Lebesgueintegralen. Bengt Ove Turesson oktober Matematiska institutionen, Linköpings universitet, SE Linköping, Sverige

Lebesgueintegralen Bengt Ove Turesson 25 oktober 2009 Matematiska institutionen, Linköpings universitet, SE-58 83 Linköping, Sverige

Förord Föreliggande kompendium innehåller en kortfattad introduktion till lebesgueintegralen för funktioner på R d. Den framställning, som jag använder, går tillbaka till Young, Daniell, Riesz, Stone m.fl., och bygger på man först definierar integralen och sedan måttet (den omvända ordningen är vanligast i litteraturen). Arbetet pågår fortfarande, så kompendiet innehåller några luckor. En konvention, som kan vara värd att nämna, är att jag ofta i inledningen till ett kapitel samlar några av de beteckningar och förutsättningar som används inom kapitlet; jag gör så för att slippa att behöva upprepa detta i satser, lemman etc. Bengt Ove Turesson Linköping 25 oktober 2009 i

Innehåll Förord i Trappstegsfunktioner. Intervall och trappstegsfunktioner.....................2 Integralen av en trappstegsfunktion................... 2.3 Två tekniska resultat........................... 2 2 Riemannintegralen 4 2. Definitionen av riemannintegralen.................... 4 2.2 Egenskaper hos riemannintegralen................... 5 2.3 En klass av riemannintegrerbara funktioner.............. 7 2.4 Ett integrabilitetskriterium....................... 7 2.5 Ofullständighetsresultat......................... 8 3 Lebesgueintegralen 9 3. Överintegralen.............................. 9 3.2 En seminorm............................... 9 3.3 Nollfunktioner och nollmängder..................... 0 3.4 Lebesgueintegralen............................ 3.5 Rummet L (R d )............................. 2 3.6 Egenskaper hos lebesgueintegralen................... 2 3.7 Jämförelse med riemannintegralen................... 3 4 Konvergenssatser 4 4. Beppo Levis sats om monoton konvergens............... 4 4.2 Fatous lemma............................... 5 4.3 Lebesgues sats om dominerad konvergens............... 5 5 Mätbarhet och mått 7 5. Mätbara funktioner............................ 7 5.2 Egenskaper hos mätbara funktioner................... 8 5.3 Mätbara mängder............................ 9 5.4 Egenskaper hos och exempel på mätbara mängder.......... 9 5.5 Mer om mätbarhet för funktioner.................... 20 5.6 Integration över mätbara mängder................... 2 5.7 Mått.................................... 2 6 Karakterisering av riemannintegrerbara funktioner 24 7 Integration av komplexvärda funktioner 25 8 Parameterintegraler 26 8. Ett inledande exempel.......................... 26 8.2 En kontinuitetssats............................ 26 8.3 En derivationssats............................ 27 iii

iv INNEHÅLL 9 L p -rum 29 9. Definitionen av L p (E).......................... 29 9.2 Den aritmetiska-geometriska olikheten................. 29 9.3 Hölders olikhet.............................. 30 9.4 Minkowskis olikhet............................ 30 9.5 Riesz sats................................. 3 9.6 Approximation med trappstegsfunktioner............... 32 9.7 Translation i L p............................. 32 0 Upprepad integration 34 0. Fubinis sats................................ 34 0.2 Tonellis sats................................ 35 0.3 Minkowskis olikhet för integraler.................... 36 0.4 Tensorprodukten............................. 36 Faltning 38. Linjära variabelbyten........................... 38.2 Grundläggande egenskaper hos faltningar............... 39.3 Youngs olikhet.............................. 40.4 Regularitetsegenskaper hos faltningar.................. 40 2 Regularisering 42 2. Approximativa identiteter........................ 42 2.2 Ett täthetsresultat............................ 43 2.3 Exempel.................................. 43 3 Variabelbyte 44 3. Nollmängders bevarande......................... 44 3.2 Variabelbyte för kontinuerliga funktioner................ 44 3.3 Satsen om variabelbyte.......................... 46 4 Derivation av integraler 47 4. Övningar................................. 47. Det utvidgade reella talsystemet.................... 48.2 Regelfunktioner.............................. 48

Kapitel Trappstegsfunktioner I det första kapitlet som definierar vi begreppet trappstegsfunktion och integralen av en sådan funktion. Vi bevisar också några enkla egenskaper för detta integralbegrepp och avslutar kapitlet med två svårare resultat som behövs i senare kapitel... Intervall och trappstegsfunktioner Definition... Ett d-dimensionellt intervall är en mängd i R d på formen I = J... J d, där varje J k är ett endimensionellt, begränsat intervall. Intervallen J k kan vara öppna, slutna eller halvöppna; även intervall, som består av en enda punkt, är tillåtna. Måttet m(i) av I är talet m(i) = J... J d, där J k betecknar längden av intervallet J k. Definition..2. En funktion φ : R d R kallas en trappstegsfunktion om det finns ändligt många, parvis disjunkta d-dimensionella intervall I j sådana att (i) φ är konstant på varje intervall I j, (ii) φ(x) = 0 för x R d j I j. Vi betecknar mängden av alla trappstegsfunktioner med T och mängden av ickenegativa trappstegsfunktioner med T +. Man ser lätt att T är ett vektorrum, d.v.s. om φ, ψ T, gäller det att αφ + βψ T för alla α, β R. Vi förser T med den naturliga partialordningen: vi skriver φ ψ om φ(x) ψ(x) för varje x R d. Med denna partialordning är T ett lattice: Om φ, ψ T, så är φ ψ T och φ ψ T, där φ ψ = max{φ, ψ} och φ ψ = min{φ, ψ}. Härav följer att φ = φ ( φ) T om φ T. Definition..3. Den karakteristiska funktionen χ E för en mängd E R d definieras genom { om x E χ E (x) = 0 om x / E. Med hjälp av karakteristiska funktioner kan en trappstegsfunktion φ skrivas φ = j c j χ Ij, där c j är värdet för φ på I j. Lägg märke till att en trappstegsfunktion har (oändligt) många sådana framställningar.

2 Kapitel Trappstegsfunktioner.2. Integralen av en trappstegsfunktion Definition.2.. Integralen av en trappstegsfunktion φ = j c jχ Ij är talet φ dx = c j m(i j ). j Vi övertygar oss härnäst om att värdet på integralen av en trappstegsfunktion inte beror på vilken framställning av funktionen som man använder. Sats.2.2. Integralen av en trappstegsfunktion är oberoende av framställningen av funktionen. Bevis. Antag att φ = j c jχ Ij = k c k χ I k är två framställningar av en trappstegsfunktion φ. Vi sätter då a j,k = c j = c k om I j I k och a j,k = 0 för övrigt. Då är φ = j k a j,kχ Ij I k och a j,k m(i j I k ) = c j m(i j I k ) = c j m(i j ). j j j k På liknande sätt visar man att dubbelsumman är lika med k c k m(i k ). Sats.2.3. Antag att φ, ψ T. Då gäller följande: (a) (αφ + βψ) dx = α φ dx + β ψ dx för alla α, β R; (b) φ dx φ dx; (c) om φ ψ, är φ dx ψ dx. Lägg märke till att integralen definierar en avbildning : T R. I satsen innebär (a) att är linjär och (c) att är monoton; egenskapen (b) kallas triangelolikheten. Bevis. Triangelolikheten är bara en omskrivning av samma olikhet för summor. Även linjäriteten och monotoniteten hos integralen följer av motsvarande egenskaper för summor om man som i beviset av sats.2.2 förfinar intervallen i framställningarna av φ och ψ genom att bilda snitt av de ingående intervallen. k.3. Två tekniska resultat Lemma.3.. Om φ n T, n =, 2,..., och φ n 0, så gäller att φ n dx 0. Här betyder φ n 0 att φ n (x) avtar mot 0 för varje x R d. Bevis. Antag att φ = 0 utanför ett slutet intervall I och att φ M. Låt sedan E I vara mängden av punkter där någon funktion φ n är diskontinuerlig. Givet ett godtyckligt ε > 0 täcker vi E med ett uppräkneligt antal öppna intervall I k med k m(i k) < ε. Låt nu x I E. Eftersom φ n (x) 0, finns det ett tal n = n(x) sådant att φ n (x) < ε. Då vidare φ n är kontinuerlig i x är φ n konstant i ett öppet intervall J(x) som innehåller x.

