Lösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=

Relevanta dokument
Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.

Innehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1)

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Transformmetoder. Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål

Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

TATA 57/TATA80 18 augusti Lösningar 1) Lösning 1: Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger.

ÖVN 14 - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål

Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

y(0) = e + C e 1 = 1

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer

1. Låt u 0 och v 0 vara tvåvektorer i ett linjärt rum med skalärprodukt. Antag att följande relation gäller mellan längder av vektorer: u = 2 v = 2 3

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Extra övningsuppgifter i Fourieranalys, 2012/13

Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

Tavelpresentation. Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom. Januari 2018

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Repetitionsuppgifter

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom

= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1

Mer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 2012

För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

SF1635, Signaler och system I

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

Transkript:

KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april 28 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser: A 2 poäng, B 9, C 6, D 3, E, Fx. Det finns möjlighet att komplettera betyget Fx inom 4 veckor. Kontakta i så fall Maria Saprykina. Inga hjälpmedel är tillåtna vid tentamen. OBS: För full poäng krävs fullständiga, tydligt presenterade och välmotiverade lösningar som är lätta att följa. Markera dina svar tydligt.. Betrakta rummet C([, ]) (rummet av alla kontinuerliga, komplexvärda funktioner definierade på intervallet [,]) med den inre produkten < f,g >= f(x)g(x)dx. a). LåtW vara delrummet avc([,]) som spänns upp av funktionernau (x) = ochu 2 = x 2. Bestäm en ON-bas för W. b). Låtf(x) = x 3. Bestäm den funktion (vektor) u(x) iw som minimerar f u. Lösning. a). Observera att u = u,u = och låt w (x) = u (x). Vidare, låt w 2 = u 2 Proj u (u 2 ) = x 2 x2 dx = x 2 3 and w 2 = w 2/ w 2 = 3 5 2 (x2 3 ). Då ärw 2 ortogonal mot w, båda vektorerna har norm, alltså bildar paret(w,w 2 ) en ON bas i W. b). Den vektor u(x) iw som minimerar f u är u =Proj W (f) = f,w w + f,w 2 w 2 = x 3 dx+ 45 4 2 (SF683). Finn en lösning y(x) till integralekvationen x 3 (x 2 3 )dx(x2 3 ) = 4 + 5 6 (x2 3 ) = 5 6 x2 6. y(x) = 2e x + x e t+x y(t)dt, x. Tips: Laplacetransform-tabellen ger: L(e at ) =,s > a. s a Lösning. Ekvationen ovan kan skrivas om som y = 2e x +e x y.

2 Laplacetransformering ger:y = 2L(e x )+L(e x )Y däry = L(y). Enligt tabellen,l(e x ) = Detta ger: (s 2)Y = 2, dvs Y = 2. Inverstransformering ger y = s 2 2e2x. 2 (SF629). Bestäm en talföljd (a n ),n =,,..., sådan atta = 2 och a n+ 3a n = 2 n 2 för n =,,... Lösning. Låt A(z) vara Z-transformen av följden (a n ). Z-transform av den rekurrenta formeln a n+ 3a n = 2 n 2,a = 2, blir: za(z) 2z 3A(z) = z z 2 2 z z. Detta ger A(z) = 2z z 3 + z (z 3)(z 2) 2z (z 3)(z ). Partialbråksuppdelning ger: och Därför kan vi skriva: (z 3)(z 2) = z 3 z 2, 2 (z 3)(z ) = z 3 z. A(z) = 2z z 3 + z z 3 z z 2 z z 3 + z z = 2z z 3 z z 2 + z z. Invers Z-tranform ger nu: a n = 2 3 n 2 n +, n =,,... s. 3 a). Beräkna samtliga egenvärden och egenfunktioner till Sturm-Liouvilleproblemet { f +λf =, < x < π, f() = f (π) =. OBS: Motivering av resultatet krävs! Svar utan motivering ger inga poäng. b). Låt (φ k (x)) k= vara egenfunktionerna i a). Är det sant att man kan hitta N och c,...,c n sådana att för funktionen ψ(x) = N k= c kφ k (x) gäller sinx ψ(x) 2 dx <.? p. c). Beräkna p. ( ) 2 π sinx φ k(x)dx φ. k(x) 2 dx k=

Lösning. a). För λ > sätt λ = ω 2, ω >. Ekvationen blir då f + ω 2 f =. Den har den allmänna lösningen Derivering ger f(x) = Acos(ωx)+Bsin(ωx). f (x) = Asin(ωx)+Bcos(ωx). Randvillkoret f() = ger A =, randvillkoret f (π) = ger icke triviala lösningar om cos(ωπ) =. Det sista ger ω = /2 + n där n =,,2,... För alla n =,,2,... har vi alltså egenvärden λ n = (/2+n) 2 med motsvarande egenfunktioner f n = cos(/2+n)x. För λ har randvärdesproblemet ovan bara triviala lösningar (eftersom i dessa fal är den allmänna lösningen antingen en linjär kombination av två exponentiella funktioner eller en linjär funktion; randvärden medför att desa kan bara vara identiskt noll). b). Enligt Sturm-Liouvilles sats, utgör mängden{f n } n= en fullständig ortogonal mängd il 2 (,π). Per definition, betyder detta att för varje ǫ > (speciellt, för ǫ =.) finns det ett N och konstanterc,...,c n sådana att för funktionen ψ(x) = N k= c kφ k (x) gäller sinx ψ(x) 2 = sinx ψ(x) 2 dx <.. c). Enligt Parsevals formel, om (f k ) k= är en fullständig ortogonal mängd i ett inreproduktrum V, så gäller för varje u V : u,fk 2 = f 2. f k 2 I vårt fall ger detta: 3 ( sinx φ k(x)dx φ k(x) 2 dx k= ) 2 = sin(x) 2 dx = π 2. 4 a). Funktionen, x < f(x) = x+2, x 2x 2, x >. definierar en tempererad distribution. Beräkna dess derivata i distributionsmening på två sätt: a). genom att skriva om den i termer av Heaviside funktion och b). direkt per definition. Förkorta ditt svar så långt det går. Lösning. a). Vi kan uttrycka f med hjälp av Heaviside funktion: f(x) = H( x)+(x+2)(h(x) H(x ))+2x 2 H(x ).

