Affina avbildningar och vektorgrafik

Relevanta dokument
Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Vektorgeometri för gymnasister

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

Vektorgeometri för gymnasister

Mer om geometriska transformationer

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär

SF1624 Algebra och geometri

LINJÄRA AVBILDNINGAR

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

Geometriska transformationer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

Inledning. CTH/GU LABORATION 4 MVE /2017 Matematiska vetenskaper

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess

Affina avbildningar Fraktala bilder Itererade funktionssystem. Affina avbildningar, itererade funktionssystem och fraktala bilde

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

Vektorgeometri för gymnasister

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: c 1

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

Transformationer i R 2 och R 3

Facit/lösningsförslag

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Rotation Rotation 187

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1

Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

15 februari 2016 Sida 1 / 32

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Linjär algebra och geometri I

UPG5 och UPG8 Miniprojekt 1: 2D datorgrafik

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Banach-Tarskis paradox

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

Homogena koordinater och datorgrafik

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z

Linjär algebra och geometri I

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

Linjär algebra och geometri 1

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

Linjär algebra och geometri 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

M = c c M = 1 3 1

ITK:P2 F1. Hemsidor med HTML HTML. FTP, HTTP, HTML, XML och XHTML

Vektorgeometri för gymnasister

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

LYCKA TILL! kl 8 13

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

10.4. Linjära höljet LINJÄRA RUM

Läsanvisningar till kapitel

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)

TMV206-VT13/Anteckn. Area. Volym. Determinant. Linjär Avbildning vs Matrisalgebra

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3

InkScape. Inkscape är ett gratisprogram för objektgrafik (vektorgrafik) Man använder programmet till att illustrera, rita, skapa logotyper och figurer

Linjär Algebra, Föreläsning 20

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

Version Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Grafik i DrRacket AV TOMMY KARLSSON

Kappa 1. Robin Kastberg. 10 oktober 2014

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Mer om analytisk geometri

1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

Linjär algebra på några minuter

SF1624 Algebra och geometri

Bilder... Dagens föreläsning. Objektgrafik. Objektgrafik. TNMK30, 2010 Föreläsning

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

1 x 1 x 2 1 x x 2 x 2 2 x 3 2 A = 1 x 3 x 2 3 x x 4 x 2 4 x 3 4

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Vektorgeometri för gymnasister

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Linjär algebra med MATLAB

Lösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4

tal. Mängden av alla trippel av reella tal betecknas med R 3 och x 1 x 2 En sekvens av n reella tal betecknas med (x 1, x 2,, x n ) eller

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Linjär algebra på 2 45 minuter

Geometriska vektorer

x 2 x 1 W 24 november, 2016, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden

Transkript:

och vektorgrafik 2010-02-04 och vektorgrafik

Affin avbildning som matriser Definition En affin avbildning f är en sammansättning av en linjär avbildning x Bx och en translation x x + c och är alltid på formen för en vektor b och en matris A. f (x) = Ax + b och vektorgrafik

Exempel på affin avbildning som matriser Exempel Speciellt är en linjär avbildning f (x) = Ax en affin avbildning (med b = 0) och även en translation f (x) = x + b (med A = I). och vektorgrafik

Exempel på affin avbildning som matriser Exempel Rotation β moturs kring en punkt (a, b) i planet är en affin avbildning. Denna kan nämligen realiseras som sammansättningen f = f 3 f 2 f 1 mellan translationen f 1 (x) = x ( ) a, b och vektorgrafik

Exempel på affin avbildning som matriser den linjära avbildningen f 2 som är rotation β moturs kring origo samt translationen ( ) a f 3 (x) = x +. b Vi får att f (x) = A ( x ( )) a + b ( ) a = Ax + b (( ) a A b ( )) a. b och vektorgrafik

som matriser och vektorgrafik utgör en av grundpelarna inom vektorgrafik då de innefattar sådana grundläggande operationer som rotation projektion spegling translation och vektorgrafik

som matriser som linjära avbildningar Vi ska nu se hur man kan representera affina avbildningar i planet som linjära avbildningar med 3 3-matriser. Identifiera vektorn ( ) x y med x y 1 och vektorgrafik

som matriser som linjära avbildningar och den linjära avbildningen ( a b c d ) ( ) x = y ( ) ax + by cx + dy med a b 0 x ax + by + 0 1 ax + by c d 0 y = cx + dy + 0 1 = cx + dy. 0 0 1 1 0 1 + 0 1 + 1 1 och vektorgrafik

som matriser som linjära avbildningar Translation med ( ) s t kan nu representeras som matrismultiplikationen 1 0 s x x + s 0 1 t y = y + t. 0 0 1 1 1 Det betyder att en affin avbildning f (x) = Ax + b med ( ) ( ) a b s A = och b = c d t representeras med matrisen 1 0 s a b 0 a b s M = 0 1 t c d 0 = c d t. 0 0 1 0 0 1 0 0 1 och vektorgrafik

som matriser som linjära avbildningar Speciellt kommer sammansättning av affina avbildningar att svara mot matrismultiplikation mellan 3 3-matriser. Anmärkning I praktiken behöver man ju bara 6 av elementen i matrisen och två i vektorn så man lagrar bara dessa och har multikationer (a, b, c, d, s, t) (x, y) = (ax + by + s, cx + dy + t) och (a 1, b 1, c 1, d 1, s 1, t 1 ) (a 2, b 2, c 2, d 2, s 2, t 2 ) = (a 1 a 2 + b 1 c 2, a 1 b 2 + b 1 d 2, a 1 s 2 + b 1 t 2 + s 1,...) och vektorgrafik

som matriser som linjära avbildningar Motsvarande kan man göra för affina avbildningar i rummet som kan representeras som 4 4-matriser a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 0 0 0 1 för en affin avbildning f = Ax + b med a 11 a 12 a 13 b 1 A = a 21 a 22 a 23 och b = b 2. a 31 a 32 a 33 b 3 och vektorgrafik

Lagring av bilder Det finns två huvudsätt att lagra bilder: pixelbaserat (jpeg, png, tiff etc.) vektorbaserat (svg, vml, ai etc.) lagrar bilden som en sammansättning av enkla objekt såsom linjer, cirklar, polygoner och text. Dessa kan sedan enkelt och utan förlust i bildkvalité roteras, skalas och flyttas runt. och vektorgrafik

Scalable Vector Graphics Scalable Vector Graphics (SVG) är standarden för vektorgrafik som tagits fram av W3C, så en standard för (framförallt) webb-sidor. Den är xml-baserad och en enkel fil kan se ut så här: <?xml version= 1.0 encoding= UTF-8?> <svg> <ellipse cx= 60 cy= 26 rx= 22 ry= 7 stroke= black stroke-width= 1 fill= green /> <polygon stroke= black stroke-width= 1 fill= red points= 23.08,49.88 55.00,46.22 60.61,63.77 42.09,81.07 10.17,83.26 /> </svg> och vektorgrafik