Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN 6, 4 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter med eller poäng. Godkänd kontrollskrivning p ht ger poäng på uppgift som alltså inte behöver lösas och 6p eller mer ger 4 poäng på uppgift. Markera detta genom att skriva G respektive G+ i rutan för uppgift. Fullständiga motiveringar krävs. Lösningar läggs ut efter skrivtidens slut på http://courses.mai.liu.se/gu/tata/tentor.html Resultat meddelas via e-post inom arbetsdagar. Alla koordinater för vektorer och punkter är, om ej annat anges, givna med avseende på ett positivt orienterat ON-system, R n är ett euklidiskt rum med standardskalärprodukten och standardbasen ett positivt orienterat ON-system.. Bestäm a R så att linjerna x L : e y =e a +te, L : e z x y z =e a +te, t R skär varann. Ange skärningspunkten och planet som innehåller båda linjerna.. Den linjära avbildningen F:R R definieras av Fx,x,x,x 4,x = x x x x 4 x, x x x 4 x, x x x 4 x. Bestäm matrisen till F med avseende på standardbaserna för R och R. Bestäm sedan baser i noll- respektive värderum samt dimensionen av dessa.. Låt F,G:R R vara två linjära avbildningar med matriser A = respektive B = i standardbasen, dvs A är matris till F och B är matris till G. Ange matrisen för F G i standardbasen. Bestäm F G,, och ange alla u R sådana att F Gu = F G,,. Som bekant så definieras F G genom att F Gu = FGu. VÄND!
4. Låt v =,,7, och { U = x,x,x,x 4 R 4 : } x x + x x 4 =. x + x + 4x x 4 = Bestäm min v u u U samt för vilket u U som detta minsta värde antas.. Låt a R och den kvadratiska formen Q:R R definieras av Qx,y,z = x +4xz +4y +4yz+az. p p a För varje värde på a R, avgör Q:s teckenkaraktär. b Bestäm egenvärdena till Q i fallet a = och kontrollera att detta stämmer med ditt svar i a. 6. Bestäm a R så att blir egenvärde till matrisen a A =. Bestäm sedan C så att existerar och ange gränsvärdet. lim n An C 7. Avbildningen F:R R har matrisen i standardbasen. A = 9 8 4 4 4 7 8 4 p p a Visa att F är en vridning och ange vridningsaxeln. b Bestäm cosinus av vridningsvinkeln genom att beräkna vinkeln mellan u och Fu för något lämpligt valt u vad är ett lämpligt u?.
Lösningsförslag till TATA, Linjär algebra, 6. L = L ger a +s = +t a s t = a a r +r r +r s t 8 a a = a r 4r r r dvs systemet är lösbart omm a =. Lösningen blir då s / =. t / a = a a a a Insättning i parameterformen för L ger ortsvektorn för skärningspunkten P OP = e e = e 6 = e 4., För kontrollens skull, sätt in / i parameterformen för L och se att du får samma punkt. Det sökta planets Π normal fås genom att beräkna kryssprodukten mellan linjernas riktningsvektorer. e e = e 4 8 = e,, Π = +4 = = D, dvs Π: x y +4z = = Π: x y +4z = D 4. Skriv på bas koordinatform, Fx,x,x,x 4,x = F e x x x x 4 x = e = e x x x x 4 x x x x 4 x x x x 4 x x x x x 4 x, =
d v s den sökta avbildningsmatrisen är A =. För att bestämma en bas i NF löser vi AX = på vanligt sätt r r r r r 4r r 4 4 4 8 = X = r s+t r s t r s t r r = r = +s +t, r,s,t R, dvs,,,,,,,,,,,,,,är en bas i NF som därmwed får dimension. Enligt Sats 7..4, sid 8, är värderummet detsamma som höljet av avbildningsmatrisens kolonnvektorer och beroendeekvationen för dessa är det ekvationssystem vi precis löst. Kalla kolonnvektorerna k,...k. Då fås r =, s =, t = : k = k k r =, s =, t = : k 4 = k +k r =, s =, t = : k = k +k. Satsen om löjliga element sats..6, sid ger då att VF = [k,k,k,k 4,k ] = [k,k ]. Dådelöjligaelementennuärstruknasåärdeåterstående, k ochk linjärtoberoende sats.4.4, sid 4. Därmed är k och k en bas i VF och dimvf =.. Enligt Sats 7.6., sid 86 är AB avbildningsmatris till F G. 6 AB = = 9 = 6 4 4 = F G,, = e 6 9 6 4 4 = e 6 4.
