårt att konkretisera. Efter övningen kollar du att du har förstått det du frågade om, och är fortfarande något oklart så formulerar du nya frågor till nästa gång. Om du inte alls vet hur du ska räkna kan du be om en ledning och försöka igen hemma efter övningen. Befarar du upprepade ledningsbehov på samma uppgift är det dock bättre att jobba med den under övningen. Övningsledarens roll är att hjälpa dig att aktivt utveckla din egen förmåga inte att servera färdiga lösningar som du bara skriver av utan att förstå (du har ju ändå tillgång till ett stort antal nedskrivna lösningar i bokens exempel och övningshäftets L-uppgifter). När du har kört fast eller har frågor får du därför ofta inte ett direkt svar; ibland ges i stället tips och ledningar, kanske motfrågor för att få igång en diskussion. Tänk på att syftet med ditt räknande inte är att bara slarvigt räkna igenom problemet och sedan kryssa över uppgiftsnumret på dagens kursplanering. I stället är tanken att du ska tillägna dig ett stort antal grundläggande räkne- och problemlösningsmetoder. För att komma ihåg dessa är det viktigt att hela tiden återvända till gamla lösningar, tänka igenom och faktiskt även plugga in idéerna som du tränat på. Vid de återkommande repetitionerna kontrollerar du förstås också att du förstår de logiska resonemangen, kan utföra ingående beräkningar och kommer ihåg inblandade satser m m (du får naturligtvis ställa frågor även på övningsuppgifter/teori från tidigare övningstillfällen). När du studerar hemma stöter du på en hel del problem, och det kan vara bra att samarbeta med någon klasskamrat, men glöm inte bort att övningsledaren finns 2

på plats just för att besvara dina frågor! Slutligen: Det är viktigt att du håller tempot. Föreläsningarna förutsätter att du hunnit jobba igenom föregående övningsprogram. Räkna inte med att du i slutet av läsperioden ska hinna ta igen sådant som du missat tidigare. Frågar man äldre teknologer om deras allra viktigaste råd till en nolla brukar de svara: Börja plugga i tid! och arbeta tillsammans. Kursplanering: Må 28/8 F Gausselimination, geometriska vektorer. (Kapitel 1, 2.1-2.2) Ti 29/8 Ö Dagens övning innebär bl a att du (med start hemma) ska lösa alla angivna problem. Beteckningen 1.3L betyder att det i närheten av uppgift 1.3 finns ett annat problem (i detta fall 1.2) som är likartat och dessutom försett med utskriven lösning (i detta fall på sid 8). Skrivs 1.15T finns i stället ett tips i övningshäftet till angiven eller närbelägen uppgift (i detta fall finns ett tips till uppg 1.15 på sid 5). Noteringen 1.4X talar om att det finns ett användbart exempel i läroboken (i detta fall Ex 1.7) vilket inte hindrar att häftets lösning på 1.2 och din egen på 1.3 också är en god hjälp. Även E kommer att användas, t ex anger (to/fr 16-17/9) 7.18ET att du vid hjälpbehov kan få extratips (E) de är samlade i nummerordning efter kursplaneringen och om inte det räcker ger även övningshäftet ett vanligt tips (T), i detta fall på sid 69. Bokstäverna L,T,X kommer mest att användas i anslutning till den första övningen sedan är det meningen att du själv ska kunna hitta de lösningar, tips eller exempel som är aktuella (fråga gärna övningsledaren om du inte hittar något). Idag (och igår) ska du först lösa uppgifterna 1.3L, 4X, 9LX, 12L, 14L, 19L (avser uppg 1.17-lösningen); 2.1X (avser Ex 2.1 och Ex 2.4), 7X (avser Ex 2.5 och Ex 2.6 med följande Anmärkning), 10E (avser alltså en ledning nedan, placerad efter hela kursplaneringen). Sedan fortsätter du med övningarna 1.15T, 16X (avser Ex 1.8), 7X (återigen Ex 1.8); 2.4XL (snegla inte på lösningen förrän det blir nödvändigt och behöver du hjälp räcker det kanske att titta på bokens Ex 2.5 i stället), 8T (i tipset kan uppg 2.6 bytas mot Ex 2.6 formel (2)). Sammanfattat