Ur en kortlek på 52 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för att få

Relevanta dokument
Tentamen TEN1, HF1012, 29 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

aug 2017 Kurskod HF1012 Halilovic internet. Betygsgränser: För (betyg Fx). Sida 1 av 13

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

M/M/m/K kösystem. M/M/m/K kösystem

TENTAMEN Datum: 14 feb 2011

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 19 nov 07

TENTAMEN I KOTEORI 20 dec 07 Ten2 i kursen HF1001 ( Tidigare kn 6H3012), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK,

Uppgift 2) Datum: 23 okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H3000

Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00

Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00

Uppgift 2. För två händelser A och B gäller P(A B)=0.5, P ( A ) = 0. 4 och P ( B

Tentamen TEN1, HF1012, 16 aug Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

TENTAMEN. Matematik och matematisk statistik 6H3000/6L3000

Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare.

Betygsgränser: För. Skriv endast på en. Denna. Uppgift. 1. (2p) 2. (2p) Uppgift. Uppgift 1) 4. Var god. vänd.

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

(a) på hur många sätt kan man permutera ordet OSANNOLIK? (b) hur många unika 3-bokstavskombinationer kan man bilda av OSANNO-

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

TENTAMEN Datum: 12 mars 07. Kurs: MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6A2111 TEN 2 (Matematisk statistik )

b) (2p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen Uppgift 3. ( 4 poäng) a ) (2p) Lös följande differentialekvation ( y 4) y

Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 3 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik,

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik,

1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar.

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

cx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.

Tentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Ett M/M/1 betjäningssystem har följande egenskaper: 1. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde 1 μ

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Uppgift 1. (3p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( x) c) Bestäm inversen till funktionen h ( x)

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Tentamen i Linjär algebra, HF1904 Datum: 17 dec 2018 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Lösningsförslag till Tillämpad matematisk statistik LMA521, Tentamen

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Tentamen i Dataanalys och statistik för I den 28 okt 2015

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

TENTAMEN HF1006 och HF1008

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

TENTAMEN HF1006 och HF1008

KONTROLLSKRIVNING 2 Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 14 apr 2014 Skrivtid: 13:15-15:00

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Matematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik

Avd. Matematisk statistik

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Uppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1

KONTROLLSKRIVNING 3. Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic

Betygsgränser: För (betyg Fx).

TENTAMEN Datum: 16 okt 09

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

Fö relä sning 1, Kö system vä ren 2014

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Fö relä sning 1, Kö system 2015

P =

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

2. En vanlig kortlek består av 52 kort, varav 13 i varje färg. En pokerhand består av 5 kort.

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Avd. Matematisk statistik

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6H3011 TEN

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012

Kunna använda Littles sats för enkla räkningar på kösystem.

Transkript:

Tentamen TEN, HF, aug 9 Matematisk statistik Kurskod HF Skrivtid: 8:-: Lärare och examinator : Armin Halilovic Hjälmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken ty som helst Förbjudna hjälmedel: Telefon, lato och alla elektroniska medel som kan kolas till internet Skriv namn och ersonnummer å varje blad Denna tentamensla får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt oäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,,, 6 resektive oäng Komlettering: oäng å tentamen ger rätt till komlettering (betyg Fx) Ugift () Bara för dem som inte klarat ks En kortlek med 5 kort består av fyra färger ( hjärter, sader, klöver, ruter) och valörer: ess,,,, 5, 6, 7, 8, 9,, knekt, dam, kung Ur en kortlek å 5 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumvis 5 kort Vad är sannolikheten för att få a) exakt en trea, två femmor och två nior : {, 5, 5, 9, 9} b) tre åttor och två nior c) ett ar och en triss ( t ex 6,6, 7,7,7 eller 5,5,,, och liknande) Ugift () Bara för dem som inte klarat ks Den stokastiska variabeln X har täthetsfunktionen ( frekvensfunktionen ) kx, < x < f ( x) för övrigt Bestäm Sida av

