Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning av derivator och integraler. Känner man för att fortsätta på en civilingenjörsutbildning är det mycket lämpligt att man använder kap 3 för att fördjupa sina kunskaper. Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet 1. Diskussion 2. GeoGebra g(x) = h(x) = f(x) = If[x 1 <=x<=x 2, g(x), h(x)] CAS: f(x) -> Integral 3.1 Derivator Repetition (sid 120-125) I princip är hela avsnitt 3.1 en repetition från Ma3c och Ma4, även om problemen blir svårare. Det första delavsnittet kallas också för repetition och här väljer man själv vad och hur mycket man vill göra eller allt.
Några bevis (126-127) Ska man bevisa något om derivata så måste man oftast gå tillbaka till definitionen. Repetera Matematik 5000 3c kap 2.2 sid 77 82, Matematik 5000 4 kap 2.3 sid 74 76, Matematik 5000 4 kap 3.1 sid 100 102. Sedan handlar det mest om algebraiska manipulationer. Lös 3133, 3134, 3135, 3138, 3139 och eventuellt 3140 och 3141. Tangenter och linjär approximation (128-129) Om man vill approximera grafen till en funktion y=f(x) i en punkt (a,f(a)) är rimligen tangenten genom punkten på grafen den bästa approxiamtionen. Som bekant fås lutningen denna tangent mha derivata. Approximation med tangent kan t.ex. vara ett bra hjälpmedel om man vill studera en komplicerad funktion "lokalt" (dvs nära en given punkt). Lös 3143, 3145, 3146, 3149 och eventuellt 3150, 3151. GeoGebra Förändringshastigheter och derivata (sid 130-135) Detta handlar i princip användning av användning kedjeregeln, fast man måste hantera "okända" funktioner i sin derivering. Ett exempel (lite krystat och där notationen inte är exakt som boken): Arean av en kvadrat ökar med 5 cm 2 /s. Hur fort ökar sidlängden i det ögonblick (t=t 0 ) då sidan är 10 cm? Vi vet (såklart) att A(t)=s(t) 2 Eftersom det efterfrågas hastighet deriverar vi ovanstående med avseende på t och får A (t)=2 s(t) s (t) Observera användningen av kedjeregeln då högerledet deriveras. Insättning av kända värden ger nu 5=2 10 s (t 0 ) ur vilket s (t 0 ) enkelt kan bestämmas. Principen är alltså att man tecknar ett samband för storheter (som var och en t.ex. beror på tiden). Detta samband deriveras sedan och man erhåller ett samband mellan motsvarande derivator/förändringshastigheter. Observera att boken använder ett alternativt skrivsätt för derivator, nämligen
A (t) = ", " s (t) = ", " A (s) = " " I exemplet ovan kan kedjeregeln alltså formuleras " = " " " " " Lös 3156, 3157, 3161, 3163, 3166, 3168. 3.2 Extremvärden Den vanligaste tillämpningen av derivator är nog extremvärdesproblem. Taktiken är som bekant att leta upp derivatans nollställen och sedan klassificera punkter med teckentabell eller andraderivatans tecken. Det som kan vara lite knepigt är att konstruera en egen funktion från figur eller text. När man gör detta bör man dessutom notera definitionsmängden, och komma ihåg att också eventuella ändpunkter till intervall måste beaktas med avseende på max/min. GeoGebra Tillämpningar och problemlösning (sid 137-143) Uppgifterna nedan är en kraftig utglesning, men dom räcker till. 3205 till 3228 bör alla lösa eller i alla fall ha koll på. Övriga är lite svårare och för de som strävar mot högre betyg. Lös 3205, 3208, 3212, 3215, 3218, 3220, 3222, 3228 samt eventuellt 3233, 3234, 3236, 3237 (inte så lätta uppgifter). 3.3 Integraler Primitiva funktioner, integraler och areaberäkning (sid 145-149) Detta är i princip repetition från Matematik 4, dock kan de enskilda problemen var lite svårare eller mera "tekniska". Av a-uppgifterna bör man klara dom flesta. b- och c-uppgifterna arbetar man med om man vill ha svårare problem. 3321 är inte "standard" så här får man tänka efter. Lös uppgifter efter behov vilket kan innebär några a-uppgifter och sedan b- och eventuellt c-uppgifter. 3321 är som sagt svår. Geometriska sannolikheter (sid 150) Egentligen inget nytt. Man modellerar med areor när man räknar utfallsrum. Dessa areor kan sedan bestämmas t.ex. med integral. Lös 3322, 3323. 3324 är intressant men ganska svår och måste i nuläget lösas utan integraler. För att bestämma den gröna arean krävs lite eftertanke. Partiell integration (sid 151-153) Som bekant så är primitiv funktion ett bra hjälpmedel för att räkna ut integraler. Ju fler primitive funktioner man klarar ju fler integraler klarar man därmed.
