Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4 Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen kan beskrivas med ett enda tal. Som till exempel omkretsen hos en triangel, summan av en serie eller massan hos en kropp. I stället för tal kommer vi här ofta att använda ordet skalär. Det finns dock andra objekt, som kräver flera tal för att låta sig beskrivas en kraft eller en förflyttning från en punkt till en annan. Dessa objekt beskrivs med en vektor. Det mest klassiska exemplet för att visa skillnaden mellan en skalär och en vektor är skillnaden mellan fart och hastighet. Fart ges som en skalär, 60 km/tim eller 10 m/s, medan hastighet både kräver en storlek, farten, och en riktning, rakt norr ut. I denna föreläsning ska vi studera geometriska vektorer, som kommer att dyka upp i planet eller rummet. Figur 1: Sträckor Riktad sträcka och vektor I figur 1 ser vi två punkter, P 1 och P 2 i rummet. Linjestycket mellan två punkter kallas sträcka. Sträckan i figur 1 betecknas P 1 P 2. Om hänsyn tas till ordningen mellan punkterna är sträckan P 1 P 2 inte samma sträcka som P 2 P 1. Eftersom ordningen är viktig för oss kommer vi fortsättningsvis att tala om riktad sträcka, som vi betecknar P 3 P 4 och ritar med en pil, som i figuren. Den riktade sträckan P 5 P 5 kallar vi i en nollsträcka. I rummet finns förstås oändligt många riktade sträckor, med samma storlek och riktning, som sträckan P 3 P 4. Definition 1. Vektor. En vektor v är mängden av riktade sträckor med samma längd och riktning. Två riktade sträckor hör till samma vektor, om den ena kan överföras till den andra, genom en parallellförflyttning Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Figur 2: 16 riktade sträckor men bara en vektor! Som ett extra förtydligande betonar vi. En riktad sträcka har längd, riktning, startpunkt och slutpunkt. En vektor har endast längd och riktning. Kör man rakt söder ut med 100 km/tim i Haparanda är det i vektoriellt sammanhang samma sak, som att köra rakt söder ut med 100 km/tim i Ystad. Koordinatsystem i planet För att kunna räkna med vektorer på det sätt vi vill analytiskt måste vi införa ett koordinatsystem. Låt v vara en vektor i planet. Ofta, kommer vi att välja den representant för v som har sin startpunkt i origo i ett vanligt rektangulärt koordinatsystem. Koordinaterna för slutpunkten, (v 1,v 2 ), kallas vektorns komponenter. Vi skriver så vektorn som v = (v 1,v 2 ). Två vektorer v och w är identiska då och endast då v 1 = w 1 och v 2 = w 2, då komponenterna är identiska. Räkneoperationer för vektorer i planet. Definition 2. Vi adderar två vektorer v = (v 1,v 2 ) och u = (u 1,u 2 ) genom v+ u = (v 1 +u 1,v 2 +u 2 ) Vi subtraherar två vektorer v = (v 1,v 2 ) och u = (u 1,u 2 ) genom v u = (v 1 u 1,v 2 u 2 ) När vi multiplicerar en vektor v med en skalär k, får vi k v = (kv 1,kv 2 ) Koordinatsystem i rummet Precis som vektorer i planet kan uttryckas med hjälp av två reella tal, kan vektorer i rummet uttryckas med tre reella tal. Vi väljer först en punkt som origo och sedan tre koordinataxlar, genom origo som är parvis vinkelräta. Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Kallar vi axlarna x-axeln, y-axeln och z-axeln, vilket är vanligt, kan vi säga att varje par av koordinataxlar spänner upp ett plan, som i tur och ordning kallas xy-planet, xz-planet och yz-planet. Läget hos en punkt P i rummet kan bestämmas med hjälp av en taltrippel, (x,y,z), som förstås kallas koordinaterna till punkten P. Figur 3: fig 5 Precis som för vektorer i planet fastslår vi nu för vektorer i rummet: Låt v vara en vektor i rummet. Om vi väljer den representant för v som har sin startpunkt i origo, så får slutpunkten koordinaterna (v 1,v 2,v 3 ), vilket vi kallar vektorns komponenter och skriver vektorn som v = (v 1,v 2,v 3 ). Två vektorer v och w är identiska då och endast då v 1 = w 1, v 2 = w 2 och v 3 = w 3 då komponenterna är identiska. Figur 4: Figuren visar att u+ v = v+ u vilket betyder att vektoraddition är kommutativ! Vektorn 0 = (0,0,0) kallas nollvektorn. Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Räkneoperationer för vektorer i rummet Definition 3. Vi adderar två vektorer v = (v 1,v 2,v 3 ) och u = (u 1,u 2,u 3 ) genom v+ u = (v 1 +u 1,v 2 +u 2,v 3 +u 3 ) och subtraherar vektorerna genom v u = (v 1 u 1,v 2 u 2,v 3 u 3 ) När vi multiplicerar en vektor v med en skalär k, får vi k v = (kv 1,kv 2,kv 3 ) En vektors längd och avståndet mellan punkter Sats 1. Längden av en vektor i planet. En vektor v = (v 1,v 2 ) i planet är given. Vektorns längd, skrivs v och bestäms genom v = v 2 1 +v2 2 Sats 2. Längden av en vektor i rummet. En vektor v = (v 1,v 2,v 3 ) i rummet är given. Vektorns längd bestäms genom v = v 2 1 +v2 2 +v2 3 Sats 3. Avståndsformeln. Om P 1 (x 1,y 1,z 1 ) och P 2 (x 2,y 2,z 2 ) är två punkter i rummet är avståndet, d, mellan dessa punkter lika med längden av vektorn med en representant P 1 P 2. Eftersom P 1 P 2 = (x 2 x 1,y 2 y 1,z 2 z 1 ) är d = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 Parallella vektorer Definition 4. Vi säger att vektorerna v och u är parallella, v u, om u kan skrivas som u = t v. Alla vektorer anses vara parallella med nollvektorn 0. Punkten i rummet Varje punkt P i rummet bestäms av en vektor OP, en så kallad ortsvektor för P med avseende på origo O. En punkt i rummet bestäms genom tre koordinater. Vi skriver punkten P = (x,y,z) och motsvarande ortsvektor OP = (x,y,z). Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Normerad vektor Definition 5. En vektor v = (v 1,v 2,v 3 ) har längden v. Vektorn r som bestäms genom r = v ( v = v1 v, v 2 v, v ) 3 v kallas normerad och har samma riktning som v men längden 1. Figur 5: fig 3 Linjärt beroende Med hjälp av de två vektorerna u och v i figur 5 kan vi uttrycka vilken vektor a som helst i planet. Det finns en linjärkombination a = c 1 u+c 2 v där c 1 och c 2 är skalärer. Förutsättningen för att två vektorer v och u i planet ska ha denna egenskap är att de inte är parallella. Två parallella vektorer i planet är linjärt beroende. Vilket betyder att vi kan finna två skalärer λ u och λ v, så att λ u u+λ v v = 0 utan att både λ u = 0 och λ v = 0. För samma resonemang i rummet krävs tre vektorer. Med tre vektorer u, v och w i rummet kan man uttrycka alla vektorer a det finns en linjärkombination a = c 1 u+c 2 v+c 3 w om λ u u+λ v v+λ w w = 0 endast då λ u = λ v = λ w = 0. Då sägs vektorerna vara linjärt oberoende. Tre vektorer i rummet är linjärt oberoende då inte alla tre ligger i samma plan. Definition 6. Linjärt beroende. Vektorerna v 1, v 2... v n, sägs vara linjärt beroende om någon av dem kan skrivas som en linjärkombination av de övriga. Annars sägs de vara linjärt oberoende. Sats 4. Att vektorerna v 1, v 2... v n är linjärt beroende är detsamma som att det finns skalärer λ 1, λ 2...