Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 8 Johan Lindström 9 oktober 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 1/26 process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 2/26 process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 3/26
er av normalfördelningar (Kap. 6.5) er av simultant normalfördelade s.v. är normalfördelade. Om X i N(μ i, σ i ) och Y = a i X i gäller Y N(E(Y), D(Y)) Y N a i μ i, n a 2 i σ2 i om alla X i är oberoende av varandra Läs själva: Kap. 6.6 Tvådimensionell Normalfördelning Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 4/26 Linjärisering av g(x) kring punkten μ = E(X) g(x) g(µ) + g (µ)(x µ) g(µ) g(x) µ Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 5/26 sformler (Kap. 11.1; Sats 11.5) Taylor-utveckla funktionen g kring μ i = E(X i ) g(x 1,..., X n ) g(μ 1,..., μ n ) + g x i (μ 1,..., μ n )(X i μ i ) Väntevärde av Y = g(x 1,..., X n ) approximeras nu av E(Y) g(e(x 1 ),..., E(X n )) V(Y) ci 2 V(X i ) + 2 c i c j C(X i, X j ) i<j }{{} = om X i oberoende där c i = g ( ) E(X 1 ),..., E(X n ) x i Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 6/26
Feluppskattning av väntevärde Feluppskattningar av approximationen är nu ( ) ( E g(x) g E(X)) max g (θ) D(X) θ ( ) ( E g(x) g E(X)) max g (θ) V(X) θ 2 Där max θ är över alla värden som den s.v. X kan anta. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 7/26 (CGS + Gaussapproximation) Om X 1, X 2,..., X n är oberoende lika fördelade variabler med E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 så gäller att ( g(x n ) N g(μ), g (μ) ) σ då n (mycket) stort. n Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 8/26 process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 9/26
CGS (Kap. 6.7) Om X 1, X 2,..., X n är oberoende likafördelade stokastiska variabler med E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 så är eller ( n P X ) i nμ σ a Φ(a) n då n för alla a X i N ( nμ, σ n ) då n stort (n ) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 1/26 process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 11/26 fördelning X Bin (n, p) (Kap. 3.4f, 7.2) Förekomst: En händelse A med P(A) = p upprepas n oberoende gånger. X = Antalet gånger som A inträffar. Sannolikhetsfunktion: ( ) n p X (k) = p k (1 p) n k, k =, 1,..., n k Egenskaper: E(X) = np V(X) = np(1 p) X = Y i Bin (n, p) om Y i Be(p), oberoende Om np(1 p) 1 är X ungefär normalfördelad. Om n 1 och p är X ungefär fördelad, X Po (np). Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 12/26
fördelning X Bin (2, p).4 p = p =.3 p =.5.3 5 5 1 2 5 p =.7 1 2 1 2.4.3 p =.9 1 2 1 2.4.3 p =.95 1 2 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 13/26 Företagskonkurser enligt Moodys Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 14/26 Företagskonkurser enligt Moodys (Kap. 7.2c) I goda tider sker företagskonkurser relativt oberoende av varandra. Enligt Moodys så är sannolikheten för en konkurs inom fyra år för ett Baa3 företag 2.6%. Vad blir sannolikheten att 2 eller fler företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 15/26
vid N-approx av diskret s.v. X Bin (5,.5) Y N ( 25, ) 12.5 (Kap. 7.2c) p X (k), f Y (x) 1 F X (k), F Y (x).5 1 2 3 4 5 P(X 3) P(Y 3.5) 27 28 29 3 31 32 33 1 2 3 4 5 1.8.6 P(X 3) P(Y 3.5) 27 28 29 3 31 32 33 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 16/26 process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 17/26 fördelning X Po (μ) (Kap. 3.4h, 7.4) Förekomst: Räknar antal händelser (under en tidsperiod). Sannolikhetsfunktion: p X (k) = e μ μk k! k =, 1,... Egenskaper: E(X) = μ V(X) = μ Om X Po(μ 1 ) och Y Po(μ 2 ), ober. så är X + Y Po(μ 1 + μ 2 ) Om μ 15 är X ungefär normalfördelad. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 18/26
Företagskonkurser II (Kap. 7.4c) Enligt Moodys så är sannolikheten för en konkurs inom fyra år för ett Aaa företag 1/5. Vad blir sannolikheten att 3 eller fler företag i en pool på 1 gått i konkurs inom fyra år? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 19/26 process process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 2/26 process En stokastisk process {X(t), t T} är en följd av stokastiska variabler, en slumpmässig funktion av t. För ett fixt t är X(t) en stokastisk variabel. Beroende på vilka värden X(t) och t kan anta har vi (minst) följande fyra kombinationer med exempel: Tid Process Diskret Kontinuerlig Diskret Markovkedjor (F9) process (FMSF15/MASC3) Kontinuerlig Stationära stokastiska Prissättning av derivat (FMSF1/MASC4) (FMSN25/MASM24) Tidsserieanalys Finansiell statistik (FMSN45/MASM17) (FMSN6/MASM18) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 21/26
process 5 Kontinuerlig tid; Diskreta värden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Diskret tid; Kontinuerliga värden -2 24-4 -6 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Diskret tid; Diskreta värden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 22/26 process Fördelning för ökningar En stokastisk process {X(t); t T} har Oberoende ökningar om X(t 2 ) X(t 1 ), X(t 3 ) X(t 2 ),..., X(t n ) X(t n 1 ) är oberoende för alla t 1 < t 2 < < t n i T. Stationära ökningar om fördelningen för X(t + h) X(t) inte beror av t utan bara av h. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 23/26 process process (Kap. 7.4a) En poissonprocess med intensiteten λ är en diskret s.p. med kontinuerlig tid {X(t), t } med följande egenskaper: 1. Antalet händelser i icke överlappande intervall är oberoende (oberoende ökningar). 2. X(t) Po(λ t) 3. X(t) X(s) Po(λ(t s)), < s < t, (stationära ökningar). 4. Tiden Y mellan ökningarna är Y Exp(λ). Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 24/26
process Realisering av poissonprocess, X(t) Po(λt) Processen startar med värdet då t =, dvs X() = Tidsavstånden mellan processens ökningar är Exp(λ)-fördelade. 1 3 tidsutvecklingar av en poissonprocess med λ = 1 8 X i (t) 6 4 2 2 4 6 8 1 12 14 16 t Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 25/26 Dreamliner process NTSB Interim Factual Report (March 7, 213) Boeing also determined that the probability that a battery could vent was once in every 1 million flight hours. As of January 16, 213, the in-service 787 fleet had accumulated less than 52 flight hours, and during this period two events involving smoke emission had occurred. Antag att antalet fel kan modelleras som en poissonprocess: Vad borde intensiteten, λ, vara? Vad är sannolikheten för 2 eller fler händelser under 52 flygtimmar? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 26/26