Mtemtisk sttistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 3 John Lindström september 28 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 /3 Repetition Stokstisk vribel Väntevärde & Vrins Diskret fördelningr Kontinuerlig fördelningr Funktioner v en stokstisk vribel Simulering Mtlb John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 2/3 Stokstisk vribel E(X) & V(X) Repetition Stokstisk vribel Väntevärde & Vrins Diskret fördelningr Kontinuerlig fördelningr Funktioner v en stokstisk vribel Simulering Mtlb John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 3/3
Stokstisk vribel E(X) & V(X) Stokstisk vribel (Def. 3.) En stokstisk vribel är ett tl vrs värde styrs v slumpen (en funktion X(ω) : Ω R). Kn vr diskret eller kontinuerlig Snnolikhetsfunktion För en diskret s.v. X p X (k) = P(X = k) Täthetsfunktion För en kontinuerlig s.v X hr vi f X. P(X A) = f X dx Fördelningsfunktion Summ v p X (k) eller integrl v f X. A F X = P(X x) John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 4/3 Stokstisk vribel E(X) & V(X) Fördelningsfunktion (Kp. 3.3, 3.5, 3.7) Diskret b P( < X b) = p X(k) P( < X b) = F X(b) F X() k=+ p X (k) F X P( < X b) = b b k k b f X dx Kontinuerligt P( < X b) = F X(b) F X() f X F X b x b x John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 5/3 Stokstisk vribel E(X) & V(X) Väntevärde (Def. 5.) Det värde som fås i medeltl { k E(X) = kp X(k) Diskr. xf X dx Kont. Vrins (Def. 5.2) Hur utspridd är X kring E(X) [ ] } 2 V(X) = E{ X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 Stndrdvvikelse (Def. 5.3) D(X) = V(X) Kvntil (Def. 3.7) Gräns som överskrids med slh. α. F X (x α ) = α John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 6/3
Stokstisk vribel E(X) & V(X) Kontinuerlig stokstisk vribel Antg tt X hr täthetsfunktionen f X = 2e 2x, x. Bestäm: 5. Väntevärdet E(X). 6. Vrinsen V(X). 7. Beräkn kvntilen x α som funktion v α. John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 7/3 Diskret Kontinuerlig Repetition Stokstisk vribel Väntevärde & Vrins Diskret fördelningr Kontinuerlig fördelningr Funktioner v en stokstisk vribel Simulering Mtlb John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 8/3 Diskret Kontinuerlig Diskret fördelningr (Kp. 3.4) Bernoulli-fördelning ffg-fördelning Geometrisk fördelning Binomilfördelning Poissonfördelning Kontinuerlig fördelningr (Kp. 3.6) Rektngel- eller likformig fördelning Exponentilfördelning Normlfördelning John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 9/3
Diskret Kontinuerlig Bernoulli-fördelning (Kp. 3.4b) Förekomst: Slumpmässigt försök med två utfll (/) Snnolikhetsfunktion: Egenskper: p X (k) = { p om k = p om k = E(X) = p V(X) = p( p) John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 /3 Diskret Kontinuerlig ffg-fördelning (Kp. 3.4d) Beteckning: X ffg(p) Förekomst: Försöket med händelsen A uppreps oberoende, där P(A) = p. X = Antl försök tills A inträffr för först gången. Snnolikhetsfunktion: p X (k) = p( p) k, k =, 2,... Egenskper: E(X) = p V(X) = p p 2 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 /3 Diskret Kontinuerlig Geometrisk fördelning (Kp. 3.4e) Beteckning: X Ge(p) Förekomst: Försöket med händelsen A uppreps oberoende, där P(A) = p. X = Antl försök innn A inträffr. Snnolikhetsfunktion: p X (k) = p( p) k, k =,,... Egenskper: E(X) = p p X = Y Ge(p) V(X) = p p 2 om Y ffg(p) John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 2/3
Diskret Kontinuerlig Binomilfördelning (Kp. 3.4f, 7.2) Beteckning: X Bin (n, p) Förekomst: En händelse A med P(A) = p uppreps n oberoende gånger. X = Antlet gånger som A inträffr. Snnolikhetsfunktion: Egenskper: p X (k) = ( ) n p k ( p) n k, k k =,,..., n E(X) = np V(X) = np( p) n X = Y i Bin (n, p) om Y i Be(p), oberoende i= John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 3/3 Diskret Kontinuerlig Binomilfördelning X Bin (2, p) p = p =.3 p =.5.3 5 5.5.5 2 5.5 p =.7 2 2.3 p =.9 2 2.3 p =.95 2 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 4/3 Diskret Kontinuerlig Poissonfördelning (Kp. 3.4h, 7.4) Beteckning: X Po (μ) Förekomst: Räknr ntl händelser under en tidsperiod. Ex. Antl sönderfll (rdioktivitet) under h. Antl nrop till en server per sekund. Antl rtiklr som efterfrågs per månd. Snnolikhetsfunktion: p X (k) = e μ μk k! k =,,... Egenskper: E(X) = μ V(X) = μ John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 5/3