λ n, av vilka minst en är skild från noll sådana att λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +...+λ n v n = 0 Tre eller fler vektorer i planet är alltid linjärt beroende. Fyra eller fler vektorer i rummet är alltid linjärt beroende. Två vektorer i planet kan vara linjärt oberoende. Två eller tre vektorer i rummet kan vara linjärt oberoende Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Exempel Figur 6: Exempel 1. a) Uttryck g med hjälp av a och b b) Uttryck f med hjälp av b och c c) Uttryck e med hjälp av c och d d) Uttryck e med hjälp av f, g och h a) g = a+ b b) f = b c c) e = d c d) e = f g+ h Figur 7: Exempel 2. En kraft F har storleken 60 N. En annan kraft G har storleken 75 N. Vinkeln mellan krafterna är 45. Bestäm resultanten till storlek och riktning. Vi ska alltså ta reda på längden hos OC. Då vi känner sträckorna ON och NC kan vi enkelt bestämma OC med hjälp av Pythagoras sats. Först konstaterar vi att CN = AC sin45. Eftersom AC = 75 får vi CN = 75 1 2. På liknande sätt kan vi så bestämma AN = AC cos45 = 75 1 2. Till sist OC 2 = OC = OC 124.86 ( ) 75 2 ( + 60+ 75 ) 2 2 2 ( 5625 + 60+ 75 ) 2 2 2 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Exempel 3. Bestäm avståndet d, mellan punkterna P 1 = (1,0,5) och P 2 = (3, 2,6). d((1,0,5),(3, 2,6)) = (3 1) 2 +( 2 0) 2 +(6 5) 2 = 4+4+1 = 3 Exempel 4. Bestäm den normerade vektorn r till v = (2,3, 6). Vi startar med att bestämma v v = 2 2 +3 2 +( 6) 2 = 49 = 7 r blir då r = ( 2 7, 3 ) 7, 6 7 Exempel 5. Är vektorerna v = (3,9, 21) och w = ( 4, 12,28) parallella? Det vill säga finns det ett reellt tal t sådant att t v = w? Vi får ett överbestämt ekvationssystem (vi kommer att tala mer om dem längre fram), tre ekvationer med endast en obekant. 3t = 4 9t = 12 21t = 28 För t = 4 3 gäller likheten för alla tre ekvationerna. Vektorerna är visserligen parallella men riktade åt olika håll! Exempel 6. Är u = (1, 2,3), v = (5,6, 1) och w = (3,2,1) linjärt oberoende? Om vi lyckas hitta en uppstättning av λ u, λ v, λ w där alla inte är noll, så att λ u u+λ v v+λ w w = 0 så är vektorerna linjärt beroende. Efter instättning får vi (λ u +5λ v +3λ w, 2λ u +6λ v +2λ w,3λ u λ v +λ w ) = (0,0,0) vilket leder till ekvationssystemet: λ u +5λ v +3λ w = 0 2λ u +6λ v +2λ w = 0 3λ u λ v +λ w = 0 En av många lösningar till ekvationssystemet är λ u = 1, λ v = 1, λ w = 2, vilket alltså betyder att vektorerna är linjärt beroende Håkan Strömberg 7 KTH Syd
Utför polynomdivisionen x 3 2x+1 x 1 Vi ställer upp för en division enligt skolboken x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 2x +1 : x 1 = x 2 +x 1 2x x x +1 x +1 0 Detta kan vara hämtat från en realistisk situation. Man har lyckats gissa sig till en rot x 1 = 1. Genom att dividera ekvationen med (x 1) får vi en andragradsekvation x 2 + x 1 = 0 som vi sedan kan lösa. 1 Addera vektorerna v = (3, 5,6), w = ( 2,7, 8) och u = ( 1, 2,2) 2 Vi har en riktad sträcka som startar i P 1 = (1,3,5) och slutar i P 2 = (1,1,1). Vi söker representanten för motsvarande vektor v, som har sin startpunkt i origo. 3 Placera en kub, med kantlängden 1, med ett hörn i origo och alla kanter parallella med koordinataxlarna. I vilka koordinater kan det hörn som ligger längst från origo befinna sig? Hur lång är kubens, så kallade, rymddiagonal? 4 Välj a så att vektorerna v = (a,2,1) och w = (5,10,5a) blir parallella. 5 Är vektorn v = (2,6,4) dubbelt så lång som u = (1,3,2)? Läxa 1. 4.1 a) Läxa 2. 4.1 b) a+ b = (1,1,0) +(2,2,1) = (3,3,1) a+ b 2 +2 c = (1,1,0)+ 1 (2,2,1)+2(0,1,1) = (1,1,0)+ 2 ( 1,1, 1 ) ( +(0,2,2) = 2,4, 5 ) 2 2 Läxa 3. 4.1 c) Läxa 4. 4.1 d) Läxa 5. 4.1 e) b 2 a = (2,2,1) 2(1,1,0) = (0,0,1) a = b = 1 2 +1 2 +0 2 = 2 2 2 +2 2 +1 2 = 9 = 3 Håkan Strömberg 8 KTH Syd
