TSRT21 Dynamiska system och reglering Välkomna till Föreläsning 10 Johan Löfberg Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för systemteknik johan.lofberg@liu.se Kontor: B-huset, mellan ingång 27 och 29
Dagens föreläsning 2 Förra föreläsningen: Tillståndsåterkoppling Idag: Integralverkan i tillståndsåterkopplingar Möjligheter och begränsningar vid återkoppling Sammanfattning av kursen
3 Whitt & Wilson, Bicycling science Many people have seen theoretical advantages in the fact that frontdrive, rear-steered recumbent bicycles would have simpler transmisions than rear-driven recumbents and could have the center of mass nearer the front wheel than the rear. The U.S. Department of Transportation commissioned the construction of a safe motorcycle with this conguration. It turned out to be safe in an unexpected way: No one could ride it.
4 Bakhjulsstyrd motorcykel Teoretisk studie med en matematisk model: instabil människan inte tillräckligt snabb för att stabilisera NHSA krävde att en prototyp byggdes ändå! Problemet är att statiskt uppvisar systemet många önskvärda egenskaper, men det är praktiskt oanvändbart p.g.a. dynamiken! (NSHA = U.S. National Highway Safety Administration)
Cykeldynamik (vanlig cykel) 5 Bevarande av vinkelrörelsemoment ger följande överföringsfunktion från styrvinkel till vältvinkel Poler: Nollställe:
Cykel+cyklist 6 Om cyklisten fungerar som en P-återkoppling så fås det återkopplade systemet Stabilt dvs poler i vänster halvplan om OK om V stor!
Bakhjulsstyrd cykel 7 Motsvarar teckenbyte på hastigheten! Poler: Nollställe: Går ej att stabilisera med P-återkoppling! Annan återkoppling? Fundamental svårighet: nollställe i höger halvplan dvs icke-minfas
8 Är modellen ovan realistisk? Nej, framgaffelns design har stor betydelse. (Tack vare den går det att cykla utan att hålla i styret.) Nej, pålagt moment är insignal snarare än styrvinkeln. Nej, flera styrsignaler. MEN även för en mer avancerad modell gäller hastighetsberoende icke-minfas
Nollställen Svåra att analysera! Kan inte introducera instabilitet (nollställen svarar mot en derivering av insignalen) Nollställen representerar fysikaliska egenskaper hos systemet som vi inte kan ta bort genom återkoppling! Nollställen i höger halvplan: Kallas instabila nollställen System med instabila nollställen kallas icke-minfas system Stegsvaret går åt fel håll först (cykeln!) Nollställen i vänster halvplan Kan ge översläng även om polerna reella 9
Nollställen & Stegsvar (Poler i -3 och -5) 10 2 Step Response 1.5 1 0.5 Amplitude 0-0.5-1 -1.5 Inget nollställe Nollställe i -1 Nollställe i -6 Nollställe i 1-2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time (sec)
Instabila nollställen: Praktiska exempel 11 Bakhjulsstyrd cykel: Extremt svår att styra. Systemet har ett instabilt nollställe som i kombination med en instabil pol, gör det så gott som omöjligt för en människa att reglera cykeln. Parkering: Dynamiken vid fickparkering baklänges indikerar på ett instabilt nollställe. För att kunna komma in i luckan måste vi initial tvinga bilen att gå i fel riktning, dvs framhjulen svänger initialt i en sådan riktning att fronten och föraren rör sig ut från trottoaren Motstyrning: På en cykel, vid tillräckligt hög hastighet, måste man initial styra åt fel håll när man skall svänga, i syfte att få cykeln att välta in i kurvriktningen (Film: motorcykel)
Sammanfattning 12 Det går inte alltid att tänka statiskt. Dynamiken spelar roll! Designen ger vissa fundamentala begränsningar Reglerteknikern arbetar utifrån given design (och därmed utifrån givna begränsningar)
Sammanfattning av kursen
Grundläggande problem 22 Stabilitet: Undvik kraftiga åtgärder baserade på alltför gammal information. Begränsningar: Utrymmet för åtgärder är begränsat (miljö & ekonomi!) Skilj på tillfälliga variationer i resultatet och långsiktiga trender. Är vår uppfattning av systemets egenskaper korrekt? Det går inte alltid att tänka statiskt. Dynamiken spelar roll! (bakhjulsstyrda cykeln!) Designen ger vissa fundamentala begränsningar (Veka ABB-robotar, Bakhjulsstyrd cykel!)
Dynamiska system och reglering 23 u(t) v(t) System y(t) Med en matematisk modell utgående från kända fysikaliska samband och/eller uppmätta storheter kan vi Göra experiment med modellen (Simulera!) Analysera modellen: Stabilitet Snabbhet, slängighet (oscillationer) Stationärt värde Ta fram en regulator
24 Matematisk modell Differentialekvationer Dynamisk modell: Statisk modell: v(t) u(t) System y(t)
25 Matematisk modell v(t) u(t) System y(t) Linjära differentialekvationer Tillståndsekvation: Om alla begynnelsevärden är noll: Överföringsfunktion G(s) Olinjära system? Approximera med ett linjärt system kring en arbetspunkt
Insignal-utsignalsamband En minimal tillståndsbeskrivning med n tillståndsvariabler dvs n första ordningens differentialekvationer: 26 kan överföras till en n:te ordningens linjär differentialekvation:
Lösningen till n:te ordningens differentialekvation 27 Lösningen ges av där är någon lösning till diff.ekv. ges av där är rötter till den karakteristiska ekvationen beräknas med hjälp av begynnelsevärden
Tidskontinuerliga signaler Differentialekvation 28 Laplacetransform: Om alla begynnelsevillkor är noll kan differentialekvationen laplacetransformeras. Vi får då där är systemets överföringsfunktion
29 Poler och nollställen Överföringsfunktion Poler: Rötterna till (rötter till den karakteristiska ekvationen) