Per-Eskil Persson Visst kan man faktorisera x 4 +1 Att faktorisera polynom är inte alltid helt enkelt men inte dess mindre en väsentlig del av den algebra som elever möter i slutet av högstadiet och senare på gymnasiet. Vi får här ta del av hur man med hjälp av lättillgängliga datoralgebrasystem, appar och nätresurser kan erbjuda elever vägar till förståelse och färdigheter i polynomfaktorisering. Faktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en väsentlig del av algebran. Redan i slutet av grundskolan möter elever i regel denna omvändning till multiplikation med hjälp av distributiva lagen och de speciella regler man kan härleda ur den, som konjugatregeln och kvadreringsregeln. Att förstå och tillämpa faktorisering innebär en betydande ansträngning, både av de elever som ska lära sig den och av läraren som ska göra detta möjligt. Distributiva lagen: a (b + c) = ab + ac Konjugatregeln: (a + b) (a b) = a b Kvadreringsregeln: (a ± b) = a ± ab + b I gymnasiekurserna framträder faktorisering i de första kurserna i samband med ekvationslösning och för att exempelvis finna nollställen till funktioner. Oftast gäller det uttryck, ekvationer och funktioner av grad två. Faktorisera uttrycket 1x 9x. Den största gemensamma faktorn i termerna är 3x. När den bryts ut (divideras) ur dessa får man det faktoriserade uttrycket 3x (4x 3). Lös ekvationen x 5x + 6 = 0. Kvadratkomplettering av vänsterledet ger! 5 5 x 5x + +6 och sedan x 5 1. Med konjugatregeln fås x 5 1 x 5 + 1 och ekvationen blir (x 3)(x ) = 0 som sedan lätt löses. Vilka nollställen och vilken symmetrilinje har grafen till funktionen f(x) = x x 3? Liknande metoder som i de två föregående exempel kan användas. Nämnaren nr 013 53
Här har både konjugat- och kvadreringsregeln använts. Vi kan som i exemplet kvadratkomplettera, eller så kan vi utnyttja en färdig formel. Båda tillvägagångssätten bygger i grunden på kunskaper om dessa specialregler. En bra generell metod är att finna nollställen till polynomet och utifrån dem konstruera förstagradspolynom som detta kan divideras med. Att det är möjligt anges i faktorsatsen och metoden som används är polynomdivision. För att bli riktigt drivna i att faktorisera måste elever träna på mer komplicerade polynom, av tredje graden och högre. Inom analysen i gymnasiets senare kurser måste de också kunna finna nollställen till derivatan av exempelvis fjärdegradsfunktioner för att bestämma maxima och minima. Ett paradexempel som brukar finnas med i läroböckerna är faktorisering av uttrycket x 4 16 eller liknande: Konjugatregeln utnyttjas två gånger och vi får x 4 16 = (x 4) (x + 4) =(x ) (x + ) (x + 4). Det kan också tänkas att eleven lär sig faktoriseringsformeln x 3 1 = (x 1)(x + x + 1). Men hur är det med uttryck av liknande slag med den allmänna formeln x n 1, där n är vilket positivt heltal som helst? Att göra en undersökning av vad som händer när n blir tämligen stort är ganska jobbigt och till slut nästan omöjligt. Vi kan utföra delar av faktoriseringen men kan kanske inte klara den fullständigt. Med hjälp av datoralgebrasystem (CAS) kan detta enkelt göras av elever i gymnasiekurser. I didaktisk litteratur har exempel på sådan undersökande aktivitet beskrivits av Drijvers, Boon och van Reeuwijk vid Freudenthalinstitutet i Nederländerna. Det går bra att utnyttja vilket CAS-verktyg som helst, datorprogramvara, applikationer etc. Kommandot är nästan alltid factor, men ibland (som i Geogebra) Faktorisera. Om vi provar att faktorisera x n 1 för heltal n från 1 till 1 får vi: factor(x 1 1) (x 1) factor(x 1) (x 1)(x + 1) factor(x 3 1) (x 1)(x + x + 1) factor(x 4 1) (x 1)(x + 1)(x + 1) factor(x 5 1) (x 1)(x 4 + x 3 + x + x + 1) factor(x 6 1) (x 1)(x + 