a) arametern k b) väntevärdet för X c) sannolikheten P ( X ) Ugift () Bara för dem som inte klarat ks Ett kösystem med max kunder kan modelleras som en födelse-dödsrocess vars diagram är 5 5 a) () Beräkna b) () Beräkna medelantal kunder i systemet Ugift () Ett nytt test av blod ger ositivt utslag i 98% av fallen för smittat blod och negativt utslag i 95% av fallen för osmittat blod Av erfarenhet vet man att cirka % av alla rover som genomförs har smittat blod Vad är sannolikheten att ett blodrov som har gett ositivt utslag verkligen är smittat? Ugift 5 () Vid en automatförackning av kex laceras dessa intill varandra mellan två stöd, där stödavståndet är cm Tjockleken hos kexen kan anses N(, 5) Vad är sannolikheten att kexaketet innehåller åtminstone kex Ugift 6 () Vid tillverkning av kolvar och cylindrar kan diametern för en viss ty av kolv betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8 mm och standardavvikelsen mm För cylindrarna kan hålets diameter betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8 mm och standardavvikelsen 5 mm En cylinder anses assa till en kolv om hålets diameter är större än kolvens diameter och om skillnaden ej överstiger 5 mm Hur stor är sannolikheten att kolven assar till cylindern vid ett slummässigt val? Ugift 7 () En forskare gjorde 6 mätningar av en variabel X och fick följande resultat X: 5 7 8 Bestäm ett konfidensintervall för medelvärdet med konfidensgrad 95% (Vi antar att X är normalfördelad) Sida av

Ugift 8 (7) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M// ( betjänare och kölats) Ankomstintensiteten är λ kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ kunder/minut Bestäm: a) () sannolikheterna,, b) () λ eff (den effektiva intensiteten) c) () medelantar kunder i systemet N d) () medel väntetid W för en kund i detta system e) () belastning er betjänare f) () sannolikheten att en kund avvisas Ugift 9 () Vi betraktar ett könät som består av två M/M/ kösystem (se Fig 9) Betjänaren i kösystem har betjäningsintensitet µ 5 kunder er minut, medan betjänaren i kösystem har betjäningsintensitet µ kunder er minut Nya kunder kommer Poissonfördelade till kösystem med intensiteten λ kunder er minut 8 % av kunder lämnar nätet efter betjäning i kösystem men % fortsätter till kösystem % av de kunder som hamnar i kösystem lämnar systemet medan 9 % går tillbaka till kösystem (se Fig 9) Beräkna medelantal kunder i nätet (dvs kunder i kösystem+ kunder i kösystem) Fig 9 9% λ Kösystem µ % Kösystem µ % 8% Sida av

FACIT Ugift () Bara för dem som inte klarat ks En kortlek med 5 kort består av fyra färger ( hjärter, sader, klöver, ruter) och valörer: ess,,,, 5, 6, 7, 8, 9,, knekt, dam, kung Ur en kortlek å 5 kort väljer man ( utan återläggning och utan hänsyn till ordning) slumvis 5 kort Vad är sannolikheten för att få a) exakt en trea, två femmor och två nior : {, 5, 5, 9, 9} b) tre åttor och två nior c) ett ar och en triss ( t ex 6,6, 7,7,7 eller 5,5,,, och liknande) a) Vi kan välja bland treor å sätt; bland femmor å sätt och bland nior å sätt Därmed är antalet alla gynnsamma fall g Å andra sidan för alla möjliga fall har vi; antalet sätt att välja 5 bland 5 är NN 5 ( 59896 ) 5 Därför är sannolikheten lika med g P 55 N 5 59896 5 g b) P 966 N 5 59896 89 5 7 6 c) P 576 5 59896 65 5 Svar: Se ovan Rättningsmall: för varje del Rätt eller fel Sida av