Poissonfördelning Diskret Kontinuerlig X Po (μ) µ = µ = 2.4 µ = 5.3 5.3.2.5..5..5 2 4 µ = 2 4 2 4 5 x 3 µ = 2 4 3 2 2 4 2 4 2.5 x 3 µ = 3 2.5.5 2 4 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 6/3 Diskret Kontinuerlig Vilken stndrdfördelning är lämplig? Vi observer väljre som nländer till en vllokl. Under ntgnde om oberoende beteende hos väljrn; vilk fördelningr är lämplig för tt beskriv följnde fll:. Snnolikheten tt en slumpmässig väljre är pensioner? 2. Antlet v de först väljrn som är studenter? 3. Antlet väljre innn vi ser den först studenten? 4. Totlt ntl väljre under timme? 5. Antlet väljre till och med (inklusive) den först pensionären? John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 7/3 Rektngel- eller likformig fördelning Diskret Kontinuerlig (Kp. 3.6) Beteckning: X R(, b) eller X U (, b) (eng. uniform) Täthetsfunktion: /(b ) f X = { b f.ö. x b Egenskper: b E(X) = + b 2 V(X) = (b )2 2 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 8/3
Exponentilfördelning Diskret Kontinuerlig (Kp. 3.6b) f X Beteckning: X Exp (λ) eller X Γ (, λ) Förekomst: Tid melln två händelser. Täthetsfunktion: 2.5.5 λ = 2 λ = λ = /2 λ = /4 f X = { λe λx x x < 2 4 6 x Egenskper: E(X) = λ V(X) = λ 2 I blnd (t.ex. i Mtlb) nvänds Exp (μ) där μ = /λ. John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 9/3 Diskret Kontinuerlig Normlfördelning (Kp. 3.6c, 6) Beteckning: X N (μ, σ) iblnd N ( μ, σ 2) Täthetsfunktion: f X = (x μ)2 e 2σ 2, < x < 2πσ 2.5 µ = 4 5 σ = 2 σ = f X f X µ = µ = σ = 2 2 2 4 6 8 x 2 2 4 x Egenskper: E(X) = μ V(X) = σ 2 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 2/3 Diskret Kontinuerlig Fördelningsfunktionen N (, ) (Kp. 6.3) Φ = F X = x 2π e t2 2 dt där Φ räkns ut numeriskt eller fås från tbell. John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 2/3
Repetition Stokstisk vribel Väntevärde & Vrins Diskret fördelningr Kontinuerlig fördelningr Funktioner v en stokstisk vribel Simulering Mtlb John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 22/3 Funktioner v en stokstisk vribel (Kp. 3.) Givet en s.v. X. Vilken fördelning får Y = g(x)? Kontinuerlig stokstisk vribel. Sätt upp F Y (y) = P(Y y) = P(g(X) y). 2. Lös ut F Y (y) som funktion v F X (y). 3. Deriver för tt få f Y (y) som funktion v f X (y) Diskret stokstisk vribel (Kp. 3.b) (Kp. 3.) Snnolikhetsfunktionen fås genom tt lägg ihop ll p X (j) där g(j) = k p Y (k) = p X (j) j:g(j)=k John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 23/3 : Funktioner v en stokstisk vribel. Vilken täthetsfunktion hr Y = + bx om X hr täthet f X? 2. Vilken täthetsfunktion hr Y = πx 2 om X R(, )? 3. Bestäm p Y (k) om Y = X 4 och k 2 2 p X (k) 5 2 4. Vilken fördelning får mn om mn stoppr in en kont. s.v. X i sin egen fördelningsfunktion F X? 5. Vilken fördelning får mn om mn stoppr in X R(, ) i inversen till fördelningsfunktionen för en kont. s.v. Y? dvs Z = F Y (X). John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 24/3
Stndrdiserd Normlfördelning (Kp. 6.3) Om X N (μ, σ), med E(X) = μ och V(X) = σ 2, så är med kvntil X μ σ N (, ) x α = μ + σλ α : Om X N (3, 4) beräkn. P(X > 2) 2. 5%-Kvntilen x.5 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 25/3 Mtlb Repetition Stokstisk vribel Väntevärde & Vrins Diskret fördelningr Kontinuerlig fördelningr Funktioner v en stokstisk vribel Simulering Mtlb John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 26/3 Mtlb Simulering Pseudoslumptl (Kp. 8) Pseudoslumptl är tl som generers enligt en lgorithm men ser slumpmässig ut Hr rätt fördelning Lång periodicitet Oberoende Snbb tt beräkn De flest progrmspråk tillhndhåller R(, )-slumptl. rnd och unifrnd i MATLAB rnd i C/C++ Rndom i Jv Mersenne twister (en.wikipedi.org/wiki/mersenne_twister) är nu mer stndrd i de flest progrmspråk (MT9937). John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 27/3
Mtlb funktioner Mtlb Generer slumptl, täthetsfunktioner, etc. exprnd Generer Exponentil slumptl exppdf Täthetsfunktion (probbility density function). expcdf Fördelningsfunktion (cumultive distribution function). expinv Invers till fördelningsfunktion (percentil) bino... Binomilfördelning poiss... Poissonfördelning geo... Geometrisk fördelning unif... Rektngel- eller likformig fördelning exp... Exponentilfördelning norm... Normlfördelning John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 28/3 Mtlb Hur drr vi slumptl från en godtycklig kontinuerlig s.v. med fördelningsfunktion F Y (y)? (Kp. 8.4). Räkn ut F Y (y) 2. Dr slumptl från en X R(, )-fördelning. 3. Beräkn Y = F (X) för vrje slumptl. Y FMSN5/MASM Monte Crlo-bserde sttistisk metoder John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 29/3 Mtlb Kontinuerlig fördelning Exp (2).8.6 f X.6.8.2 2 Önskd täthet.5 f Y (y).5.5.5 2 2.5 3.8 F Y (y).6.5.5 2 2.5 3 Önskde slumptl John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 3/3
Diskret fördelning Ge(.3) Mtlb.5.5.5.5 Önskd snnolikhetsfunktion.3 2 3 4 5 6 7 8 9.5 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Önskde slumptl John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF45/MASB3 F3 3/3