.3. Två tekniska resultat 3 Samlingen av alla intervall I k och J(x) utgör en öppen övertäckning av I. Då I är kompakt kan vi därför hitta ändligt många intervall I,..., I r och J(x ),..., J(x s ) som täcker I. Antag att n max{n(x )..., n(x s )}. Om φ n = j c j,nχ Ij,n, är φ n dx = j c j,n m(i j,n ) = j cj,n m(i j,n ) + j cj,n m(i j,n ) < εm(i) + Mε, där betecknar summan över alla j sådana att I j,n J(x i ) för något i s och summan över återstående j. Detta visar att φ n dx 0 eftersom ε var godtyckligt. Sats.3.2. Antag att φ, φ n T, n =, 2,..., och att φ φ n. Då gäller att φ dx φ n dx. Bevis. Eftersom φ, φ n T kan vi antaga att φ 0 och φ n 0 för varje n. Vi definierar nu ψ N = min { φ, N φ n} för N =, 2,.... Då gäller att ψn T för varje N. Vidare gäller att ψ N φ och därmed att φ ψ N 0. Sats.2.3 och lemma.3. ger därför att φ dx ψ N dx = (φ ψ N ) dx 0, d.v.s. att ψ N dx φ dx. Härav följer att φ dx = lim N = ψ N dx lim N φ n dx. N φ n dx = lim N N φ n dx

Kapitel 2 Riemannintegralen I följande kapitel definierar vi riemannintegralen av en begränsad funktion på ett intervall i R d. Vi kommer inte att använda riemannintegralen för att definiera lebesgueintegralen; avsikten med det här kapitlet är att visa att de båda integralerna kan definieras på ett enhetligt sätt. Vår framställning av riemannintegralen skiljer sig en del från de som brukar användas i analysböcker. I sats 2.4. visar vi dock att vår definition ger samma integral som de vanliga definitionen. Nedan betecknar I R d genomgående ett slutet och begränsat intervall. Vi låter vidare B(I) beteckna mängden av begränsade funktioner på I och T(I) mängden av trappstegsfunktioner som är 0 utanför I. 2.. Definitionen av riemannintegralen Om f B(I), är M f M för någon konstant M 0. Det finns då trappstegsfunktioner φ, ψ T(I) sådana att φ f ψ, nämligen de funktioner som ges av φ = M respektive ψ = M på I. Detta visar att följande definitioner är meningsfulla. Definition 2... Om f B(I), definierar vi underintegralen f dx respekti- # ve överintegralen # f dx av f genom # f dx = sup T(I) φ f φ dx och Beviset för följande lemma lämnas som övning. # f dx = Lemma 2..2. Antag att f, g B(I). Då gäller följande: (a) # αf dx = α # f dx för varje α R; (b) # f + g dx # f dx + # g dx; (c) om f g, är # f dx # g dx; (d) om f T(I), är # f dx = f dx. inf f ψ T(I) I lemmat innebär (a) och (b) att # dx är en seminorm på B(I). ψ dx. Exempel 2..3. Antag att f B(I). Då följer det f χ I f, där vi använder beteckningen f = sup x I f(x) för supremumnormen för f. Av (c) och (d) i lemma 2..2 följer det nu att # f dx f m(i). Definition 2..4. En funktion f B(I) säges vara riemannintegrerbar om det finns en följd (φ n ) T(I) sådan att # lim f φ n dx = 0. Mängden av riemannintegrerbara funktioner betecknas med R(I). 4

2.2. Egenskaper hos riemannintegralen 5 En funktion är alltså riemannintegrerbar om den kan approximeras godtyckligt väl med trappstegsfunktioner med avseende på den seminorm som ges av överintegralen. Man ser direkt att villkoret i definitionen är ekvivalent med följande villkor: För varje ε > 0 finns det en funktion φ T(I) sådan att # f φ dx < ε. Antag att f är riemannintegrerbar och att (φ n ) T(I) är som i definitionen. Då är följden ( φ n dx) en cauchyföljd: φ m dx # φ n dx φ m φ n dx = φ m φ n dx # # φ m f dx + f φ n dx 0 då m, n. Alltså existerar gränsvärdet lim φn dx. I själva verket får man samma gränsvärde för varje följd som konvergerar mot f med avseende på överintegralen. Om (ψ n ) T är en annan sådan följd, gäller nämligen enligt triangelolikheten i lemma 2..2 att # # # φ n dx ψ n dx = (φ n f) dx φ n f dx + f ψ n dx 0, så följderna ( φ n dx) och ( ψ n dx) har samma gränsvärde. Definition 2..5. För f R(I) definierar vi f dx = lim I φ n dx, T(I) är någon följd som konvergerar mot f med avseende på över- där (φ n ) integralen. Om φ T(I), så är φ riemannintegrerbar och integralen av φ stämmer överens med den tidigare definitionen; följden φ = φ 2 =... = φ konvergerar ju självklart mot φ med avseende på överintegralen. 2.2. Egenskaper hos riemannintegralen Vi bevisar nu några av de vanliga egenskaperna hos riemannintegralen. Sats 2.2.. Antag att f, g R(I). Då gäller följande: (a) αf + βg R(I) och I (αf + βg) dx = α I f dx + β g dx för alla α, β R; I (b) f R(I), I f dx = # f dx och I f dx f dx; I (c) om f g, är I f dx I g dx.

6 Kapitel 2 Riemannintegralen Bevis. Antag att φ n T(I) och ψ n T(I) konvergerar mot f respektive g. (a) Triangelolikheten för överintegralen ger att # # # (αf + βg) (αφ n + βψ n ) dx α f φ n dx + β g ψ n dx, vilket visar att αφ n + βψ n konvergerar mot αf + βg, så αf + βg är riemannintegrerbar. Linjäriteten hos integralen på T(I) visar nu att (αf + βg) dx = lim (αφ n + βψ n ) dx = α f dx + β g dx. I (b) Eftersom f φn f φn gäller att # f φn dx # f φ n dx, I I vilket visar att φ n T(I) konvergerar mot f och därför att f R(I). Låter vi nu n i olikheten # # # # # φ n dx φ n f dx f dx f φ n dx + φ n dx, som följer från triangelolikheten för överintegralen, och utnyttjar att # φ n dx = φ n dx f dx, följer det att I f dx = # f dx. Till sist är f dx = lim φ n dx lim I I I φ n dx = I f dx. (c) Sätt h = f g. Då gäller att h 0 och η n = ψ n φ n konvergerar mot h. Härav följer att h dx = h dx = lim η n dx 0, vilket bevisar påståendet. Sats 2.2.2. Om (f n ) och I I R(I) konvergerar likformigt mot f B(I), är f R(I) f dx = lim f n dx. I Bevis. Låt ε vara godtyckligt. För varje f n finns det en funktion φ n T(I) med # fn φ n dx < ε. Vidare finns det ett heltal N sådant att f f n < ε för varje n N. Härav följer att # # # f φ n dx f f n dx + f n φ n dx < (m(i) + )ε I om n N. Alltså gäller att f R(I). Det andra påståendet i satsen följer av att f dx f n dx f f n dx m(i) f f n. I I I

2.3. En klass av riemannintegrerbara funktioner 7 2.3. En klass av riemannintegrerbara funktioner Sats 2.3.. Varje kontinuerlig funktion på I är riemannintegrerbar. Bevis. Låt f vara kontinuerlig på I. Från sats 2.2.2 följer det att det räcker att visa att det för varje ε > 0 finns en trappstegsfunktion φ sådan att f φ < ε. Eftersom I är kompakt, är f likformigt kontinuerlig på I. För ett givet ε > 0 finns det därför ett δ > 0 sådant att f(x) f(y) < ε om x, y I och x y < δ. Dela nu in I i ett ändligt antal disjunkta intervall I j sådana att diam(i j ) < δ för varje j och sätt φ(x) = inf y Ij f(y) för x I j. Då är φ T(I) och f φ ε. 2.4. Ett integrabilitetskriterium Nästa sats visar att vår definition av riemannintegralen stämmer överens med en av dem, som brukar användas i analysböcker, nämligen att över- och underintegralen är lika. Sats 2.4.. En funktion f B(I) är riemannintegrerbar om och endast om # f dx = # f dx. Bevis. Antag först att f är riemannintegrerbar. För ett godtyckligt ε > 0 finns då en trappstegsfunktion φ T(I) sådan att # f φ dx < ε. Vidare finns en funktion ψ T(I) sådan att f φ ψ och ψ dx < ε. Eftersom φ ψ f φ+ψ, följer nu att # 0 f dx # f dx (φ + ψ) dx (φ ψ) dx = 2 Eftersom ε var godtyckligt visar detta att # f dx = # f dx. ψ dx < 2ε. Antag därefter att # f dx = f dx. För ett givet ε > 0 kan vi då hitta # funktioner φ, ψ T(I) sådana att φ f ψ och ψ dx φ dx < ε. Eftersom vidare f φ = f φ ψ φ, följer härav att # f φ dx (ψ φ) dx < ε. Exempel 2.4.2. Dirichlets funktion f på [0, ] ges av f(x) = { om x [0, ] är rationellt 0 om x [0, ] är irrrationellt. Eftersom både de rationella och de irrationella talen är täta i [0, ] är det klart att # f dx = och f dx = 0. Alltså är f inte riemannintegrerbar. #

8 Kapitel 2 Riemannintegralen 2.5. Ofullständighetsresultat Nästa exempel visar att C(I) (rummet av kontinuerliga funktioner på I) är ofullständigt med normen f = f dx. Man kan i själva verket visa att även R(I) I är ofullständigt med samma norm. Exempel 2.5.. Låt I = [0, 2] och definiera en följd f n, n =, 2,..., av kontinuerliga funktioner på [0, 2] genom om 0 x /n f n (x) = n nx om /n x. 0 om x 2 Rita själv en figur! Följden (f n ) är då en cauchyföljd. Om m n, gäller nämligen att 2 f m f n dx 0 /n 2 dx = 2 n 0 då m, n. Antag nu att att f f n 0 för någon funktion f C([0, 2]). Eftersom 2 0 f f n dx = = /n 0 0 f dx + f dx + /n /n f (n nx) dx + 2 ( f (n nx) f ) dx + f dx 2 f dx, och den mellersta integralen i sista ledet går mot 0 då n eftersom integranden är begränsad, måste därför 0 f dx = 2 f dx = 0. Härav följer att f = på [0, ) och f = 0 på (, 2]. Alltså är f inte kontinuerlig, vilket alltså är en motsägelse.

Kapitel 3 Lebesgueintegralen Härnäst definierar vi lebesgueintegralen. Definitionen skiljer sig från definitionen av riemannintegralen i förra kapitlet främst genom att vi här använder en annan överintegral för att definiera en seminorm. Detta leder till att bevisen för en del av lebesgueintegralens egenskaper blir identiska med motsvarande bevis för riemannintegralen. En annan skillnad är att vi här inte behöver förutsätta att våra funktioner är begränsade och lika med 0 utanför ett (begränsat) intervall. 3.. Överintegralen Låt F beteckna mängden av funktioner på R d med värden i R och F + mängden av icke-negativa funktioner i F. Vi skriver f g för f, g F om f(x) g(x) för varje x R d. Definition 3... Överintegralen f dx av en funktion f F+ definieras genom { } f dx = inf φ n dx : f φ n och (φ n ) T +. Av definitionen följer direkt att är monoton på F+ : Sats 3..2. Om f, g F + och f g, är f dx g dx. 3.2. En seminorm Nästa sats innebär att dx är en seminorm på F. Den första egenskapen är i det närmaste självklar och den andra följer av monotoniteten hos. Sats 3.2.. Antag att f, g F. Då gäller följande: (a) αf dx = α f dx för varje α R; (b) f + g dx f dx + g dx. Triangelolikheten är ett specialfall av följande viktiga resultat som är en motsvarighet till sats.3.2. Sats 3.2.2. Antag att f F, f n F, n =, 2,..., och att f f n. Då är f dx f dx. Bevis. Vi kan antaga att fn dx < för annars finns det inget att bevisa. Låt ε > 0 vara godtyckligt. För varje n finns det då en följd (φ (n) k ) k= T + sådan att f n k= φ(n) k och k= φ (n) k dx < f n dx + 2 n ε. 9

0 Kapitel 3 Lebesgueintegralen Då är f n= k= φ(n) k, och därför f dx n= k= φ (n) k dx < Detta ger påståendet eftersom ε var godtyckligt. Sats 3.2.3. Om φ T, är φ dx = φ dx. f n dx + ε. Bevis. Det är klart att φ dx φ dx eftersom φ φ T+. Om vidare φ φ n, där varje φ n T +, ger sats.3.2 att φ dx φn dx. Härav följer att φ dx φ dx. Exempel 3.2.4. Låt f = χ {a}, där a R d. Då är f dx = f dx = 0 eftersom f T +. n= 3.3. Nollfunktioner och nollmängder Seminormen dx är ingen norm på F eftersom det enligt exempel 3.2.4 finns funktioner f sådana att f dx = 0 utan att f = 0. Vi studerar härnäst denna typ av funktioner lite närmare och främst fallet då funktionen är den karakteristiska funktionen för någon mängd. Definition 3.3.. (a) En funktion f F kallas en nollfunktion om f dx = 0. (b) En mängd E R d kallas en nollmängd om χ E är en nollfunktion. Exempel 3.3.2. Enligt exempel 3.2.4 är f = χ {a} en nollfunktion. Alltså är {a} en nollmängd för varje a R d. Sats 3.3.3. (a) Om E R d är en nollmängd och A E, så är A en nollmängd. (b) Om E = E n, där varje E n R d är en nollmängd, så är E en nollmängd. Bevis. (a) Eftersom χ A χ E och dx är monoton, är χa dx χe dx = 0. (b) Då χ E χ E n följer av sats 3.2.2 att χe dx χen dx = 0. Exempel 3.3.4. Låt Q = {r n} vara en uppräkning av de rationella talen. Genom att kombinera exempel 3.3.2 med (b) i sats 3.3.3, ser man att Q är en nollmängd. Definition 3.3.5. Vi säger att en egenskap gäller nästan överallt på A R d om den gäller överallt på A med undantag för en nollmängd. Vi förkortar ofta nästan överallt med n.ö..

3.4. Lebesgueintegralen Sats 3.3.6. Om f F och f dx <, så är f ändlig n.ö. på R d. Bevis. Vi sätter E = {x R d : f(x) = ± } och skall visa att E är en nollmängd, d.v.s. att χe dx = 0. Men eftersom nχ E f för varje n > 0, är och påståendet följer om vi låter n. χ E dx f dx, n Nästa sats ger ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en funktions ska vara en nollfunktion. Sats 3.3.7. Om f F, är f dx = 0 om och endast om f = 0 n.ö. på R d. Bevis. Antag först att f dx = 0. Eftersom mängden E = {x R d : f(x) 0} är unionen av den nollmängd, där f inte är ändlig, och mängderna E n = {x R d : n f(x) < }, n =, 2,..., räcker det enligt sats 3.3.3 att visa att varje E n är en nollmängd. Detta följer av att χ En dx n f dx = 0. Antag omvänt att f = 0 n.ö. på R d, d.v.s. att E är en nollmängd. Eftersom f nχ E, är då f dx n χ E dx = 0. 3.4. Lebesgueintegralen Vi är nu redo att definiera lebesgueintegrerbarhet och lebesgueintegralen. Definition 3.4.. En funktion f F kallas lebesgueintegrerbar eller bara integrerbar om det finns en följd (φ n ) T sådan att f φ n dx 0 då n. Antag att f är integrerbar och att (φ n ) T konvergerar mot f m.a.p. seminormen. Precis som för riemannintegralen följer det då att ( φ n dx) en cauchyföljd och att gränsvärdet är oberoende av följden. Vi gör därför följande definition. Definition 3.4.2. För en integrerbar funktion f definieras integralen f dx genom f dx = lim φ n dx, där (φ n ) T är någon följd som konvergerar mot f.