innebär alltså dagens program lösandet av först 1.3L, 4X, 9XL, 12L, 14L, 19L; 2.1X, 7X, 10E sedan 1.15T, 16X, 7X; 2.4XL, 8T. On 30/8 F Bas, koordinater, linjärt beroende, koordinatsystem. (2.3-2.4, 3.1) To/Fr 31/8-1/9 Ö Först 2.13, 17bc, 18bd, 19ba, 20be, 22a-d; 3.1, 2, 3 sedan 2.14a, 16, resterande bland 2.17-20. To 31/8 F Ekvationer för linjer och plan. Ekvationssystems lösningsmängd. (3.2-3.4). Börja direkt efter veckans sista undervisning i linjär algebra med kapitel 3 - uppgifterna från tisdagsprogrammet (5/9 nedan). Må 4/9 F Skalärprodukt. (Kap 4 t o m Ex 11 sid 75.) Ti 5/9 Ö Lös alla: 3.5bd, 6bcd, 8, 9b, 10, 11, 14acd, 18bcd, 21, 22; 4.1, 4, 10a, 11, 15, 18, 22a, 24. On 6/9 F Vektorprodukt (Kapitel 5 och rester ur kapitel 4.) To/Fr 7-8/9 Ö Först 5.1ab, 2, 3, 8a, 20L (här avser L uppg 5.9), 15 utom sista meningen; 4.31, 32 sedan del av 4.13; hela 4.20, 22bc, 25b, 26; 5.5, 11, 17. To 7/9 S 3.7, 12, 15, 16, 28 (planets ekvation ska ges på affin form); 4.3, 10b, 29b. Må 11/9 F Rummet n och matriser. (6.1-6.2, 6.4, 7.1-7.4) Ti 12/9 Ö Först 6.1; abc i 6.2, 3, 4; 6.6, 8a; 7.1a, 2abd, 3, 4, 5 sedan d i 6.2, 3, 4; 6.7, 8b, 5; 5.8bE, 19; 7.1b, 2c, 6. On 13/9 F Basbyten. Invers och ortogonal matris (2.5, 7.5-7.6, Ex 4.8) To/Fr 14-15/9 Ö Först 7.8, 9cb; 2.23, 25; 4.9; sista meningen i 5.15; 7.14, 15ac, 10 sedan 7.26E, 29, 11; 2.3, 14b, 22e; 7.15b, 16, 18ET. 3

To 14/9 S 3.27; 4.16, 17; 7.12 (jfr uppg 7.6), 13, 17, 19. Må 18/9 F Rang, nolldimension och teori för n (7.7, 6.3). Rester i kap 1-7. Ti 19/9 Ö Tillägg till ranguppgifterna: Skriv även ner en bas i kolonnrummet i varje (del)uppgift 7.23, 24. Först 7.23a-dE, 24E, 23efE (här avser E förslag till svar på tilläggsuppgiften dvs kolonnrumsbas) sedan 7.7, 20, 21 och rester, repetition (kap 1-7). On 20/9 F Linjära avbildningar och deras matriser. (8.1-8.2) To/Fr 21-22/9 Ö Även om du klarar uppgifterna utan extratips så kolla ändå i efterhand upp E-anvisningarna och följ dessa. Dagens program är först 8.2E, 3E, 5E, 13E, 10, 12dbE, 8E sedan 8.6E, 1cE, 2bE (igen), 8E (igen), 5E (igen), 7. To 21/9 S 1.10; 2.12, 2.28; 3.26; 4.35, 43; 5.16. Må 25/9 F Superposition. Fördjupning av linjära avbildningar. (8.3-8.5) Ti 26/9 Ö Först 8.20, 23 (texten två rader före uppg 22 hör till), 24E, 25, 27E, 29E sedan 35E, 36, 38. On 27/9 F Volym och area med tecken, determinant. Huvudsatsen. (9.1-9.2, 9.6) To/Fr 28-29/9 Ö Först 9.1ade, 3, 4E, 5X, 6bTX, 18a, 19, 21a, 21bE, 22, 25L (här avser L uppg 23), 27E, 9.42-variant E: för vilka a är F bijektiv?, 43a sedan 9.1bc, 2, 6a, 40E. To 28/9 S 3.24; 4.45; 7.28, 31, 37; 8.28, 34. Må 2/10 F Determinanters räknelagar och tillämpningar. (9.3-9.5, 9.7) Ti 3/10 Ö Först 9.10, 11E, 12c, 13E, 14X, 15X, 17bc (Cramers regel kan ej användas för alla s-värden i c). Lös uppgiften för de s där Cramers regel fungerar.), 28, 30bLE sedan 49E, 44, 47T. On 4/10 F Determinant av typ n n. Egenvärden och egenvektorer. (9.8, 10.1-10.2) To/Fr 5-6/10 Ö Först 9.31bL, 36E, 37E; 10.1ef, 2df, 3 (titta på svaret till uppg 10.2b på sid 120), 5 (tolka svaret till 10.2d så behövs bara enkel huvudräkning), 6 sedan 9.33E, 45TE. To 5/10 S 8.39, 42; 9.8, 35, 42; 10.20, 27. Må 9/10 F Diagonalisering av matriser. (10.3) Ti 10/10 Ö Först 10.10ef, 13, 15, 8 sedan resten av 10.1, 10, 2 samt 10.11, 7. On 11/10 F Rester, repetition och extentor. To/Fr 12-13/10 Ö Den äldsta (dvs med tidigare datum) av de utdelade extentorna i första hand. Dessutom gamla rester och repetition (här gäller individuell prioritering). To 12/10 S 1.18, 2.26, 3.17, 4.33, 5.18, 9.26, 10.19, 10.26. Fr 20/10 Tentamen kl 8.00 13.00 (preliminärt!). Observera att det inte är någon akademisk kvart i stället är det viktigt att vara på plats i extra god tid före, helst kl 7.45 (se Skrivningsregler). Förutom Skrivningsregler