Ugift () Bara för dem som inte klarat ks Den stokastiska variabeln X har täthetsfunktionen ( frekvensfunktionen ) kx, < x < f ( x) för övrigt Bestäm a) arametern k b) väntevärdet för X c) sannolikheten P ( X ) x a) kx dx k k k b) E( X ) x x dx x dx 5 x 8 5 c) P ( X ) x x dx 6 6 Svar: a) k b) 8 5 c) 6 Rättningsmall: för varje del Rätt eller fel Ugift () Bara för dem som inte klarat ks Ett kösystem med max kunder kan modelleras som en födelse-dödsrocess vars diagram är 5 5 a) () Beräkna b) () Beräkna medelantal kunder i systemet Sida 5 av

Först uttrycker vi som funktioner av : λ 5 µ 5 (*) λ λ 5 µ µ 5 λ λ λ 5 µ µ µ 5 För att bestämma substituerar vi (*) i villkoret + + + Vi får + 5 + + Härav 57 och därför 7585965 5 7 Vi har beräknat sannolikheter k : 85969 5 58779 58779 7585965 Med hjäl av (*) är det nu enkelt att beräkna alla andra b) Medelantal kunder i systemet N + + + 565 Svar: a) ( )( 7585965, 85969, 58779, 58779) b) N 565 Rättningsmall: a) för om är korrekta Ugift () b) om b är korrekt Ett nytt test av blod ger ositivt utslag i 98% av fallen för smittat blod och negativt utslag i 95% av fallen för osmittat blod Av erfarenhet vet man att cirka % av alla rover som genomförs har smittat blod Vad är sannolikheten att ett blodrov som har gett ositivt utslag verkligen är smittat? Sida 6 av

Låt S vara händelsen att blodrovet verkligen är smittat Låt O vara händelsen att blodrovet verkligen är osmittat Låt POS vara händelsen att blodrovet ger ositivt utslag Låt NEG vara händelsen att blodrovet ger negativt utslag Blod smittat osmittat 99 ositivt utslag 98 negativt utslag ositivt utslag 5 negativt utslag 95 Då gäller: Den totala sannolikheten för ositivt utslag är POS) S) POS S) + O) POS O) 98 + 99 5 59 POS S) S) POS S) 98 Härav P ( S POS) 65688 POS) POS) 59 Svar: 65688 Rättningsmall: för den totala sannolikheten P ( POS) 59 + om för korrekta formeln POS S) S POS) POS) om allt är korrekt Ugift 5 () Vid en automatförackning av kex laceras dessa intill varandra mellan två stöd, där stödavståndet är cm Tjockleken hos kexen kan anses N(, 5) Vad är sannolikheten att kexaketet innehåller åtminstone kex Låt X k vara längden av kex som står å lats k och Sida 7 av

η X + X + + X Då gäller ηη NN( ; 5 ), d v s ηη NN(; 5 ) Kexaketet innehåller åtminstone kex om ηη P ηη ) FF() ΦΦ ΦΦ(6) 757 5 Rättningsmall: för korrekt till ηη NN(; 5 ) + för korrekt till P ηη ) ΦΦ 5 om allt är korrekt Ugift 6 () Vid tillverkning av kolvar och cylindrar kan diametern för en viss ty av kolv betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8 mm och standardavvikelsen mm För cylindrarna kan hålets diameter betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärdet 8 mm och standardavvikelsen 5 mm En cylinder anses assa till en kolv om hålets diameter är större än kolvens diameter och om skillnaden ej överstiger 5 mm Hur stor är sannolikheten att kolven assar till cylindern vid ett slummässigt val? Vi inför följande stokastiska variabler: X diameter av en cylinder, Y diametern av en kolv Enligt antagandet X N(8; 5) och Y N(8; ) Låt ZX Y Då gäller Z X Y N (; 5 + ) dvs Z N(; 8) 5 P ( Z 5) F(5) F() Φ( ) Φ( ) Φ(67) Φ( ) 8 8 955 589 Svar:,85 Rättningsmall: för korrekt till Z N(; 8) 5 + för korrekt till P ( Z 5) Φ( ) Φ( ) 8 8 om allt är korrekt Ugift 7 () En forskare gjorde 6 mätningar av en variabel X och fick följande resultat X: 5 7 8 Sida 8 av