1)(x + x + 1)(x x + 1) factor(x 7 1) (x 1)(x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1) factor(x 8 1) (x 1)(x + 1)(x + 1)(x 4 + 1) factor(x 9 1) (x 1)(x + x + 1)(x 6 + x 3 + 1) factor(x 10 1) (x 1)(x + 1)(x 4 + x 3 + x + x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) factor(x 11 1) (x 1)(x 10 + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1) factor(x 1 1) (x 1)(x + 1)(x + 1)(x + x + 1)(x x + 1)(x 4 x + 1) Ett mönster börjar framträda, och det ger upphov till en rad intressanta frågor som är utmärkta att diskutera i klassen, antingen gruppvis eller i helklass. Exempel på sådana frågor är: 54 Nämnaren nr 013
Alla uttryck verkar ha faktorn (x 1). Kan vi motivera detta eller rent av finna ett bevis för att så måste vara fallet? Vad är gemensamt för de n där faktoriseringen också innehåller (x + 1)? Hur motiverar eller bevisar vi det? Vissa uttryck innehåller bara två faktorer, (x 1) och en obruten summa av potenser av x. T ex x 7 1 =(x 1)(x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1). Vad är gemensamt för de n där detta inträffar? Det finns andra faktorer som är gemensamma. Exempelvis finns (x + x + 1) med när n är 3, 6, 9 och 1. Hur kan vi förklara det? Det verkar som om alla termer har koefficienterna +1 eller -1, alltså är av typen ± x k. Gäller detta alltid när man faktoriserar x n 1, oavsett n? Här finns det möjlighet att ställa hypoteser och enkelt kontrollera dem. Som lärare kan du också be eleverna att gissa nästa i raden. Vad tror de att faktoriseringen av x 13 1 kan ge? Faktoriseringen av x 14 1? etc. På samma sätt kan eleverna försöka faktorisera polynomen där n är positivt heltal. Ett helt annat mönster visar sig: factor(x 1 + 1) (x + 1) factor(x + 1) (x + 1) factor(x 3 + 1) (x + 1)(x x + 1) factor(x 4 + 1) (x 4 + 1) factor(x 5 + 1) (x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) factor(x 6 + 1) (x + 1)(x 4 x + 1) factor(x 7 + 1) (x + 1)(x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x + 1) factor(x 8 + 1) (x 8 + 1) factor(x 9 + 1) (x + 1)(x x + 1)(x 6 x 3 + 1) factor(x 10 + 1) (x + 1)(x 8 x 6 + x 4 x + 1)(x 4 x 3 + x x + 1) factor(x 11 + 1) (x + 1)(x 10 x 9 + x 8 x 7 + x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x + 1) factor(x 1 + 1) (x 4 + 1)(x 8 x 4 + 1) Samma typ av frågeställningar kan göras som för det tidigare mönstret. Om eleverna arbetat med detta, klarar de säkert att själva upptäcka de frågor de vill ställa och även att formulera hypoteser och finna svar till dem. Men vänta lite nu! Har inte Gauss för länge sedan fastslagit att man kan faktorisera alla polynom, så att faktorerna bara är polynom av första och andra graden? Vi utgår från faktoriseringen av x 4 + 1. Om det även hade funnits en term x hade uttrycket följt en kvadreringsregel. Låt oss införa en sådan och kompensera genom att dra ifrån samma term. Nu ser vi att det går att använda konjugatregeln och vi får x 4 +1=x 4 +x +1 x = ( x +1 ) p x (x +1 ) p (x x +1 ) + p x = x p x +1 x + p x +1 Carl-Friedrich Gauss, 1777 1855 Nämnaren nr 013 55
Jovisst går det att faktorisera! Men varför klarade inte CAS-verktygen av detta? Problemet ligger i hur vi definierar faktorisera. Ofta tänker vi bara på heltal, precis som inom talteori, och då får vi resultat enligt tabellerna ovan. Om exempelvis talet 30 ska delas upp i två faktorer så har vi kanske 3 10 eller 5 6 i tankarna men sällan t ex 3 p 5 p. Ger vi också möjlighet för koefficienter i polynomen som är algebraiska tal, klarar vi att faktorisera enligt Gauss princip. Algebraiska tal definieras som tal vilka kan vara rötter till polynomekvationer med heltalskoefficienter. Det rör sig då om rotuttryck av olika slag. Det algebraiska talet x = q p 1 är en rot