Övningssamling Internationella ekonomprogrammet Moment 1

Övningssamling Internationella ekonomprogrammet Moment 1

1. I samband med surveyundersökningar förekommer det olika typer av fel. Redogör för innebörden av följande feltyper och förklara hur dessa typer av fel kan inverka på resultatet av en undersökning. (a) Täckningsfel (b) Urvalsfel (c) Bortfallsfel 2. I samband med mätning förekommer begreppen validitet och reliabilitet. (a) Redogör för innebörden av de två begreppen. (b) Vilken eekt kan en bristande validitet få vid en hypotesprövning (ge gärna ett exempel). 3. Vid en undersökning av taximarknaden användes ett frågeformulär med en del komplexa frågor. Undersökningen genomfördes som en kombination av postenkät och telefonintervju. Enkäten som skickades ut besvarades först i samband med att respondenten blev uppringd av en intervjuare. (a) Vad kan det nnas för fördel(ar) med ovanstående förfarande jämfört med en "vanlig" postenkätundersökning? (b) Jämför mätmetoderna besöksintervju och postenkät med avseende på följande två punkter i. Känsliga frågor ii. Bortfall 4. Försök svara på följande frågor. (a) Vad är skillnaden mellan en deskriptiv och en analytisk undersökning? (b) Vad menas med att man operationaliserar ett teoretiskt begrepp? (c) Vad är skillnaden mellan en intervallskala och en kvotskala? (d) Vad är en latent variabel? (e) I samband med urval från öden, t.ex. kunder som kommer in i en butik, skulle man kunna tänka sig att välja ett antal tidpunkter slumpmässigt och sedan välja det först anlända elementet efter varje tidpunkt. Detta urvalsförfarande är emellertid i regel olämpligt. Varför? 1

5. Storföretaget ACI, som driver ett stort antal butiker runt om i Sverige, vill veta vilken placering av godishyllorna som ur försäljningssynpunkt är bäst. Vissa av företagets butiker har godiset placerat direkt innanför ingången medan andra har godiset placerat precis innan kassorna. (Bortse ifrån bristen på verklighetsanknytning. Numera vet man var man skall placera godiset för att sälja så mycket som möjligt). (a) Redogör kortfattat för hur en experimentell respektive en ickeexperimentell undersökning skulle kunna utformas. (b) Diskutera även fördelar och nackdelar med respektive undersökningstyp (antingen generellt eller kopplat till det svar Du gav i deluppgift a). 6. Låt A och B vara två händelser, där P (A) > 0 och P (B) > 0. Visa att om de två händelserna, A och B, är ömsesidigt uteslutande, så är de beroende. 7. Låt A och B, där P (A) > 0 och P (B) > 0, vara två ej ömsesidigt uteslutande händelser. Antag att P (A B) = P (A). Visa att P (A B) = 1. 8. En grönsaksgrossist har utvecklat ett test för att kontrollera kvaliteten hos tomater. Efter att ha inspekterat ett urval från ett parti tomater, accepteras eller förkastas partiet. Med detta test förkastas 15% av alla partier. Av alla partier är 10% dåliga medan endast 6% av de accepterade partierna är dåliga. (a) Beräkna sannolikheten att ett parti kommer att förkastas, givet att det är dåligt. (b) Beräkna sannolikheten för ett felaktigt beslut, dvs. att ett bra parti förkastas eller att ett dåligt parti accepteras. Svar a) 0.49 b) 0.152 9. Antag att man i samband med en reklamkampanj för en viss produkt räknar med att 20% av konsumenterna kommer att se reklamen. Antag vidare att 15% av de konsumenter som ser reklamen även kommer att köpa produkten medan endast 5% av de konsumenter som ej ser reklamen kommer att köpa produkten. (a) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald konsument kommer att köpa produkten. (b) Beräkna hur stor andel av de som köper produkten har sett reklamen. 2