2 Kapitel 3 Lebesgueintegralen Man ser också att att varje funktion φ T är integrerbar och att lebesgueintegralen av φ stämmer överens med riemannintegralen. Exempel 3.4.3. I exempel 3.3.4 visade vi att Dirichlets funktion f på [0, ] inte är riemannintegrerbar. Vi ska nu visa att funktionen är integrerbar i Lebesgues mening. Låt (r n ) vara en uppräkning av de rationella talen i [0, ] och definiera φ n = χ {r,...,r n }, n =, 2,.... Då är varje φ n en trappstegsfuktion. Vidare är f φ n n+ χ {r j }, varför f φ n dx n+ χ {rj } dx = 0. Detta visar att f är integrerbar och att f dx = lim φn dx = 0. 3.5. Rummet L (R d ) Sats 3.5.. Om f är integrerbar och g = f n.ö. på R d, är även g integrerbar och vidare g dx = f dx. Bevis. Det räcker att visa att varje följd (φ n ) T, som konvergerar mot f, även konvergerar mot g. Men eftersom g f = 0 n.ö. är g f dx = 0, så g φ n dx g f dx + f φ n dx = f φ n dx 0 då n. Av sats 3.5. följer det att varken integrerbarheten hos en funktion f eller värdet på integralen f dx påverkas om f ändras på en nollmängd. Av bl.a. det här skälet är det naturligt att arbeta med funktioner som är definierade n.ö. på R d. Om f är definierad utom på en nollmängd E, säger man att f är integrerbar om den funktion, som man får genom att ge f något värde på E (vilket spelar ingen roll), är integrerbar. Vi identifierar sedan alla integrerbara funktioner, som skiljer sig åt på en nollmängd, och betecknar mängden av ekvivalensklasser med L (R d ) eller bara L. Man integrerar elementen genom att integrera någon representant vilken spelar ingen roll eftersom integralerna av två olika representanter har samma värde. Vi kommer (något oegentligt) att skriva f L om f är en n.ö. definierad, integrerbar funktion. Vi skriver vidare f L + om f L och f 0 n.ö. 3.6. Egenskaper hos lebesgueintegralen Nästa sats sammanfattar några egenskaper hos lebesgueintegralen. Beviset för satsen är identiskt med motsvarande sats för riemannintegralen (se sats 2.2.). Sats 3.6.. (a) Om f, g L, är αf + βg L och (αf + βg) dx = α f dx + β g dx för alla α, β R.

3.7. Jämförelse med riemannintegralen 3 (b) Om f L, är även f L med f dx = f dx. Vidare gäller triangelolikheten: f dx f dx. (c) Om f, g L och f g, följer det att f dx g dx. Lägg märke till att αf + βg är definierad n.ö. om f, g L. Av satsen följer att L är ett reellt vektorrum. Korollariet nedan visar att L också är ett lattice. Korollarium 3.6.2. Om f, g L, gäller att f g, f g L. Bevis. Eftersom f g = 2 (f + g f g ) och f g = 2 (f + g + f g ) följer påståendet av sats 3.6.. 3.7. Jämförelse med riemannintegralen Låt I vara ett slutet och begränsat intervall. En funktion f på I kan utvidgas till R d genom att man sätter f = 0 utanför I. Vi säger då att f är integrerbar på I om fχ I L och definierar I f dx = fχ I dx. Vi låter också L (I) vara rummet av funktioner som är integrerbara på I. Sats 3.7.. Varje riemannintegrerbar funktion f på I är också integrerbar på I. Vidare gäller att riemannintegralen av f är lika med integralen av f. Enligt exempel 3.3.4 och 3.4.3 är omvändningen till satsen inte sann: det finns integrerbara funktioner som inte är riemannintegrerbara. Bevis. Låt (φ n ) T(I) vara en följd sådan att # f φn dx 0. Eftersom # fχ I φ n dx f φ n dx, följer då att fχi φ n dx 0, så f L (I). Den andra delen av satsen följer av att båda integralerna definieras som gränsvärdet för följden ( φ n dx).

Kapitel 4 Konvergenssatser I det här kapitlet bevisar vi två klassiska satser som handlar om omkastning mellan gränsvärde och integral (jämför med sats 2.2.2). Satserna är även sanna för riemannintegralen, men bevisen är då svårare. 4.. Beppo Levis sats om monoton konvergens Sats 4... Antag att (f n ) L är en följd sådan att f n f n.ö. och vidare att sup n fn dx <. Då är f L och f dx = lim f n dx. Bevis. Eftersom lim f n (x) = f(x) nästan överallt, gäller det för varje n att f(x) f n (x) = (f k+ (x) f k (x)) k=n nästan överallt. Av sats 3.2.2 följer nu att f f n dx f k+ f k dx = k=n = lim m f m dx f n dx. ( k=n f k+ dx ) f k dx Vi låter nu n i denna olikhet och får att f fn dx 0, vilket visar att f L (övning 4..3). Till sist ser vi att lim fn dx = f dx: f dx f n dx = f f n dx = f f n dx 0 då n. Anmärkning 4..2. Om (f n ) är en följd integrerbara funktioner sådan att f n f nästan överallt och inf n fn dx >, gäller samma slutsats som i sats 4... Visa detta som övning! Exempel 4..3. Vi vill beräkna gränsvärdet lim π/2 0 sin n x dx. För n =, 2,..., definierar vi f n (x) = sin n x, 0 x π/2. Då gäller att f n konvergerar punktvis mot den funktion f som ges av f(x) = { 0 om 0 x < π/2 om x = π/2. Konvergensen är inte likformig eftersom f inte är kontinuerlig, så vi kan inte använda sats 2.2.2. Däremot är konvergensen monoton: f n avtar mot f på [0, π/2]. 4

4.2. Fatous lemma 5 Vidare gäller att π/2 f 0 n dx 0 för varje n. Satsen om monoton konvergens ger därför att lim π/2 0 f n (x) dx = π/2 0 f(x) dx = 0. 4.2. Fatous lemma Sats 4.2.. Låt (f n ) L + vara en följd sådan att lim inf fn dx <. Då gäller att funktionen lim inf f n L och lim inf f n dx lim inf f n dx. Bevis. Sätt till att börja med g m,n = min n k m f k och g n = inf k n f k, m n. Då gäller enligt korollarium 3.6.2 att g m,n L för varje m n, och vidare att g m,n avtar mot g n, d.v.s. g m,n växer mot g n, då m. Eftersom ( g m,n ) dx 0 för varje m n, ger därför satsen om monoton konvergens att g n L. Då vidare g n f k för varje k n, följer nu att sup n g n dx sup inf n k n f m dx = lim inf m f m dx <. Ytterligare en tillämpning av sats 4.. visar att lim inf f n = lim g n L och lim inf f n dx = lim g n dx = lim g n dx lim inf f n dx. 4.3. Lebesgues sats om dominerad konvergens Sats 4.3.. Antag att (f n ) L är en följd sådan att f n f n.ö. Antag vidare att det finns en funktion g sådan att f n g n.ö. för varje n och g dx <. Då är f L och f dx = lim f n dx. () Bevis. Vi kan utan inskränkning antaga att g L. Enligt överintegralens definition finns det nämligen en följd (φ n ) T + sådan att g h = φ n n.ö. och φn dx <. Satsen om monoton konvergens ger direkt att h L, och det är klart att f n h n.ö. Vi observerar sedan att för varje n är 0 g ± f n 2g n.ö. Härav följer att (g ± f n ) dx 2 g dx