4 Derivering ger: f (x) = δ(x)+(h(x) H(x ))+(x+2)(δ(x) δ(x ))+2x 2 δ(x )+4xH(x ) = 3δ(x) 3δ(x )+2δ(x )+(H(x) H(x ))+4xH(x ) = 3δ(x) δ(x )+H(x) H(x )+4xH(x ). Vi har använt formeln φ(x)δ(x a) = φ(a)δ(x a) som gäller för varje testfunktion. b). Per definition av derivatan i distributionsmening, för varje testfunktion gäller:f [φ] = f[φ ]. ( ) f (φ) = f(φ ) = ( )φ (x)dx+ (x+2)φ (x)dx+ x 2 φ (x)dx ( = [φ(x)] +[(x+2)φ(x)] = φ() 3φ()+2φ()+2φ()+ φ(x)dx+[2x 2 φ(x)] 4 φ(x)dx+4 xφ(x)dx = (3δ(x) δ(x )+H(x) H(x )+4xH(x ))[φ(x)]. ) xφ(x)dx Vi har använt partiell integration samt faktum att för varje testfunktionφ(x) gäller:lim x ± x 2 φ(x) =. 5 a). Betrakta funktionen f(t) = { cost, t π,, t > π. Beräkna Fouriertransformen av f. Tips: du kan behöva formeln 2cosacosb = cos(a+b)+cos(a b). b). Använd resultatet i a) för att beräkna integralen ω 2 sin 2 πω (ω 2 ) 2 dω. Lösning. Eftersom e itω = cosωt+isinωt andf(t) är en jämn funktion, for vi: ˆf(ω) = f(ω)e iωt dω = π cost(cosωt+isinωt)dω =2 cosωtcostdω = cos(ωt+t)+cos(ωt t)dω [ sin(ωt+t) = + sin(ωt t) ] π ω + ω [ ] π sin(ωπ +π) sin(ωπ π) = + ω + ω [ sin(ωπ) = ω + + sin(ωπ) ] π = 2ωsin(ωπ) ω ω 2

5 för ω ±. Värden ˆf(±) beräknas separat: ˆf(±) = 2 För att lösa b)., använder vi Plancherels formel Den ger oss: f(t) 2 dt = 2π cos 2 tdω = π. ω 2 sin 2 (ωπ) ( ω 2 ) dω = 2 4 = 4 2π f(t) 2 dt = π 2 π ˆf(ω) 2 dω. ˆf(ω) 2 dω cos 2 tdt = π2 2. 6 a). För en funktion f L 2 (T) låt c n (f) beteckna f:s komplexa Fourierkoefficienter. Antag att f är 2π-periodisk, 2 gånger kontinuerligt deriverbar. Uttryck c n (f ) och c n (f ) genom c n (f) ochn. Motivera! p. b). Använd Fourierseriemetoden för att bestämma alla 2π-periodiska, 4 gånger kontinuerligt deriverbara funktioner som uppfyller 2p. y (t) = 4y(t π/2), t R. c). Ge en kortfattat beskrivning (2-4 meningar) av Gibbs fenomenet (beskrivningen skall vara riktad till en person som kan definitionen av Fourierserier). p. Lösning. a). Man kan visa att c n (f ) = inc n (f), c n (f ) = n 2 c n (f); bevis se sid. 84-85 i boken. b). Eftersom både y, y och y är 2 gånger kontinuerligt deriverbara, så konvergerar deras Fourierserier till motsvarande funktioner i alla punkter. Representera y(t) i Fourierserie: y(t) = n= c ne int. Då har vi y (t) = n= n2 c n e int. Ekvationen ger: n 2 c n e int = 4 c n e in(t π/2) = c n ( i) n e int, n= n= n= i det sista steget använde vi relationen e iπ/2 = i. Jämförelse av koefficienter vid samma grad ave int ger för varje n Z: n 2 c n = 4( i) n c n c n (n 2 +4( i) n ) =. För varje fixerad n innebär detta att antingen c n =, eller n 2 + 4( i) n = och c n får väljas godtyckligt. Relationenn 2 +4( i) n = är uppfylld om och endast omn = ±2. Alltså beskrivs alla lösningar till ekvationen ovan av formeln därc ±2 är godtyckliga konstanter. y = c 2 e 2it +c 2 e 2it

6 c). Gibbs fenomenet beskriver beteendet av partiella summor av Fourierserien till en styckvis kontinuerligt deriverbar funktion kring diskontinuitetspunkter. Det visar sig att partiella summorna S n konvergerar, men har en viss överslag, vars absolutbelopp är större än någon konstant för alla n.