Svar a) 0.07 b) 0.4268 10. Låt X vara en stokastisk variabel som anger antalet uthyrda bilar per dag. Baserat på historiska uppgifter har uthyrningsrman antagit följande sannolikhetsfördelning för X: x p(x) 0 0.10 1 0.25 2 0.40 3 0.20 4 0.05 Antag att uthyrningsrman debiterar 400 kronor för en uthyrning av en bil under en dag. (Varje uthyrning räknas för enkelhetens skull som uthyrning under en dag. Du behöver alltså inte ta hänsyn till andra debiteringar för delar av dagar). (a) Ange fördelningsfunktionen för X. (b) Beräkna väntevärde och standardavvikelse för X. (c) Firman har en fast kostnad på 600 kronor per dag och en rörlig kostnad på 50 kronor per uthyrd bil. Teckna den funktion som beskriver vinst under en dag som funktion av antalet uthyrda bilar under dagen. Beräkna väntevärde och standardavvikelse för den stokastiska variabeln Vinst under en dag. (d) Antag att det råder oberoende (avseende antalet uthyrda bilar) mellan dagar. Beräkna sannolikheten att den sammanlagda vinsten under två på varandra följande dagar överstiger 1000 kronor, dvs vinsten under dag 1 plus vinsten under dag 2 större än 1000 kronor. Svar b) E(X) = 1.85; σ x = 1.0137 c) E(V inst) = 47.50; σ(vinst) = 354.78 d) 0.0225. 11. En verktygsfabrikant tillverkar tvåmeters måttstockar. Längden på en tillverkad måttstock anses vara likformigt fördelad på intervallet (1996, 2004) millimeter. Ett krav från konsumenterna är att längden på en måttstock ej får misstämma med mer än 3 millimeter från längden 2 meter. (a) Vad är sannolikheten att en godtyckligt vald måttstock ej uppfyller kvalitetskravet från konsumenterna. 3

(b) Låt X beteckna en stokastisk variabel sådan att X = 1 om måttstocken ej uppfyller kvalitetskravet och X = 0 om den uppfyller kvalitetskravet. Ange sannolikhetsfunktionen för X, samt beräkna väntevärde och standardavvikelse för X. (c) Antag att man slumpmässigt väljer ut 25 måttstockar från produktionen. (Populationen av tillvekade måttstockar kan anses som mycket stor). Beräkna sannolikheten att högst två måttstockar av de 25 inte uppfyller konsumenternas kvalitetskrav. (d) Företaget producerar årligen 10000 måttstockar. Hur många av dessa kan vi förvänta oss håller det uppställda kvalitetskravet. Svar a) 0.25 b) E(X) = 0.25; σ(x) = 0.433 c) 0.0321 d) 7500. 12. Företagets Benkes Bänkar tillverkar långbänkar med mycket god hållbarhet (man använder trä från det franska Pommacträdet). Alla tycker att företagets slogan Benkes bänkar håller i längden är välfunnen. Däremot är det inte alls lika säkert att Benkes bänkar håller längden. Som alla vet är det mycket viktigt att längden på en äkta långbänk är så nära 3.170 meter som möjligt. En äkta långbänk, som är mellan 3.165 och 3.175 meter, kan säljas för 2500 kr. Bänkar som är kortare än 3.165 meter kan i och för sig säljas som extra långa kortbänkar, men då till ett lägre pris, 2000 kr per bänk. Bänkar som är längre än 3.175 måste kortas av för hand, vilket kostar 200 kr per bänk, innan de kan säljas som äkta långbänkar. Antag att den kapmaskin som bestämmer längden på de långbänkar som produceras av Benkes Bänkar fungerar på ett sådant sätt att längden för en bänk kan ses som en observation på en normalfördelad variabel med väntevärdet µ och standardavvikelsen σ = 0.003 meter. Väntevärdet kan man själv justera genom att ändra inställningen på maskinen. (a) Antag att väntevärdet är 3.170 meter. Beräkna sannolikheten för att en bänk som produceras blir längre än 3.165 och kortare än 3.175 meter. Dvs. att det blir en äkta långbänk. (b) Kostnaden för att tillverka en bänk är 2100 kronor. I den kostnaden är inte en eventuella kostnad för avkortning av en för lång bänk inräknad. Beräkna den förväntade vinsten per bänk. (c) Under en normal arbetsdag produceras 15 bänkar. Beräkna, för normala dagar, det genomsnittliga antalet per dag (i det långa loppet), som är längre än 3.175 meter (och därmed måste kortas av). (d) Benkes kusin och medarbetare, Kalle Planka, påpekar att eftersom man tjänar mera på bänkar som är för långa än på bänkar 4