6 Kapitel 4 Konvergenssatser för varje n. Fatous lemma ger därför att g ± f = lim (g ± f n ) L, och härav följer att f L, och vidare att g dx + f dx lim inf (g + f n ) dx = g dx + lim inf f n dx respektive g dx f dx lim inf (g f n ) dx = g dx lim sup f n dx. Alltså är lim sup fn dx f dx lim inf fn dx, vilket ger (). Exempel 4.3.2. Vi ska använda satsen om dominerad konvergens för att beräkna gränsvärdet x n lim 0 2 x dx. n Låt därför f n (x), 0 x, beteckna integranden. Det är klart att f n (x) 0 då n utom för x = där gränsvärdet är. Vidare är f n (x) för alla x och n. Satsen om dominerad konvergens ger därför att gränsvärdet är 0. Korollarium 4.3.3. Antag att (f n ) L och att fn dx <. Då konvergerar serien f n(x) absolut för nästan varje x R d mot en funktion i L, och f n dx = f n dx. Bevis. Sätt F N = N f n, N =, 2,..., och F = f n. Eftersom F N dx = N f n dx f n dx < för varje N, visar satsen om monoton konvergens att F L. Härav följer enligt sats 3.3.6 att serien G = f n är absolutkonvergent n.ö. Om nu G N = N f n för N =, 2,..., gäller att G N G n.ö. och G N F för varje N. Satsen om dominerad konvergens ger därför att G L och vidare att G dx = lim N G N dx = f n dx.

Kapitel 5 Mätbarhet och mått Att visa att en funktion är integrerbar direkt med hjälp av definitionen är ofta svårt eftersom man då måste konstruera en följd av trappstegsfunktioner som konvergerar mot funktionen med avseende på överintegralen. Ett alternativ är att använda sats 5..3 nedan: man visar att funktionen är mätbar, vilket oftast är självklart, och till beloppet är mindre än en L -funktion, vilket innebär att man måste kunna kontrollera funktionens storlek. Mätbarhet är en form av regularitet som integrerbara funktioner har. Detta begrepp hänger intimt ihop med mätbarhet för mängder och problemet att beräkna en mängds mått (area, volym etc.). 5.. Mätbara funktioner Antag att f är definierad n.ö. på R d med värden i R. För en given funktion g L + definierar vi trunkeringen T g f = ( g) (g f). Då är alltså T g f definerad utom på en nollmängd av g(x) om f(x) > g(x) T g f(x) = f(x) om g(x) f(x) g(x). g(x) om f(x) < g(x) Definition 5... Funktionen f säges vara mätbar om T g f L för varje g L +. Anmärkning 5..2. Eftersom L enligt korollarium 3.6.2 är ett lattice, gäller att varje integrerbar funktion är mätbar. Speciellt är varje trappstegsfunktion mätbar. Dessutom ser vi att om man kan ändra en mätbar funktion på en nollmängd utan att mätbarheten påverkas. Följande sats är enkel att bevisa, men ofta användbar. Sats 5..3. Om f är mätbar och f g L, gäller att f L. Bevis. Eftersom f g, är f = T g f L. Sats 5..4. En funktion f på R d är integrerbar om och endast om f är mätbar och f dx <. Bevis. Nödvändigheten av villkoret i satsen följer från anmärkning 5..2 ovan och (b) i sats 3.6.. För att bevisa tillräckligheten väljer vi en följd (φ n ) T + sådan att φ n (x) för varje x R d. Då gäller att T φn f L och T φn f f n.ö. Eftersom vidare T φn f f och f dx <, ger nu satsen om dominerad konvergens att f L. Nästa sats visar att mätbarhet bevaras vid gränsövergång. Sats 5..5. Om (f n ) även f mätbar. är en följd av mätbara funktioner och f n f n.ö., är 7

8 Kapitel 5 Mätbarhet och mått Bevis. Om g L +, gäller att T gf n L och T g f n T g f n.ö. Då vidare T g f n g, ger satsen om dominerad konvergens att T g f L. Följande sats ger en ekvivalent karakterisering av mätbara funktioner, nämligen som punktvisa gränsvärden för följder av integrerbara funktioner. Sats 5..6. En funktion f är mätbar om och endast om det finns en följd (f n ) L sådan att f n f n.ö. Bevis. Tillräckligheten av villkoret i satsen följer från sats 5..5. För att bevisa nödvändigheten låter vi (φ n ) vara en följd av trappstegsfunktioner som i beviset av sats 5..4 och sätter f n = T φn f. Då gäller att f n L och f n f n.ö. Korollarium 5..7. Varje kontinuerlig funktion på R d är mätbar. Bevis. Låt f : R d R vara kontinuerlig och sätt f n = χ [ n,n] df, n =, 2,.... Då gäller att f n f överallt och vidare enligt sats 3.7. att varje f n L. Enligt sats 5..6 är därför f mätbar. 5.2. Egenskaper hos mätbara funktioner Enligt nästa sats är satsen är mängden av mätbara funktioner, som är ändliga nästan överallt, (i) ett vektorrum, (ii) en algebra och (iii) ett lattice. Sats 5.2.. Antag att f och g är mätbara och ändliga nästan överallt. Då gäller följande: (i) αf + βg är mätbar för alla α, β R; (ii) fg är mätbar; (iii) f g och f g är mätbara. För beviset av (ii) behöver vi nästa lemma. Lemma 5.2.2. Om f L är begränsad, är f 2 L. Bevis. För ett givet ε > 0 finns en funktion φ T sådan att f φ dx < ε. Antag nu att f M och sätt ψ = sgn(φ)m på de intervall där φ > M och ψ = φ för övrigt. Då gäller att f ψ f φ och f 2 ψ 2 = f +ψ f ψ 2M f φ. Alltså gäller att f 2 ψ 2 dx 2M f φ dx < 2Mε, vilket visar att f 2 L. Vi bevisar nu sats 5.2.; beviset av (iii) lämnas som övning. Bevis (sats 5.2.). (i) Enligt den ena riktningen i sats 5..6 finns det följder (f n ) och (g n ) av L -funktioner sådana att f n f n.ö. och g n g n.ö. Då är αf n + βg n L och vidare gäller att αf n + βg n αf + βg n.ö. Påståendet följer därför av den andra riktningen i sats 5..6.

5.3. Mätbara mängder 9 (ii) Eftersom fg = 4 ((f +g)2 (f g) 2 ), räcker det att visa att kvadraten på en mätbar funktion f är mätbar. Enligt beviset av sats 5..6 finns det en följd av begränsade funktioner f n L sådan att f n f n.ö. Lemma 5.2.2 ger nu att varje f 2 n L. Härav följer att f 2 är mätbar eftersom f 2 n f 2 n.ö. Korollarium 5.2.3. Om f L och g är begränsad och mätbar, är fg L. Bevis. Enligt (ii) i sats 5.2. är fg mätbar. Om vidare g M, är fg M f L. Påståendet följer därför från sats 5..3. 5.3. Mätbara mängder Definition 5.3.. Antag att E R d. Vi säger att (i) E är mätbar om χ E är mätbar; (ii) E är integrerbar om χ E är integrerbar. Klassen av mätbara mängder betecknas M. Exempel 5.3.2. (a) Eftersom funktionen f(x) =, x R d, är mätbar (den är kontinuerlig), är mängden R d mätbar. (b) Funktionen f(x) = 0, x R d, är mätbar, så är mätbar. (c) Om I är ett intervall, är χ I L, så I är integrerbart. 5.4. Egenskaper hos och exempel på mätbara mängder Av nästa sats visar att klassen av mätbara mängder är sluten under de vanliga mängdoperationerna. Sats 5.4.. Klassen M är en σ-algebra: (i) om E, E 2 M, är E E 2 M; (ii) om E M, är E c M; (iii) om E, E 2,... M, är E n M. Bevis. (i) Påståendet följer från (iii) i sats 5.2. om vi använder att χ E E 2 = χ E χ E. (ii) Använd att χ E c = χ R d χ E. (iii) Låt E = E n M. Det är klart att χ E = lim N (χ E... χ EN ) överallt. Sats 5..5 ger nu påståendet. Exempel 5.4.2.