Lös nu ekvationssystemet F Gu = 6, 4,, 6 6 r +r 6 6 r 9 4 / 4 8 6 4 4 9 4 = X = 6 x /6 = t 8+x /4 = +9t t = r +r +t 6 6 4 8 = 9, t R, dvs om F Gu = 6, 4, så gäller u =,,+t,9, för något t R. 4. Enligt sats 6.., sid erhålls det minsta avståndet då u = v U, dvs det sökta avståndet blir min u U v u = v v U = v U. Problemet kan lösas på flera sätt. Alternativ : Bestäm enon-basiu. Beräkna sedan v U genomortogonalprojektion i enlighet med sats 6..9, sid 46 och det sökta avståndet som i ovan. Alternativ : Beräkna v U genom att använda minstakvadrat-metoden. Fortsätt sedan som i alternativ. Alternativ : Bestäm en ON-bas i U och beräkna v U = v U genom ortogonalprojektion i enlighet med sats 6..9, sid 46. Beräkna därefter v U = v v U. Alternativ : Bestäm först en bas i U genom att lösa ekvationssystemet som definierar U. { { x x + x x 4 = x + x + 4x x 4 = x x + x x 4 = x + x = x x x x 4 = x x +x 4 = s+t x = s s t = s +t f = e, e = e e = f f = e e = e +e = e v U = v f f +v f f =, s,t R., f = e.
= e 7 e e + 4 = 6 e v U =v v U =e +8 4 e 7 = e e =e e 7 e e = Avståndet= e = = 4, dvs min v u = 4 och detta minsta avstånd fås för u = v u U U =,,,. Alternativ : Låt k =,,,, k =,,, och studera det olösbara ekvationssystemet λ k +λ k = e Bestäm minstakvadrat-lösningen. A t A t λ A A t A = v U =,,, = e λ λ = e = 6 7, 7 = 7 = 6 6 λ = = λ λ 6 λ = = = λ = e. = v. λ = λ vilket förstås är detsamma som vi fick i alternativ. Fortsätt sedan på samma sätt som där.
Alternativ : Genom att skriva ekvationerna för U som skalärprodukter fås att U kan ses som de vektorer som är ortogonala mot,,, och,,4,, dvs U = [,,,,,,4, ]. Fortsättnusomialternativ,dvsbestämenON-basochberäknav U = v U genom projektion. Vi kan därmed beräkna avståndet direkt och sedan får vi v U = v v U.. Kvadratkomplettera. Vi får då Qx,y,z = x +4xz +4y +4yz +az = x +xz+4y +4yz +az = = x+z z +4y +4yz +az = x+z +4y +4yz +a z = = x+z +4y +yz+a z = = x+z +4 y + z 4 z +a z = = x+z +4 y + z +a z. a Ur detta följer att se, tex sats 9..9, sid 6 Q är positivt definit om a > Q är positivt semidefinit om a = Q är indefinit om a <. b Med a = får Q matrisen λ A = 4, deta λi = 4 λ = [Utveckla efter rad ] = λ = λ 4 λ λ + 4 λ = λ4 λ λ 4 44 λ = = λ λ 7λ+8 6+4λ = λ 4λ+6 λ +7λ 8λ 6+4λ = = λ +9λ 8λ = λ λ 9λ+8 = λ =, 9 8 ± 4 7 4 = 9± =,6. Enligt sats 9..9, sid 6 är Q positivt semidefinit. 6. Beräkna egenvärdena på vanligt sätt. deta λi = λ a λ = λ 4 a = λ = ± 4+a.
Följaktligen,omskallvaraegenvärdemåstea=.Dåfåsattdetandraegenvärdet är. Beräkna egenvektorerna. λ = : = X = t, f = e λ = : = X = t, f = e f = et = e, T =. Om vi ser A som avbildningsmatris för en linjär avbildning så blir matrisen diagonal efter byte till bas av egenvektorer. Vi får n A n = T T = T T C C n = C = T n = C C T n = +C = +C T +C n = = +C ++C n = = +C + +C n. Då n saknar gränsvärde då n följer det att C = för att gränsvärde skall kunna existera. Insättning av C = i uttrycket ovan ger A n = = C för alla n varur följer att även gränsvärdet är. 7. a Vi börjar med att konstatera att A är en ortonormal matris eftersom kolonnvektorerna är en ON-bas, tex är e 4 9 8 = +4 +8 9 = 8 8 =, e 4 e 4 = 8 6+8 =. 9 8 Därmed är F isometrisk enligt sats 7.7., sid 9. Beräkna deta. deta = 8 4 r 4r r 9 4 4 7 8r 8 4 = 8 4 9 6 9 6 6 = 9 9 4 7 4 = 6 7 =. 9
Därmed, enligt sats 7.7.6, sid 9 är F en vridning. Då vridningsaxeln är en egenvektor med egenvärde fås denna ur 9 8 4 8 8 4 4 4 9 7 = 4 7 r /4 4 7 r r r 4r 8 4 9 8 8 9 9 9 9 = X = t, t R, dvs vridningsaxeln är,,. r +r = b För att hitta vridningsvinkeln på föreskrivet sätt börjar vi med att konstatera att lämpligt u är en vektor ortogonal mot vridningsaxeln, tex u =,,. Ur figur 7.b, sid 77 ser vi att vridningsvinkeln då är precis vinkeln mellan u och Fu. genom att beräkna skalärprodukten mellan u och Fu ur både koordinaterna och definitionen fås F,, = e 8 4 4 4 7 = 9 9 e 8 4 u Fu = e 9 e = 6 9 = 4 4 = u Fu cosθ = cosθ cosθ = 8 9.