som är för korta, bör kapmaskinen justeras så att sannolikheten för korta bänkar minskar. Benke klarar inte av att räkna ut hur han skall kunna maximera den förväntade vinsten, men bestämmer sig ändå för att se till att sannolikheten för bänkar kortare än 3.165 meter minskas till 0.0202. Beräkna den förväntade vinsten per bänk efter denna justering. (Standardavvikelsen antas oförändrad, dvs. 0.003 meter). Svar a) 0.9050 b) 366.75 c) 0.7125 d) 369.84 13. En maskin fyller burkar med olja. Av erfarenhet vet man att volymen varierar från burk till burk. Volymen kan betraktas som en normalfördelad variabel med standardavvikelsen 20 cl. (a) Vilket medelvärde bör man inrikta sig på för att i det långa loppet 95% av alla burkar skall innehålla minst 750 cl. (b) Utgå ifrån att man lyckats ställa in maskinen på ett sådant sätt att medelvärdet ligger på den nivå som Du beräknade i deluppgift (a). Burkarna förpackas i kartonger som innehåller 20 burkar. Beräkna sannolikheten att högst en burk innehåller mindre än 750 cl. Svar a) µ = 782.9 b)0.7359 14. Antag att fördelningen av en viss egenskap, X, i en mycket stor population kan beskrivas av en normalfördelning med väntevärdet 30 och standardavvikelsen 6. Antag vidare att man ur populationen drar ett slumpmässigt stickprov omfattande 9 individer. (a) Beräkna standardavvikelsen för stickprovsmedelvärdet. (b) Beräkna sannolikheten att stickprovsmedelvärdet understiger väntevärdet. (c) Beräkna sannolikheten att stickprovsmedelvärdet överstiger medelvärdet med 3 enheter. Svar a) 2 b) 0.5 c) 0.0668 15. Inför en folkomröstning i ett land genomför man en stickprovsundersökning för att uppskatta hur stor andel av befolkningen som är positivt inställda till ett medlemskap i en viss union. Låt X vara variabeln antalet i stickprovet som är positivt inställda till unionen (a) Utgå ifrån att urvalet är slumpmässigt och föreslå en lämplig modell för variabeln X. Motivera! 5

(b) Antag att andelen positivt inställda i populationen är 48% och att urvalsstorleken är n = 200. Beräkna sannolikheten att minst hälften i ett slumpmässigt valt stickprov är positivt inställda till unionen. Svar b) 0.2843 16. Ange om nedanstående påståenden är rätt eller fel. (a) Oavsett fördelning i populationen blir stickprovsmedelvärdet approximativt normalfördelad om bara populationen är tillräckligt stor. (b) En förutsättning för att stickprovsmedelvärdets standardavvikelse skall vara lika med populationsstandardavvikelsen dividerat med kvadratroten ur stickprovsstorleken är att stickprovet är stort (n > 30). (c) Enligt centrala gränsvärdesatsen är stickprovsmedelvärdet lika med populationsmedelvärdet om stickprovet är stort. (d) Enligt centrala gränsvärdesatsen är den egenskap man mäter approximativt normalfördelad i sticprovet om stickprovet är stort. (n > 30). (e) Oavsett fördelning i populationen blir stickprovsmedelvärdet approximativt normalfördelat om stickprovet är tillräckligt stort. 17. En tillverkare av batterier vill skatta batteriernas genomsnittliga livslängd. Ett stickprov bestående av 12 batterier ger stickprovsmedelvärdet 34.2 timmar och stickprovsstandardavvikelsen 5.9 timmar. Antag att ett slumpmässigt valt batteris livslängd kan antas vara en normalfördelad variabel och beräkna ett 99%-igt kondensintervall för populationsmedelvärdet. Svar 34.2 ± 5.29 18. Antag att för en viss kurs, den tid som en slumpmässigt vald student använder för sina studier under den sista veckan före en tenta kan ses som normalfördelad med okänt väntevärde, µ, och okänd standardavvikelse. I ett slumpmässigt stickprov bestående av åtta studenter ck man följande värden: 40.2, 38.7, 49.5, 24.8, 19.9, 38.2, 30.4, 41.5 (a) Beräkna ett 95%-igt kondensintervall för µ. 6