20 Kapitel 5 Mätbarhet och mått (a) Om E, E 2 M, gäller att E E 2 = ((E ) c (E 2 ) c ) c M. (b) Om E, E 2 M, gäller också att E E 2 = E E c 2 M. (c) Om E, E 2,... M, är E n = ( Ec n) c M. Exempel 5.4.3. Låt C = [0, ] (( 3, 2 3 ) ( 9, 2 9 ) (7 9, 8 )...) vara den vanliga 9 cantormängden. Enligt (b) i exempel 5.4.2 och (iii) i sats 5.4. är C mätbar. Sats 5.4.4. Varje öppen delmängd till R d är mätbar. Bevis. Låt G R d vara öppen. För varje x G finns det ett öppet klot B med centrum i x och radie r > 0 sådant att B G. Det finns också en kub I = I(x) med centrum i en punkt i Q d och rationell sida sådan att x I G. Härav följer att G = x G I(x). Men den sista unionen är numrerbar och därför mätbar enligt (iii) i sats 5.4. eftersom varje kub är mätbar. Anmärkning 5.4.5. Av sats 5.4.4 och (ii) i sats 5.4. följer det att varje sluten mängd och speciellt varje kompakt mängd är mätbar. 5.5. Mer om mätbarhet för funktioner I nästa sats visar vi att vår definition av mätbarhet för funktioner stämmer överens med den som oftast brukar användas i måtteori. Sats 5.5.. En funktion f på R d är mätbar om och endast om {x R d : f(x) > a} är mätbar för varje a R. Bevis. Vi antar först att f är mätbar och visar att E = {x : f(x) > a} är mätbar för varje a R. Eftersom E = {x : f(x) a > 0} och funktionen f a är mätbar, räcker det att betrakat fallet a = 0. Sätt f n = (nf + ) för n =, 2,..., där f + = f 0 är den positiva delen av f. Då är varje f n mätbar enligt (iii) i sats 5.2.. Då vidare f n χ E, följer det av sats 5..5 att χ E är mätbar. Antag nu att varje mängd {x : f(x) > a} är mätbar. Härav följer att de två mängderna E = {x : f(x) > n} och E = {x : f(x) n} är mätbara; i det senare fallet använder vi att {x : f(x) n} = {x : f(x) > n} c. Vidare är varje mängd E (n) k k+ k = {x : < f(x) n n }, där k Z och n Z +, mätbar. Vi sätter nu f n = k= k n χ, d.v.s. f E (n) n (x) = k n om k k+ < f(x) n n. k Enligt sats 5..5 är det klart att varje f n är mätbar. Om vi kan visa att f(x) = lim f n(x) + (χ E (x) χ E (x)) för varje x R d, följer det därför att f är mätbar. Detta är klart om f(x) = ±, så antag att f(x) är ändlig. För ett givet tal ε > 0 väljer vi N så stort att Nε >. Om n N och och k k+ n < f(x) n för något k, följer det att 0 < f(x) f n(x) n < ε. Med hjälp av denna sats får vi ett nytt bevis för sats 5..7. Exempel 5.5.2. Om f är kontinuerlig, är mängden {x R d : f(x) > a} öppen och därmed enligt sats 5.4.4 mätbar för varje a R. Alltså är f mätbar.

5.6. Integration över mätbara mängder 2 5.6. Integration över mätbara mängder Vi definierar nu mätbarhet och integrerbarhet på delmängder till R d. Definition 5.6.. Låt E R d vara mätbar och f en funktion som är definierad n.ö. på E. Vi säger att (i) f är mätbar på E om fχ E är mätbar; (ii) f är integrerbar på E om fχ E är integrerbar. Om f är integrerbar på E, definierar vi E f dx = fχ E dx. Här tolkar vi produkten fχ E som 0 utanför E. Observera att om f är mätbar på R d, är f enligt sats 5.2. mätbar på varje mätbar mängd E. Vi identifierar två integrerbara funktioner på E, som är lika utom på en nollmängd, och låter L (E) beteckna mängden av ekvivalensklasser. Sats 5.2.3 visar att om f L (R d ), så är f L (E) för varje mätbar mängd E. 5.7. Mått Definition 5.7.. Det yttre måttet m (E) av en mängd E R d definieras genom m (E) = χe dx. Exempel 5.7.2. Om φ n = χ [ n,n] d, n =, 2,..., är (2n) d = φn dx χr d dx för varje n, så m (R d ) =. Definitionsmässigt är E en nollmängd precis då m (E) = 0. Definition 5.7.3. Måttet m(e) av en integrerbar mängd E R d definieras genom m(e) = χ E dx. Eftersom vi använder konventionen χ E dx = om χ E är mätbar, men inte integrerbar, är det naturligt att låta m(e) = för mätbara, icke-integrerbara mängder E. T.ex. är alltså m(r d ) =. Det är klart att för intervall stämmer denna definition av mått överens med den i definition... Det är också klart att om E är integrerbar, är m (E) = m(e). Definitionen av överintegralen visar att { m (E) = inf m(i n ) : E } I n och I n är öppna intervall. Sats 5.7.4. För mätbara mängder E, E 2 R d gäller följande: (i) om E E 2, är m(e ) m(e 2 ); (ii) m(e E 2 ) m(e ) + m(e 2 ); (iii) om E E 2 =, är m(e E 2 ) = m(e ) + m(e 2 ); (iv) om E E 2 och m(e ) <, är m(e 2 E ) = m(e 2 ) m(e ). Satsen visar: (i) m är monotont, (ii) m är subadditivt och (iii) m är additivt på disjunkta mängder.

22 Kapitel 5 Mätbarhet och mått Bevis. (i) Vi har att χ E χ E2, så m(e ) = χ E dx χ E2 dx = m(e 2 ). (ii) Påståendet följer genom att integrera olikheten χ E E 2 χ E + χ E2. (iii) Här integrerar vi likheten χ E E 2 = χ E + χ E2. (iv) Använd att m(e 2 ) = m((e 2 E ) E ) = m(e 2 E ) + m(e ). Med hjälp av induktion får man från (iii) att m(e... E n ) = m(e )+...+m(e n ) om mängderna är mätbara och parvis disjunkta. Nästa sats generaliserar subadditiviteten och additiviteten hos måttet till uppräkneliga unioner. Sats 5.7.5. (a) Om E, E 2,... är mätbara, gäller att m( E n) m(e n). (b) Om E, E 2,... är mätbara och parvis disjunkta, är m( E n) = m(e n). Bevis. Enligt (iii) i sats 5.4. är mängden E = E n mätbar. (a) Vi kan antaga att m(e n) <. Härav följer det att m(e n ) <, d.v.s. χ En L, för varje n. Eftersom χ E χ E n, ger sats 3.2.2 att m (E) = χ E dx χ dx = En χ En dx = m(e n ). Då alltså χe dx = m (E) < och χ E är mätbar, är χ E L enligt sats 5..4, och därför m (E) = m(e). (b) Vi antar först att m(e n) =. Då är även m(e) = eftersom det gäller att m(e) m( N E n) = N m(e n) för N =, 2,... Om m(e n) <, gäller att varje χ n L. Då vidare χ E = χ E n, följer det från sats 4.3.3 att χ E L och m(e) = χ E dx = χ En dx = m(e n ). Exempel 5.7.6. Låt C vara cantormängden i exempel 5.4.3. Enligt (iv) i sats 5.7.4 och (b) i sats 5.7.5 är m(c) = ( 3 + 2 9 + 4 27 +... ) = 2 n = 0. 3n Följande kontinuitetsegenskaper hos måttet följer av satsen om monoton konvergens. Sats 5.7.7. Låt E, E 2,... vara mätbara delmängder till R d.