Läxa 6. 4.1 f) a b = (1,1,0) (2,2,1) = ( 1, 1, 1) = Läxa 7. 4.1 g) Läxa 8. 4.1 h) ^a = a a = 1 ( ) 1 1 (1,1,0) = 2,,0 2 2 ^b = b b = 1 ( 2 3 (2,2,1) = 3, 2 3, 1 ) 3 ( 1) 2 +( 1) 2 +( 1) 2 = 3 Läxa 9. 4.2. Tre vektorer i, j och k all med längden 1 och sinsemellan vinkelräta mot varandra (kommer vi att kunna bevisa senare) kan med fördela användas för att beskriva vilken vektor eller punkt som helst i rummet. Då i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) får vi punkternas koordinater till P = (1,0,0) +3(0,1,0) 7(0,0,1) = (1,3, 7) Q = 5(1,0,0) 2(0,1,0) +4(0,0,1) = (5, 2,4) Vektorn PQ = (5, 2,4) (1,3,7) = (4, 5,11) och dess längd PQ = 4 2 +( 5) 2 +11 2 = 9 2 Den normerade vektorn med samma riktning som PQ ( ) 4 9 2, 5 9 2, 11 9 2 Läxa 10. 4.3. Det tre enhetsvektorerna är i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1). Med dess hjälp kan vi närmare bestämma F1 = 3 i 2 j+5 k = (3, 2,5) F2 = i+7 j 3 k = ( 1,7, 3) F3 = 5 i j+4 k = (5, 1,4) F4 = 2 j+3 k = (0, 2,3) Vi adderar de fyra vektorerna för att få reda på resultanten och kan sedan ta reda på hur långt partikeln har förflyttat sig. F = F1 + F 2 + F 3 + F 4 = (7,2,9) F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = 7 2 +2 2 +9 2 = 134 med beteckningen ^F menar vi den normerade vektorn (har längden 1) med samma riktning som F. ( ) 7 2 9 ^F =,, 134 134 134 Läxa 11. 4.4 a = 3 i 2 j+ k = (3, 2,1) b = 2 i+5 j+4 k = ( 2,5,4) c = 4 i+ j 2 k = ( 4,1, 2) d = 2 i j+4 k = (2, 1,4) Håkan Strömberg 9 KTH Syd
3α 2β 4γ = 2 2α+5β+γ = 1 α+4β 2γ = 4 Detta är ett ekvationssystem med tre obekanta jobbigt att lösa. Vi kommer senare i kursen att berätta mer om ekvationssystem. Nu tar vi Mathematica till hjälp. Solve[{-2*a+5*b+c==-1, a+4*b-2*c==4, 3*a-2*b-4*c==2}] ger svaret Läxa 12. 4.5 α = 4,β = 1,γ = 2 a = 2 i 4 j k = (2, 4, 1) b = 3 i+2 j 2 k = (3,2, 2) c = 5 i 2 j 3 k = (5, 2, 3) Vi testar och ser att a+ b = c Vi beräknar de tre vektorerna längder (2, 4, 1)+(3,2, 2) = (5, 2, 3) a = 2 2 +( 4) 2 +( 1) 2 = 21 b = 3 2 +2 2 +( 2) 2 = 17 c = 5 2 +( 2) 2 +( 3) 2 = 38 Pythagoras sats ger oss a 2 + b 2 = c 2, som leder till 21+17 = 38 och vi har bevisat att de tre vektorerna bildar en rätvinklig triangel. Läxa 13. 4.7 Vi bildar två vektorer P(1, 3,4) Q(2,2,1) R(3,7, 2) PQ = (2,2,1) (1, 3,4) = (1,5, 3) QR = (3,7, 2) (2,2,1) = (1,5, 3) PQ = QR vilket betyder att de tre punkterna ligger på en linje och att avstånden är lika. PQ : QR = 1 Håkan Strömberg 10 KTH Syd
En vektor v definieras i Mathematica med hjälp av en lista. v={3,-1,4} Addition av två vektorer utförs som väntat. Resultatet kan lagras i en tredje variabel, här w. u={0,2,-1} w=u+v Längden av en vektor v kan bestämmas med hjälp av funktionen Norm. Exempel 7. Vilken vektor beskrivs av 2 a b+3 c där a = (2, 1,4), b = (0,3, 1) och c = ( 2, 1,8)? Vi finner svaret genom följande rad i Mathematica 2{2,-1,4}-{0,3,-1}+3{-2,-1,8} Exempel 8. Tre vektorer i planet är linjärt beroende. Det betyder att vi kan uttrycka vektorn a = (3,4) med hjälp av vektorerna b = ( 2,1) och c = (0,7)? Solve[x{-2,1}+y{0,7}=={3,4},{x,y}] Den här gången gick det bra. Betyder det att det alltid går att uttrycka den tredje vektorn som en linjärkombination av de två andra för tre givna vektorer i planet? Nej, om två vektorer, av de tre, är parallella kan inte dessa användas för att uttrycka den tredje om nu inte alla tre är parallella förstås! Exempel 9. Vilken vektor är längst v = (3, 8, 5) eller u = ( 4, 6, 6)? v = {3, 8, 5}; u = {-4, 6, 6}; Norm[v] > Norm[u] Eftersom Mathematica svarar med True, så är v längre än u. Håkan Strömberg 11 KTH Syd