(b) Är sannolikheten 0.95 att µ ligger inom det intervall Du räknade ut i a-uppgiften? Motivera ditt svar. Svar a) 35.4 ± 8.08 b) Nej. 19. Antag att Du vid en hypotesprövning, med nollhypotesen att µ = 15 och alternativ-hypotesen µ 15, har en teststatistika som under nollhypotesen är standardnormalfördelad. När Du utför försöket får Du värdet 1.7 på Din teststatistika. Beräkna p-värdet. Svar 0.0892 20. Låt X vara en egenskap som är normalfördelad i en population med ett okänt medelvärde, µ och variansen σ 2 = 4. Antag att man, med hjälp av ett slumpmässigt stickprov bestående av n = 20 observationer, vill testa hypotesen att µ, medelvärdet i populationen, är 8, mot alternativet att µ är mindre än 8. För vilka värden på stickprovsmedelvärdet kommer nollhypotesen att förkastas om signikansnivån sätts till 5%? Svar X < 7.26. 21. Ett läkemedelsföretag, K. Gräbnärbs Lyckopiller AB, tillverkar piller mot dåliga kunskaper i statistik. När pillertillverkningsmaskinen fungerar som den skall, så är mängden av den aktiva ingrediensen i ett slumpmässigt valt piller normalfördelad med väntevärdet 5 gram och standardavvikelsen 0.025 fram. (Standardavvikelsen antas oförändrad även om väntevärdet ändras). Testa, med signikansnivån satt till 5% hypotesen att maskinen fungerar som den skall, dvs. att väntevärdet är 5 gram, om man i ett slumpmässigt stickprov av 12 piller noterar följande mängder av den aktiva ingrediensen:5.01, 4.96, 5.03, 4.98, 4.98, 4.95, 5.00, 5.00, 5.03, 5.01, 5.04, 4.95. Svar Nollhypotesen kan inte förkastas. 22. I samband med hypotesprövning så föreligger det en väsentlig skillnad mellan ett beslut att förkasta en hypotes och ett beslut att ej förkasta en hypotes. Ibland talar man om starka respektive svaga beslut. Förklara varför ett förkastande av en hypotes är ett starkare beslut än att ej förkasta hypotesen. 23. En student som skulle förklara vad som menas med uttrycket statistiskt signikant på signikansnivån 5% skrev Detta innebär att sannolikheten bara är 0.05 att nollhypotesen är sann. Är detta i huvudsak korrekt förklaring? Som vanligt skall Du motivera Ditt svar. Svar Ej korrekt förklaring. 7

24. En grupp om 10000 personer tillfrågades om de hade läst ett visst nummer av tidning A och ett visst nummer av tidning B. Resultatet av undersökningen ges i följande tabell: Tidning A Ej läst Läst Ej läst 5500 900 6400 Tidning B Läst 300 3300 3600 5800 4200 10 000 (a) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald person läst båda tidningarna. (b) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald person har läst åtminstone en tidning. (c) Beräkna sannolikheten att en person som läst tidning A även läst tidning B. (d) Beräkna sannolikheten att en person som ej läst tidning A, läst tidning B. (e) Föreligger oberoende mellan läsning av tidning A och tidning B? Svar a) 0.33 b)0.45 c) 0.79 d) 0.05 e) Ej oberoende. 25. Personerna A, B och C jobbar på samma ställe. Av erfarenhet vet man att sannolikheten att de kommer i tid till arbetet på morgonen är 0.8, 0.7 respektive 0.6. Vidare kan antas att personerna kommer oberoende av varandra. Beräkna sannolikheten att en viss morgon (a) Alla kommer i tid. (b) Ingen kommer i tid. (c) Åtminstone en kommer i tid. Svar a) 0.336 b) 0.024 c) 0.976. 26. Sannolikheten att en person i åldern x skall leva ytterligare ett år är p x, och där q x = 1 p x är sannolikheten att han skall dö inom ett år. Betrakta en styrelse sammansatt av en ordförande som är 65 år och av fem medlemmar, som alla är 60 år. Låt q 60 = 0.025 och q 65 = 0.040, beräkna sannolikheten att inom ett år (a) Inga medlemmar dör. 8