till ekvationen x 4 + x 1 = 0. Om vi alltså öppnar för faktorisering där algebraiska tal är tillåtna, blir mönstren för x n + 1 som vi studerat ovan ganska annorlunda. Dessvärre finns det för flera CAS-verktyg ingen möjlighet att göra detta. Ett undantag är TI-Nspire CAS, där vi med en liten ändring av kommandot kan uppnå detta. Vi provar det på något som tidigare inte fått någon faktorisering, x 4 + x 3 + x + x + 1: factor(x 4 + x 3 + x + x + 1, x) ger x + 1 p! 5 x +1! x + 1+p 5 x +1 Lägg märke till x:et som lagts till inom parentesen i kommandot. Denna lilla förändring ger alltså detta nya resultat. Det är ju också intressant att det är två tal som vi förknippar med femhörningar och gyllene snittet som framträder som koefficienter här. Vad kan det bero på? Gauss utnyttjade i själva verket denna typ av faktoriseringar för att bevisa att regelbundna femhörningar, men även t ex regelbundna sjuttonhörningar, inskrivna i cirklar kan konstrueras med passare och linjal. Det lämnas åt läsaren att verifiera att faktoriseringen är korrekt och att kanske även finna ett sätt att genomföra den med papper och penna. Med detta tilläggskommando kan vi alltså bilda nya mönster av faktoriseringarna ovan, och även i detta fall diskutera i klassrummet vad som händer, och varför. Frågorna blir delvis helt nya. Men på tal om Gauss, bevisade han inte att alla polynom kan faktoriseras till enbart förstagradsuttryck i det komplexa talområdet? Jovisst, och datoralgebrasystemen ger också möjlighet till detta. Exempelvis får vi att x + 1 = (x i)(x + i). Vi provar detta på polynomet x 4 + 1. I exempelvis Maxima heter kommandot gfactor, och vi får x 4 + 1 = (x i)(x + i). I TI-Nspire blir kommandot cfactor(x 4 + 1,x) och uttrycket blir i och med detta fullt faktoriserat i det komplexa talområdet x 4 +1= x 1+i p x + 1+i p x 1 i p x + 1 i p Nollställena till polynomet bildar i det komplexa talplanet hörnen i en kvadrat som är inskriven i en cirkel med radien 1. Med papper och penna kan vi finna dem genom att med lämplig metod lösa ekvationen x 4 + 1 = 0 i det komplexa talområdet. 56 Nämnaren nr 013
z 1 z är rötter till ekvationen 4 x 4 + 1 = 0. Vad vi menar med att faktorisera ett polynom är alltså inte helt entydigt. Det beror på vilka förutsättningar vi ger i form av vilka slags faktorer som är tillåtna och även inom vilket talområde vi utför faktoriseringen. Vanlig faktorisering bör vi kanske precisera som heltalsfaktorisering (det finns också gaussiska heltal i det komplexa talområdet). De mer ovanliga faktoriseringar som presenterats i artikeln är ofta inte heller åtkomliga med hjälp av grafritande program, räknare eller applikationer. Om vi i undervisningen vill studera dem närmare, vilket är önskvärt åtminstone i de senare kurserna i gymnasiet, behövs någon form av datoralgebrasystem som verktyg. Några sådana presenteras nedan. Till sist ett litet tips för den som försökt lösa problemet om alla termer i heltalsfaktoriseringen av x n 1 alltid är av typen ± x k : Prova att faktorisera x 105 1. Datorprogramvara: Applikationer: Nätet: EXEMPEL PÅ CAS-VERKTYG Geogebra Maxima TI-Nspire (även räknare) Symbolic Calculator HD PocketCAS CAS Calc P11 WolframAlpha TI-Nspire www.wolframalpha.com LITTERATUR Drijvers, P., Boon, P. & van Reeuwijk, M. (011). Algebra and technology. I P. Drijvers (red), Secondary algebra education Revisiting topics and themes and exploring the unknown, 179 0. Rotterdam: Sense Publishers. Kieran, C. & Drijvers, P. (006). The co-emergence of machine techniques, paper-and-pencil techniques, and theoretical reflection: a study of CAS use in secondary school algebra. International journal of computers for mathematics learning 11, 05 63. NÄMNAREN NR 013 57