kommer en lapp med allmän information om mattetentor att delas ut läs dem noga. På tentamen får du 6 uppgifter, som vardera bedöms i steg om 0.1 poäng från 0.0 till 1.0. För att bli godkänd krävs minst 3.0 poäng. Gamla skrivningar med lösningar finns att hämta på nätet: http://www.maths.lth.se/matematiklth/vitahyllan/vitahyllan.html#extentor Alternativt brukar KFS sälja de ca 5 senaste i en bunt när det börjar bli dags. Dessa extentor liksom seminarieövningsuppgifter och problemen med genomräknade lösningar i övningshäftet samt exempel i boken, bör behandlas så att man utan att snegla på lösningen, själv försöker lösa uppgiften först. Därefter jämför man sin egen lösning med den givna och drar lärdom därav. 4

Extratips till vissa övningsuppgifter: 2.10 Börja med högerledet och använd formel (1) i bokens kapitel 2 sid 26. 5.8b Tänk och rita räkna inte. 7.18 Huvudräkning! 7.23 a: Kolonnrumsbas (t ex) 1 2 3 2 6 5 b: 1 2 3 1 1 3 c: 2 3 4 1 2 3 3 1 2 d: 1 2 1 1 1 2 1 2 3 1 e: 1 0 2 3 1 1 1 2 f: 1 0 2 3 1 1 1 2 7.24 k 8: (1,3,4), (2,6,k) k 8 : (1,3,4). 7.26 Jämför Ex 7.5. 8.1c Utnyttja sats 1 och uppg 8.1a. 8.2 Först: Med metoden i lösningen till uppg 8.1. Sedan: b: Använd sats 1 och uppg 8.2a. 8.3 Använd svaret till uppg 8.1b. 8.5 Först: Använd sats 1 du får utgå ifrån att det är fråga om en linjär avbildning. Sedan: Enligt metoden i lösningen till uppg 8.4. 8.6 Dels med metoden i tipset, dels genom att använda sats 1. 8.8 Först: Använd valfritt sats 1 eller Exempel 9. Sedan : Lös uppgiften med den återstående metoden. 8.12d Jämför med lösningen till uppg 8.11. Det är egentligen enklare att utreda fallet då w är godtycklig men fix. b: Beräkna F λu µv λf u µf v. 8.13 Använd sats 1 du får förutsätta ON-bas. 8.24 Huvudräkning! använd svaret till uppg 8.7. 8.27 Skriv upp sambandet mellan de gamla koordinaterna x y z och de nya x y z, bestäm sedan planets ekvation uttryckt i variablerna x y z och till sist återstår enkel huvudräkning. 8.29 Tänk på Exempel 6. 8.35a Som lösningen till uppg 8.17 och b: som 8.26. 9.4 Se formler med V a 1 a 2 a 3 mitt på sid 195 och mitt på sid 198. 9.11 Huvudräkning! (se sats 4). 9.13 Ingen matrismultiplikation behöver utföras! använd i stället satserna 4 och 5(i). 9.21b Titta och tänk man behöver nämligen inte räkna! 9.27 Använd sats 10 (två gånger). 5

9.30b Kvadratkomplettering visar att 4x 2 6xy 4 x 4 2 så ellipsen är 3y 4 x 4 2 11y 2 4 8 eller 4x 3y 2 y 11 2 32. Om x y u v 4x 3y y 11 får vi u 2 v 2 4 2 2 vars area är känd (cirkel med radie 4 2. Denna ger med sats 9.11:s motsvarighet i planet vår sökta ellipsarea (här är deta 4 3 0 11 ). 9.33 Man kan erhålla en triangulär determinant (jfr Ex 17) genom lämpliga radoperationer. Läs inte mer av tipset innan du själv försökt. Metoden är: Subtrahera rad 2 från rad 1, därefter rad 3 från rad 2, sedan rad 4 från rad 3 o.s.v. De n 1 första raderna kommer då att få nollor till höger om huvuddiagonalen och sista raden blir oförändrad. 9.36 Sats 12 tillsammans med satserna 9df och 5(i) (du ska alltså inte beräkna inversen A 1. 9.37 Sats 12 tillsammans med sats 9af (och raderna efter f). 9.40 Sats 10 och Exempel 13. 9.42 Bijektiv betyder här att V F 3, jfr första meningen i svaret till uppgiften. Se även sats 8.5 (i) och sats 9.9df. 9.45 Addera första kolonnen multiplicerad med 10 3 till den sista etc. Efter tre sådana operationer kommer det överst till höger att stå 4921 19a för något heltal a (o s v). 9.49 Beräkna arean av T 0 som i Exempel 2. Spegling och vridning ändrar inte arean. Den sista avbildningen förändrar arean enligt sats 11:s motsvarighet i planet (alltså genom en multiplikation med determinanten 5 9 ). (Metoderna i Ex 2 och sats 11 sysslar med 4 6 area med tecken men i svaret söks naturligtvis den normala positiva arean.) 3y 9y 2 4 6