(b) Högst en medlem dör. (c) Alla personer i styrelsen överlever. (d) Endast ordförande dör. Svar a) 0.88 b) 0.99 c) 0.8448 d) 0.035 27. Ett visst blodtest skall utföras på N personer. Sannolikheten att en person skall reagera positivt är p och positiv reaktion hos olika personer antas vara oberoende händelser. Blodtest utförs så att blodprov tas på de N personerna, varefter dessa prover blandas och blandningen undersöks. Om blandningen reagerar negativt, behöver ej personerna undersökas mer, i annat fall tas ny prover på samtliga som sedan undersöks individuellt. (a) Låt X=antalet testningar som behöver utföras för att pröva N personer. Bestäm utfallsrummet för X. (b) Visa att sannolikheten att blandningen skall reagera positivt är 1 q N där q = 1 p. (c) Bestäm E(X). Svar a) S x = (1, 1 + N) c) E(X) = 1 + N(1 q N ) 28. Ett företag tillverkar en viss sorts metallstavar som skall ha längden 150 cm. Köparen tolererar dock en längd i intervallet (149, 151). För varje stav med en längd inom intervallet får företaget en vinst om 1 kr. Kortare stavar måste kasseras, vilket orsakar en förlust på 4 kr. Stavar, med större längd än 151 cm, måste kapas ytterligare vilket orsakar ett spill och minskar vinsten till 0 kr. En undersökning har visat att längden hos en slumpmässigt vald metallstav är approximativt normalfördelad med väntevärde 150 cm och standardavvikelsen 0.625 cm. Beräkna den förväntade vinsten för varje metallstav. Svar 0.6712 29. Ett läkemedelsföretag tillverkar en salva som fylls på tuber. Mängden salva i en tub kan antas vara normalfördelad med väntevärde 155 gram och standardavvikelse 4 gram. (a) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald tub inte uppfyller den på tuben angivna deklarationen Innehåller minst 150 gram. (b) Tuberna väljs slumpmässigt och förpackas i kartonger med 16 tuber i varje kartong. Vad är sannolikheten att minst 14 tuber i en kartong uppfyller den i (a) nämnda deklarationen? 9

Svar a) 0.1056 b)0.765 30. Ett läkemedelsföretag har ett mycket stort parti tabletter. Vikten (i gram) av en slumpmässigt vald tablett kan med god noggrannhet anses vara en observation på en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärde µ och standardavvikelse 0.02 g. För kontroll av vikten tar man ut ett antal tabletter och väger dem. Antag att µ = 0.65 g. (a) Beräkna sannolikheten att vikten av en slumpmässigt vald tablett ligger utanför intervallet (0.64, 0.66). (b) Beräkna sannolikheten att aritmetiska medelvärdet av vikten av 30 slumpmässigt valda tabletter ligger utanför intervallet (0.64, 0.66) (c) Hur många tabletter bör man väga om man vill att sannolikheten skall vara högst 0.05, att det aritmetiska medelvärdet kommer att ligga utanför intervallet (0.64, 0.66)? Svar a) 0.62 b) 0.0062 c) n = 16. 31. För att uppskatta hur många timmar studenter i genomsnitt lägger ner på sina studier sista veckan före en tentamen bestämmer man sig för att beräkna medelstudietiden för ett slumpmässigt urval bestående av 40 studenter. Antag att populationsstandardavvikelsen är fyra timmar. (a) Beräkna sannolikheten att stickprovsmedelvärdet kommer att underskatta populationsmedelvärdet med minst en timme. (b) Beräkna sannolikheten att stickprovsmedelvärdet avviker med minst en timmer från populationsmedelvärdet. (c) Beräkna sannolikheten att stickprovsmedelvärdet avviker med högst 30 minuter ifrån populationsmedelvärdet då stickprovsstorleken är: i. 50 ii. 100 iii. 200 iv. 400. Svar a) 0.0571 b) 0.1142 c) (i) 0.6212 (ii) 0.7888 (iii) 0.9232 (iv) 0.9876 32. För att uppskatta den genomsnittliga bensinförbrukningen, vid blandad körning, för en 95:as Ovlov 058 TLG, undersökte man åtta stycken slumpmässigt utvalda bilar. Resultatet av undersökningen presenteras nedan: Antag att bensinförbrukningens variation i populationen kan beskrivas av en normalfördelning. 10