Partiell integration är en "metod" för att bestämma vissa primitiva funktioner, och den är i princip en spegelbild av deriveringsregeln för en produkt (inte så oväntat att varje deriveringsregel har en motsvarigthet). Som boken visar får man f(x)g(x)dx = F(x)g(x) F(x)g (x) där man alltså överför bestämmandet av primitiven till f(x)g(x) till bestämmandet av primitive funktionen till F(x)g (x). Nu finns det ju inget som säger att den senare blir enklare än den förra i allmänhet. Man måste därför "veta vad man sysslar med" när man partialintegrerar. Detta lär man sig genom att kika på exempel och träna själv. Lös samtliga a- och b-uppgifter och eventuellt 3333 och 3334. Volymberäkning med skivmetoden (sid 154-156) I slutet av Ma4 kikade vi på hur man kan beräkna volymen på rotationskropar. Vi tänkte oss då att man skivade upp kroppen i smala skivor ("nästan cylindrar") och tecknade den sammanlagda skivvolymen som integralen A x dx = lim, A( x i )Δ x där A(x)Δx kan ses som volymen på en "smal" cylinder och där alltså A(x)=πx 2 är tvärsnittsarean. Notera dock att skivorna inte måste vara cylindrar, för att teckna A(x)Δx räcker det ju att ha koll på hur stor tvärsnittsarean är för ett godtyckligt x. Integralen kan sedan beräknas med primitiv funktion (förutsatt att vi kan finna en primitiv, och det kan vi nästan alltid i denna kurs) Rotationer runt y-axeln hanteras på motsvarande sätt. I princip handlar det bara om att "byta variabel". Lös 3337, 3339, 3341, 3343 och eventuellt 3345. Volymberäkning med cylindriska skal (sid 158-159) I förra avsnittet delade vi upp en kropp i skivor, tecknade volymen för sådana skivor och summerade med en integral för att få hela volymen. Det finns emellertid inget som säger att man måste dela upp i skivor, man kan dela upp som man vill, bara det går att göra uppdelningen oändligt fin, och att man kan teckna lämpliga uttryck. Ett alternativ, när det gäller rotationskroppar, är att dela upp i cylindriska skal eller rör. Se boken för illustration. Varför ska man hitta på denna nya metod? Jo, ibland blir det enklare räkningar med skivor och ibland enklare med rör. Lös samtliga a-uppg, 3353 och eventuellt 3355. 3353 och 3353 finns lösta.
Generaliserade integraler (sid 160-161) Det finns två typer av generaliserade integraler, de där funktionen är odefinierad i någon ändpunkt, t.ex. 1 x och de där man integrerar över obegränsat intervall, t.ex. dx dx Enbart det sista alternativet behandlas i boken. Iden är att se integralen som ett gränsvärde. Om detta gränsvärde går att bestämma ändligt säges integralen vara konvergent, annars divergent. Räkningen sker som vanligt men avslutas med en gränsvärdesräkning, se bok för exempel. Ett resultat som verkar paradoxalt är att den "strut" man får om kurvan y=1/x, 1 x< roterar runt x-axeln får oändlig yta men ändligt volym. Varför är detta en "paradox"? Räkningarna till detta exempel är dessvärre lite för svåra för Matematik 5, även om man ska göra det i uppgift 3360. Lös alla utom 3360.