Bestäm ett konfidensintervall för medelvärdet med konfidensgrad 95% (Vi antar att X är normalfördelad) x x + x + + xn 9/6 8 n variansen s n n i ( x i x) ((5 8) + + (88 8) ) 896666666 5 s Variansen 9595 Från formelsamling (sidan 6 rad n- 6-5 har vi t 575886 α / Konfidensintervall: σ σ x tα /, x + tα / ) (9, 76) n n ( Svar: (9, 76) Rättningsmall: a) + för x + för σ om allt är korrekt Ugift 8 (7) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M// ( betjänare och kölats) Ankomstintensiteten är λ kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ kunder/minut Bestäm: Sida 9 av

a) () sannolikheterna,, b) () λ eff (den effektiva intensiteten) c) () medelantar kunder i systemet N d) () medel väntetid W för en kund i detta system e) () belastning er betjänare f) () sannolikheten att en kund avvisas a) Med hjäl av teorin för födelsedödsrocesser har vi följande relationer mellan de stationära sannolikheterna k och : Vi har Sida av

λ µ 88 µ µ λ λ λλλ å liknande sätt, och 8 µ µ µ För att bestämma substituerar vi ovanstående relationer i ekvationen + + + + och får 7 Härav 9599 (65/657 ) Substitutionen i (*) ger 5/657 6759 8/657 76758 /657 96567 5/657 7676857 b) Först λ särr (enligt formelblad för M/M/m/K kösystem) λ λ 7676857 8 särr kmax Nu λ eff λ λ 97575576 särr c) Medelantal kunder i systemet, N bestämmer vi med hjäl av den allmänna formeln för medelvärdet av en diskret stokastisk variabel: N + + + 5568 + d) Från Littles formel N λ eff T har vi N T 8968779 min λ eff x µ min T W + x W T x W 8968779 min dva: medel väntetid för en kund i detta system är W 8968779 min e) Littles formel: N s λ eff x 97575576 N s N s Belastning er betjänare 65858587 m f) Sannolikheten att en kund avvisas 7676857 Sida av

Svar: Se ovan Rättningsmall: a) för b-f rätt eller fel Ugift 9 () Vi betraktar ett könät som består av två M/M/ kösystem (se Fig 9) Betjänaren i kösystem har betjäningsintensitet µ 5 kunder er minut, medan betjänaren i kösystem har betjäningsintensitet µ kunder er minut Nya kunder kommer Poissonfördelade till kösystem med intensiteten λ kunder er minut 8 % av kunder lämnar nätet efter betjäning i kösystem men % fortsätter till kösystem % av de kunder som hamnar i kösystem lämnar systemet medan 9 % går tillbaka till kösystem (se Fig 9) Beräkna medelantal kunder i nätet (dvs kunder i kösystem+ kunder i kösystem) Fig 9 9% λ Kösystem µ % Kösystem µ % 8% Låt λ och λ beteckna de effektiva intensiteterna till första och andra kön Då gäller: λ λ + 9λ λ λ λ + 9λ dvs λ λ som ger λ + 8λ Härav 8λ dvs λ 5 kunder/min Härav λ λ kunder/min Enligt antagandet har vi µ 5 kunder/min och µ Eftersom λ 5 ρ har vi µ 5 ρ / N ρ / Sida av

λ På samma sätt ρ och µ ρ / N ρ / Slutligen 5 N N + N + 6 5 Svar: N 6 λ λ + 9λ Rättningsmall: för korrekta systemet λ λ + för korrekta λ och λ + för medelantal kunder i en kö N eller N Allt korrekt Sida av