Bil nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 Bensinförbr. 0.82 0.79 0.80 0.78 0.79 0.80 0.84 0.78 per mil (a) Beräkna ett 99%-igt kondensintervall för den genomsnittliga bensinförbrukningen per mil i populationen. (b) Är sannolikheten 0.99 att µ ligger inom det intervall du beräknade i a-uppgiften? Motivera Ditt svar. Svar a) 0.8 ± 0.026 b) Nej. 33. För det senaste räkenskapsåret uppvisar företaget Solning AB en bruttovinstprocent som är betydligt lägre än för branschen i genomsnitt. Bland annat uppvisar bokslutet en låg intäkt. Vid taxeringsmyndigheten i Bootsby bestäms att en revision skall göras hos företaget. Speciellt intresse ägnas åt granskning av företagets försäljning. Under räkenskapsåret har företaget bokfört 1100 fakturor på försäljningskontot. Ett slumpmässigt urval om 100 fakturor väljs och granskas. För elva av dessa har det fakturerade beloppet bokförts felaktigt. Sammanlagt är det bokförda värdet 22000 kr lägre än de fakturerade beloppen. Den statistiskt intresserade revisorn beräknar standardavvikelsen för bokföringsfelen, (=skillnad mellan fakturerat belopp och bokfört belopp), till 700 kr för hela urvalet. (a) Uppskatta proportionen felaktigt bokförda försäljningsfakturor, dels med punktskattning och dels med ett 95%-igt kondensintervall. (b) Uppskatta genomsnittligt bokföringsfel för de bokförda fakturorna. Ange dels en punktskattning och dels ett 90%-igt kondensintervall. (c) Ge en verbal tolkning av ett kondensintervall. Exempliera med ett av de båda intervallen Du beräknat ovan. Svar a) ˆp = 0.11; (0.052, 0.168) b) X = 220, (110, 329). 34. Direktavkastningen i procent av börskursen vid årets slut kan anses vara normalfördelad när man betraktar de 150 bolag som nns på börslistan. Vid slutet av 1988 var direktavkastningen för 20 slumpmässigt utvalda bolag följande (enhet: procent av börskursen): Beräkna ett 95%-igt kondensintervall för den genomsnittliga direktavkastningen vid slutet av 1988. 11