Problem 1. Bestäm x = (x 1,x 2,x 3 ) så att u = v u = 2 a b+ c v = 3 b+ x a Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Svar 1. Först definierar vi den eftersökta vektorn x = (x 1,x 2,x 3 ). Denna följs av definition av de tre vektorerna a, b och c. Dessa fyra vektorer ingår sedan i uttrycken u och v, som ska vara lika. Med hjälp av Solve får vi sedan fram det eftersökta svaret. x={x1,x2,x3}; a={1,-2,0}; b={1,-1,2}; c={0,3,-1}; u=2a-b+c; v=3b+x-a; Solve[u==v,{x1,x2,x3}] Observera att u==v genererar tre ekvationer, alltså ett ekvationssystem med tre obekanta. Den eftersökta vektorn x = ( 1, 1, 9) Problem 2. Skriv en funktion, som tar emot två punkter, P 1 och P 2 och som returnerar vektorn v, för vilken den riktade sträckan P 1 P 2 är en representant. Svar 2. En mycket enkel funktion, som vi i brist på bättre, kallar vektor. Observera underscore-tecknen efter parametrarna. Du vet redan att skrivsättet p2-p1 är ett kortare skrivsätt för {p1[[1]]-p2[[1]],p1[[2]]-p2[[2]],p1[[3]]-p2[[3]]} Funktionen kommer endast att bestå av en rad vektor[p1_,p2_]:=p2-p1 a={3,9,2}; b={5,7,6}; vektor[a,b] Vi har testat funktionen för a och b, som förstås gav resultatet (2, 2,4). Problem 3. Skriv en funktion, som tar emot en punkt, P 1 och en vektor v och som returnerar en punkt, P 2 sådan att P 1 P 2 är en representant för v. Svar 3. En annan, enkel funktion, som förklarar sig själv. punkt2[p_,v_]:=p+v p={1,3,-1}; v={2,-1,0}; punkt2[p,v] Håkan Strömberg 12 KTH Syd
Testen av funktionen returnerar punkten P 2 = (3,2, 1) Problem 4. Bestäm skalärerna c 1 och c 2, så att då u = ( 1,3) och v = (2,0) c 1 u+c 2 v = (2,2) Svar 4. Att uttrycka en vektor med hjälp av ett antal andra, givna vektorer, är ett vanligt återkommande problem. Det är nu inte sagt att det alltid, som här, finns en lösning till problemet. u={-1,3}; v={2,0}; Solve[c1*u+c2*v=={2,2},{c1,c2}] De eftersökta koefficienterna är c 1 = 2 3 och c 2 = 4. Vi återkommer senare till denna typ 3 av problem. Problem 5. Skriv en funktion som tar emot två punkter, P 1 och P 2 och som returnerar den punkt P 3, som utgör mittpunkten till sträckan P 1 P 2. Svar 5. Mittpunkten till sträckan P 1 P 2 är medelvärdet av punkternas koordinater: ((P 1x +P 2x )/2,(P 1y +P 2y )/2,(P 1z +P 2z )/2) Detta åstadkommer vi enkelt med (p1+p2)/2. mittpunkt[p1_,p2_]:=(p1+p2)/2 a={3,7,-1}; b={1,-5,3}; mittpunkt[a,b] Vi har avslutningsvis testat funktionen mittpunkt med två punkter a och b, för vilka resultatet blev (2,1,1). Problem 6. Vektorerna u = (2,1), v = (3,5) och w = (3, 2) är givna. Dela upp w i komposanter parallella med u och v. Bestäm först skalärerna s och t sådana att s u+t v = w Använd sedan s och t för att finna w u och w v. Svar 6. Ett problem som påminner om uppgift 4. När vi fått fram värden på s och t, använder vi dem för att bestämma w u och w v de två komposanterna. u={2,1}; v={3,5}; w={3,-2}; Solve[s*u+t*v==w,{s,t}] wu=3*u; wv=-1*v; Håkan Strömberg 13 KTH Syd