5.7. Mått 23 (a) Om E E 2..., är m( E n) = lim m(e n ). (b) Om E E 2... och m(e ) <, är m( E n) = lim m(e n ). Bevis. (a) Sätt E = E n. Om lim m(e n ) =, är m(e) =, ty m(e) m(e n ) för varje n. Antag därför att lim m(e n ) <. Eftersom E E 2... följer härav att m(e n ) < för varje n, vilket betyder att varje χ En L. Av monotoniteten hos följden följer också att χ En χ E och χ En dx lim k χ Ek dx = lim k m(e k) < för varje n. Satsen om monoton konvergens ger nu att χ E L och m(e) = χ E dx = lim χ En dx = lim m(e n). (b) Sätt F n = E E n, n =, 2,..., och F = F n. Då är F F 2..., så det följer från (a) att ( ) m F n = lim m(f n) = m(e ) lim m(e n). Å andra sidan är m( F n) = m(e ) m( E n), vilket ger påståendet. Om förutsättningen m(e ) < i (b) inte är uppfylld, behöver inte slutsatsen vara sann. Exempel 5.7.8. Tag E n = [n, ), n =, 2,.... Då är m(e ) = m(e 2 ) =... =, så gränsvärdet är oändligt, men E n =, så m( E n) = 0.

Kapitel 6 Karakterisering av riemannintegrerbara funktioner 24

Kapitel 7 Integration av komplexvärda funktioner 25

Kapitel 8 Parameterintegraler Vi låter här X beteckna ett metriskt rum (exempelvis en delmängd till R d ) och Y en mätbar delmängd till R d. Vi låter vidare f vara en komplexvärd funktion på X Y sådan att funktionen y f(x, y) L (Y ) för varje fixt x X. Det är då möjligt att definiera funktionen F(x) = f(x, y) dy, x X. Y Vi kommer att studera olika egenskaper hos sådana funktioner F i det här kapitlet. Närmare bestämt kommer vi att ge tillräckliga villkor för att F ska vara kontinuerlig respektive deriverbar. 8.. Ett inledande exempel Exempel 8... För f L (R d ) definieras fouriertransformen F genom F(ξ) = f(x)e iξ x dx, ξ R d. R d Låt ξ R d vara fixt. Enligt satserna 5..7 och 5.2. är funktionen x f(x)e iξ x mätbar då f är mätbar och exponentialfunktionen är kontinuerlig. Vidare gäller att f(x)e iξ x = f(x) L. Enligt sats 5..3 är därför x f(x)e iξ x L. Detta visar att fouriertransformen är definierad på R d. Triangelolikheten ger dessutom att F(ξ) f för varje ξ, så fouriertransformen är begränsad. 8.2. En kontinuitetssats Sats 8.2.. Antag att (i) funktionen x f(x, y) C(X) för nästan varje fixt y Y ; (ii) det finns en funktion g L (Y ) sådan att f(x, y) g(y) för varje x X och nästan varje y Y. Då är F kontinuerlig på X. Bevis. Det räcker att visa att F(x n ) F(x) för varje följd (x n ) X sådan att x n x X. För n =, 2,... definierar vi f n (y) = f(x n, y), y Y. Då gäller enligt förutsättningarna att f n (y) f(x, y) för nästan varje y Y samt att f n L (Y ) och f n g för varje n. Satsen om dominerad konvergens ger nu att lim F(x n) = lim f n (y) dy = lim f n(y) dy = f(x, y) dy = F(x). Y Y Y Exempel 8.2.2 (Fortsättning på exempel 8..). Om f L (R d ), är f(x)e iξ x kontinuerlig som funktion av ξ R d för nästan varje x R d. För varje ξ R d gäller 26

8.3. En derivationssats 27 vidare att f(x)e iξ x = f(x) L (R d ). Satsen visar därför att fouriertransformen är kontinuerlig på R d. I själva verket är transformen likformigt kontinuerlig: F(ξ + h) F(ξ) = f(x)e iξ x (e ih x ) dx f(x) e R R ih x dx, d d och den sista integralen går mot 0 då h går mot 0 enligt satsen om dominerad konvergens. 8.3. En derivationssats I nästa sats är X en öppen delmängd till R d. Vi använder beteckningarna xj f(x, y) = x j f(x, y) och Sats 8.3.. Antag att j F(x) = x j F(x), j =,..., d. (i) funktionen x f(x, y) C (X) för nästan varje y Y ; (ii) det finns en funktion g L (Y ) sådan att xj f(x, y) g(y) för varje x X, nästan varje y Y och varje j. Då gäller att F C (X) med j F(x) = Y x j f(x, y) dy för x X och j =,..., d. Bevis. Låt x X vara fixt och låt (h n ) R vara en följd sådan att h n 0 och vidare x + h n e j tillhör ett klot B X för varje n, där e j är den n-te basvektorn i standardbasen för R d. Sätt f n (y) = f(x + h ne j, y) f(x, y) h n, y Y, n =, 2,.... Då gäller att f n xj f n.ö. samt enligt medelvärdessatsen och (ii) att f n g n.ö. för varje n. Satsen om dominerad konvergens ger nu att F(x + h n e j ) F(x) j F(x) = lim = lim f n (y) dy = xj f(x, y) dy. h n Kontinuiteten hos j F följer från sats 8.2.. Exempel 8.3.2. Antag att f L (R d ) och att x x j f(x) L (R d ), j =,..., d. Som funktion av ξ är f(x)e iξ x kontinuerligt deriverbar med ξj f(x)e iξ x = ix j f(x)e iξ x. Eftersom ix j f(x)e iξ x = x j f(x) L (R d ) för varje ξ, ger den förra satsen att fouriertransformen F är kontinuerligt deriverbar och att derivatorna fås genom att derivera under integraltecknet. Exempel 8.3.3. Vi använder sats 8.3. för att bestämma fouriertransformen för den funktion som ges av f(x) = e x2 /2, x R. Bilda G(ξ) = e 2 (x+iξ)2 dx, ξ R. Y Y

28 Kapitel 8 Parameterintegraler Eftersom som funktion av x, gäller att ξ e 2 (x+iξ)2 = ie 2 (x+iξ)2 (x + iξ) L (R) G (ξ) = i e 2 (x+iξ)2 (x + iξ) dx = 0, där integralen beräknas genom att man bestämmer en primitiv funktion. Alltså är G konstant. Men G(0) = så G(ξ) = e ξ2 /2 F(ξ) = 2π, d.v.s. e x2 /2 dx = 2π, F(ξ) = 2πe ξ2 /2, ξ R.