1.6 3.0 2.6 2.8 1.1 0.9 2.7 1.3 0.9 1.2 1.3 2.1 2.4 3.4 2.0 0.6 2.4 0.8 1.2 1.8 Svar (1.44, 2.17). 35. Företaget Naturliga Produkter tillverkar saft som fylls i 75 cl askor för vidare distribution till ett antal återförsäljare. En av dess återföresäljare har på senare tid fått ett antal klagomål från missnöjda kunder som hävdat att askorna innehåller alltför lite saft. En av försäljarna misstänker att Naturliga Produkter medvetet lurar honom och ringer upp företagets försäljningschef för att klaga. Försäljningschefen håller med om att volymen saft varierar något från aska till aska, beroende på hyr påfyllningsmaskinen fungerar, men hävdar besämt att minst 85% av de askor som levererats till återförsäljaren innehåller minst 74 cl, vilket är det normala i denna typ av verksamhet. Återförsäljaren har nyligen erhållít en leverans bestående av 10000 askor och bestämmer sig för att undersöka om det nns skäl att tro att proportionen askor som innehåller minst 74 cl är minder än 0.85. Han väljer slumpmässigt ut 100 av de 10000 askorna och noterar att 77 askor innehåller minst 74 cl och 23 askor mindre än 74 cl. (a) Genomför en statistisk hypotesprövning och avgör om återförsäljaren, med signikansnivå 5% har tillräckligt starkt empiriskt stöd för att hävda att populationsproportionen askor som innehåller minst 74 cl är mindre än 0.85. (b) Beräkna och tolka p-värdet. Svar a) z obs = 2.24 < 1.645 b) p = 0.0125. 36. Inom datakommunikation utnyttjar man bl.a. beroptik. Flera brer sammanförs till kablar av varierande tjocklek. I en fabrik för tillverkning av sådana kablar nns en nyinstallerad maskin som skall producera kablar med en genomsnittsomkrets på 22 micrometer divisions (1 division = 0.0345 mm). Kablarnas omkrets kan anses vara normalfördelad. Fabriksledningen berarar dock ett maskinfel och har för den skull utfört mätningar på slumpmässigt utvalda kablar. Följande data utgör en del av dessa mätningar: 21, 30, 26, 29, 22, 31, 29, 23, 28, 24. (a) Testa om det befarade maskinfelet stört tillverkningsprocessen (signikansnivå = 5%). 12

(b) Ange p-värdet. Svar a) t obs = 3.79 > t krit. = 2.262, H 0 förkastas på 5% signikansnivå; b) 0.01. 37. Ett företag förpackar och säljer öl på burk. På burkarna står det: Innehåller minst 330 ml. För att uppnå detta kvalitetskrav (så när som på ca 2% av burkarna) är företagets påfyllningsmaskin inställd så att den i genomsnitt fyller på 350 ml öl. Volymen öl i en burk kan antas vara normalfördelad med standardavvikelsen 10 ml. Företaget som säljer ölet har på sista tiden fått in ett stort antal rekalmationer. I samtliga reklamationer påpekas att mängden öl är mindre än utlovade 330 ml. Detta skulle indikera att genomsnittsvolymen inte längre är 350 ml. För att kontrollera detta valdes 25 burkar ut slumpmässigt och volymen mättes för varje burk. Medelvolymen öl i stickprovet var 345 ml. (a) Pröva påståendet att påfyllningsmaskinen i genomsnitt fyller på mindre än 350 ml. Signikansnivå är 0.0228. (b) Beräkna sannolikheten att stickprovsmedelvärdet är mindre än 346 ml om genomsnittspåfyllningen är 344 ml, för: i. n = 25 ii. n = 100. (c) På misstänkta rattfyllerister gör man tre bestämningar av alkoholhalten i blodet. Resultaten x 1, x 2 och x 3 antas utgöra ett slumpmässigt stickprov från N(µ, 0.05), där µ är den verkliga alkoholhalten (enhet: promille). Om µ > 0.2 har personen gjort sig skyldig till rattonykterhet. Låt oss anta att en domstol som skall döma, tar hänsyn till osäkerheten i blodproven genom att beräkna medelvärdet av de tre analysresultaten och därefter förklara personen skyldig till rattonykterhet om: x > 0.2 + z 0.99 0.05 3 men oskyldig annars. Med statistisk terminologi kan man säga att domstolen testar H 0 : µ = 0.2H A : µ > 0.2 på signikansnivån 0.01. Vilket av följande påståenden ger en någorlunda korrekt beskrivning av vad som kommer att händ i långa loppet: i. Högst 1% av alla frikända är skyldiga. 13