Genom ekvationssystemet får vi s = 3 och t = 1. Dessa tal använder vi sedan för att bestämma w u = (6,3) och w v = ( 3, 5). Problem 7. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att a u+b v = w Då u = (1,2,3), v = (2,0, 2), w = (x,1, 1). Bestäm samtidigt värdena på a och b. Svar 7. Vad kan det bero på att det endast finns ett värde på x, för vilket det finns lösning till ekvationssystemet? En fråga vi kan ställa oss när vi jämför denna uppgift med uppgift 4. Skillnaden är förstås den, att vi här rör oss i rummet. Vi ska lösa ekvationssystemet: u={1,2,3}; v={2,0,-2}; w={x,1,-1}; Solve[a*u+b*v==w,{a,b,x}] a+2b = x 2a = 1 3a 2b = 1 Som lite träning, inför vad som komma skall: Vektorerna u och v ligger i ett plan i rummet. För att det ska vara möjligt att uttrycka w med hjälp av u och v, måste w ligga i samma plan. Detta inträffar då x = 3. För övrigt blir b = 5/4 och a = 1/2. Problem 8. Skriv en funktion som tar emot en vektor, v i planet och som returnerar vektorlängden för v. Svar 8. Vår första version av denna, ofta återkommande, funktion kallar vi norm2. Den fungerar bara för vektorer i planet. Vi återkommer till denna funktion, först med en som endast fungerar i rummet och sedan med en mer generell version. För att ta fram en komponent ur en vektor (eller lista) använder vi indicering, som till exempel v[[1]], vilket tar fram första elementet i listan v eller som här första komponenten i vektorn v. norm2[v_]:=sqrt[v[[1]]^2+v[[2]]^2] norm2[{1,1}] Svaret för testen blir 2 I Mathematica finns förövrigt funktionen Norm, som i fortsättningen blir det kommando vi använder v={1,2,3}; Norm[v] ger svaret 14. Håkan Strömberg 14 KTH Syd
Problem 9. Bestäm λ så att då u = (3, 4), v = ( 1,2) u+λ v = 100 Svar 9. Vi får genast användning av funktionen från förra uppgiften. Den obekanta variabeln λ, får vi genom rotekvationen (3 λ) 2 +(2 4λ) 2 = 100 v = {-1, 2}; u = {3, -4}; Solve[Norm[u + l*v] == 100] Ekvationen har två rötter λ = 11±2 12499 5 Svar till: De fyra korten Vi översätter de fem satserna till lika många pusselbitar Valörbitarna kan endast sättas samman på ett sätt. Färgbitarna likaså. När vi sedan passar in färgkorten över raden av valörkort, finns det även här endast en möjlighet och vi har svaret: hjärterdam, hjärterkung, spaderkung och spaderdam. Håkan Strömberg 15 KTH Syd
Dagens problem: Finn skeppen 4 2 4 4 0 3 2 1 3 6 1 4 2 3 3 1 1 2 3 I figuren ovan till vänster ser vi ett hav bestående av 10 10 rutor. I havet finns ett antal fyrar markerade med cirklar. Inuti cirklarna finns ett tal, som berättar hur många skepp man kan se från fyren. Alla dessa skepp finns i samma rad eller kolumn som fyren. De åtta rutor som maximalt kan omge ett skepp kan aldrig innehålla vare sig ett annat skepp eller en fyr. Alla skepp syns från åtminstone en fyr. Var finns skeppen? Samma fråga för havet till höger i figuren. 1 Det är riktigt, den resulterande vektorn är (0,0,0) 2 v = (1 1,1 3,1 5) = (0, 2, 4) 3 Det finns8möjligheter :(1,1,1), (1,1, 1), (1, 1,1), (1, 1, 1), ( 1,1,1), ( 1,1, 1), ( 1, 1,1), ( 1, 1, 1). Rymddiagonalen är ( 1) 2 +1 2 +( 1) 2 = 3, förstås oavsett vilken av de tre punkterna för det motsatta hörnet man väljer. 4 Som sagt, det är frågan om huvudräkning, och det bör vara enkelt att se att a = 1 5 v = 2 2 +6 2 +4 2 = 48 och u = 1 2 +3 2 +2 2 = 14, då vi ser att Så svaret är nej 2 14 48 Håkan Strömberg 16 KTH Syd