Kapitel 9 L p -rum De s.k. L p -rummen används överallt i modern analys. I det här kapitlet definierar vi dessa rum och bevisar två viktiga integralolikheter, nämligen Hölders och Minkowskis olikheter. Vi bevisar också att L p -rummen är fullständiga som normerade rum. 9.. Definitionen av L p (E) Antag att E R d är mätbar och låt p <. Vi intresserar oss här för funktioner f på E sådana att f är mätbar på E och f p L (E) och använder beteckningen ( /p f p = f dx) p. E Två sådana funktioner identifieras om de är lika utom på en nollmängd och mängden av ekvivalensklasser betecknas L p (E). Precis som för L (E) skriver vi f L p (E) om f är mätbar på E och f p <. I sats 9.4. visar vi att L p (E) är ett vektorrum, d.v.s. om f, g L p (E), gäller att αf + βg L p (E) för α, β C. Enligt sats 3.2. är p homogen: αf p = α f p för α R. Vidare gäller enligt sats 3.3.7 att om f p = 0, så är f = 0 n.ö., d.v.s. ekvivalensklassen för f är nollfunktionen i L p (E). I sats 9.4. nedan visar vi triangelolikheten i L p (E), nämligen att f + g p f p + g p om f, g L p (E). Sammantaget visar detta att L p (E) är ett normerat rum med normen p. Enligt Riesz sats (sats 9.5.) nedan är L p (E) fullständigt med denna norm. Vi definierar nu ett liknande rum för p =. Om f är mätbar på E, säger vi att f är väsentligen begränsad på E om det finns ett tal C, där 0 C <, sådant att f(x) C n.ö. på E. Vi definierar också f = inf{c : f(x) C n.ö. på E} <. Två väsentligen begränsade funktioner identifieras om de är lika n.ö. och mängden av ekvivalensklasser betecknas L (E). Det är inte så svårt att se att L (E) är ett vektorrum och att är en norm på L (E). 9.2. Den aritmetiska-geometriska olikheten Lemma 9.2.. Om a, b 0 och α, β 0 med α+β =, gäller att a α b β αa+βb. Bevis. Om vi sätter a = e s, b = e t, ser vi att olikheten är ekvivalent med att e αs+βt αe s + βe t för s, t R, vilket i sin tur följer av att exponentialfunktionen är konvex. 29

30 Kapitel 9 L p -rum Exempel 9.2.2. Fallet α = β = 2 svarar mot den välkända olikheten a + b ab, a, b 0. 2 9.3. Hölders olikhet Låt < p <. Vi betecknar med p det tal som definieras av p + p =, d.v.s. p = p p. Det är klar att < p <. T.ex. är 2 = 2 och 3 = 3 2. Vi skriver även = och =, vilket stämmer med de gränsvärden man får om man låter p respektive p. Följande olikhet bevisades av F. Riesz 90. Motsvarande olikhet för serier (jämför med exempel 9.4.2 nedan) hade visats av O. Hölder 899. Sats 9.3.. Om f L p (E) och g L p (E), där p <, är fg L (E). Vidare gäller att fg f p g p. () Bevis. Lägg märke till att f g definierad och ändlig n.ö. Olikheten är självklar om f p = 0 eller om g p = 0, så vi kan antaga att båda dessa tal är skilda från 0. Låt först < p <. Använder vi nu lemma 9.2. med ( ) p ( f(x) g(x) a =, b = f p g p ) p, α = p och β = p, får vi att f(x)g(x) f p g p p f(x) p f p p + p g(x) p g p p. Enligt förutsättningen gäller att högra ledet i denna olikhet tillhör L (E). Eftersom fg är mätbar, ger nu sats 5..3 att fg L (E). Genom att integrera båda leden i olikheten ovan över E får vi till sist (). I fallet p = använder vi att f(x)g(x) g f(x) n.ö., vilket till att börja med visar att fg L (E), och får sedan () genom att integrera denna olikhet. 9.4. Minkowskis olikhet Nästa olikhet bevisades för serier av H. Minkowski 896 och för integraler av F. Riesz 90. Sats 9.4.. Om f, g L p (E), där p, är f + g L p (E) och f + g p f p + g p. () Bevis. Låt först p <. Enligt sats 5.2. är f + g mätbar. Eftersom vidare f + g p ( f + g ) p (2( f g )) p 2 p ( f p + g p ),

9.5. Riesz sats 3 är f +g L p (E). I fallet p = följer () direkt från triangelolikheten för komplexa tal, så vi kan antaga att < p <. Vi kan vidare antaga att E f + g p dx > 0. Om vi integrerar olikheten f(x) + g(x) p f(x) f(x) + g(x) p + g(x) f(x) + g(x) p, som gäller för nästan varje x E, och använder Hölders olikhet, får vi att f + g p dx f f + g p dx + g f + g p dx E E (( E E /p ( f dx) p + E ) /p )( ) /p g p dx f + g p dx E eftersom (p )p = p. Det återstår nu att dela ytterleden i den sista olikheten med E f + g p dx och utnyttja att p = p. Låt nu p =. För varje ε > 0 och nästan varje x gäller att f(x) < f + ε och g(x) < g + ε. Härav följer att f(x) + g(x) < f + g + 2ε n.ö., vilket medför att f + g < f + g + 2ε. Detta ger påståendet eftersom ε var godtyckligt. Exempel 9.4.2. Låt p <. Om z j och w j är komplexa tal för j =,..., n, sätter vi f(x) = z j och g(x) = w j för x [j, j + ) och f = g = 0 utanför [, n + ). Hölders olikhet ger då att och Minkowskis olikhet att ( n ) /p z j + w j p n ( n ) /p ( n z j w j z j p ) /p w j p ( n ) /p ( n ) /p z j p + w j p. Låter vi n i dessa olikheter, får vi Hölders och Minkowskis olikheter för serier. 9.5. Riesz sats Sats 9.5. (F. Riesz 90). Rummet L p (E) är fullständigt för p. Bevis. Vi visar satsen i fallet p < ; det enklare fallet p = lämnas som övning. Enligt en sats i funktionalanalysen är fullständigheten hos L p (E) ekvivalent med att varje absolutkonvergent serie i L p (E) är konvergent i L p (E). Antag därför att f n p <, där (f n ) L p (E). Sätt G N = N f n, N =, 2,..., och G = f n. Eftersom G N är mätbar och G N G, är även G mätbar enligt sats 5..5. Satsen om monoton konvergens och Minkowskis olikhet ger nu att G p = lim N G N p lim N N f n p = f n p <.

32 Kapitel 9 L p -rum Då alltså E Gp dx <, är G < n.ö., så serien F = f n är absolutkonvergent n.ö. Eftersom vidare F G L p (E), är F L p (E). Om vi nu använder att F N f n G L p (E), ger till sist satsen om dominerad konvergens att F N f n p 0. 9.6. Approximation med trappstegsfunktioner Sats 9.6.. Antag att f L p, där p <. Då finns det för varje ε > 0 en trappstegsfunktion φ sådan att f φ p < 2ε. Bevis. För p = följer påståendet från definitionen av integrerbarhet, så vi kan antaga att < p <. Låt ε > 0 vara givet och sätt A n = {x : n < f(x) n} och f n = fχ An för n =, 2,.... Enligt sats 5.5. är A n mätbar, vilket medför att även varje f n är mätbar. Då f n f följer det att f n L p. Nu gäller det att f n f n.ö. och f f n p 2 p f p, så satsen om dominerad konvergens ger att f f n p 0. Vi kan alltså välja ett n sådant att f f n p < ε. Eftersom f n = f n p f n p n p f n p, har vi att f n L. Det finns därför en funktion φ T sådan att f n φ < ε p /(2n) p. Då f n n, kan vi antaga att φ n. Härav följer det att f n φ p p = f n φ f n φ p ε p dx = ε p. (2n) p (2n)p E Sammanfattningsvis får vi att f φ p f f n p + f n φ p < 2ε. 9.7. Translation i L p Låt f vara en funktion på R d och låt y R d. Vi definierar då translatet τ y f av f genom τ y f(x) = f(x y), x R d. Lemma 9.7.. Om φ T, gäller att τ y φ φ i L p då y 0. Bevis. Antag att φ = j c jχ j, där χ j = χ Ij. Då gäller att φ τ y φ p j c j χ j τ y χ j p. Det räcker därför att visa att varje term i summan går mot 0. Antag att I j har sidorna l,..., l d, där varje l j 0. Ritar man en enkel figur, ser man att χ j τ y χ j p p = χ j (x) τ y χ j (x) p dx = χ j (x) χ j (x y) dx ( y 2 +... + y ) d m(i j ), l l d och här går högra ledet mot 0 då y 0. Om något l j = 0, är påståendet självklart eftersom vi då har att χ j = τ y χ j = 0 n.ö. Sats 9.7.2. Om f L p, där p <, gäller att τ y f f i L p då y 0.