ii. Högst 1% av alla oskyldiga blir dömda. iii. Högst 1% av alla skyldiga blir frikända. iv. Högst 1% av alla dömda är oskyldiga. Svar a) Förkasta nollhypotesen b) (i) 0.8413 (ii) 0.9772 c) Högst 1% av alla dömda är oskyldiga. 38. Man vet att en lätt nervositet i regel ökar en individs skärpa och prestationsförmåga. Blir man däremot alltför nervös och stressad tenderar prestationsförmågan att minska. Det händer, eller hände i vart fall tidigare, att skyttar lugnar sina nerver med hjälp av en liten mängd alkohol. En svensk OS-deltagare har faktiskt blivit diskad p.g.a. för hög alkoholhalt i blodet i samband med skjutmomentet i modern femkamp. Han hade helt enkelt tagit någon öl för mycket. I samband med en tentamen i statistik ville en lärare testa huruvida en liten mängd Red Bull möjligen kan förbättra studenternas resultat genom att öka deras prestationsförmåga och ge dem vingar. Studenterna bjöds samtliga på ett glas saft innan de gick in i skrivsalen. I hälften av glasen var saften spetsad med en liten mängd Red Bull, i den andra hälften fanns enbart saft. Studenterna fördelades slumpmässigt på de olika behandlingarna. Av 97 studenter ck 48 (grupp 1) den spetsade saften, medan de övriga (grupp 2) ck den rena saften. Betrakta grupp 1 och grupp 2 som slumpmässiga urval ur populationer bestående av samtliga studenter som skulle kunna utsättas för dessa två behandlingar och denna tentamen. (a) Testa, med signikansnivån satt till 10%, om det nns empiriskt stöd för påståendet att genomsnittsresultatet är bättre (högre poäng) i population 1 än i population 2. Resultatet från urvalsundersökningen presenteras nedan: Grupp 1 Grupp 2 Medelvärde 42 40 Standardavvikelse 10 8 (b) Ovan jämför vi oberoende sampel ur två populationer. När man vill göra jämförelser mellan två behandlingar kan man ibland använda sig av parvisa observationer. Beskrivkortfattat hur det går till och nämn någon fördel med detta förfaringssätt jämfört med oberoende sampel. Svar a) z obs = 1.09 < 1.28 39. Fastighetsmäklarrman Hus & Lur anses hålla en högre prisnivå än övriga mäklare. För att jämföra fastighetsvärdering utförd av Hus & 14

Lur med värdering utförd av mäklarrman Tomt & Tomt värderas åtta slumpmässigt valda fastigheter av båda mäklarrmorna. Följande resultat erhölls (i tusental kr). Fastighet Hus & Lur Tomt & Tomt 1 720 700 2 960 940 3 800 740 4 1100 1000 5 2575 2600 6 850 820 7 620 700 8 720 720 Tenderar Hus & Lur att värdera fastigheterna högre än Tomt & Tomt? Formulera hypoteser, ange förutsättningar för ett lämpligt test och genomför testet på signikansnivån 5%. Svar t obs = 0.82 < 1.895 40. Ett dietprogram för viktminskning testas av en grupp forskare vid ett hälsoinstitut. I testet ingår slumpmässigt valda individer. För dessa uppmäts dels vikt innan dietprogrammet påbörjas, dels vikt efter sex veckor i dietprogrammet (se tabellen nedan). Den intressanta frågan är om dietprogrammet, om det gavs till hela populationen, skulle leda till en genomsnittlig viktminskning. Genomför en statistisk hypotesprövning där du, med signikansnivån satt till 5%, testar om det nns empiriskt stöd för påståendet att sex veckor av dietprogrammet leder till en genomsnittlig viktminskning. Utgå från att såväl initialvikt som vikt efter sex veckor kan ses som (approximativt) normalfördelade i populationen. Individ Initialvikt Vikt efter sex veckor 1 52.1 49.8 2 63.0 61.2 3 55.3 57.8 4 74.9 68.2 5 65.4 63.3 6 53.2 52.9 7 59.8 56.8 8 69.3 66.6 9 64.4 62.1 10 68.2 67.5 Svar t obs 2.640 < 1.833 15

41. Inom företaget Forskning och Framsteg vill man jämföra hållfastheterna hos två typer av material för höljen på rymdraketer. Forskningsledare Puh har två oberoende stickprov enligt nedanstående tabell. Du kan anta att hållfastheterna är normalfördelade med lika varianser. Material 1 Material 2 126 110 108 109 107 104 128 129 130 117 118 116 142 126 107 113 101 121 120 119 121 102 143 Testa på 5%-ig signikansnivå huruvida någon av de två typerna av höljen är bättre (har högre hållfasthet) än det andra. Motivera dina uträkningar. Svar t obs = 1.60, t krit = ±2.08 16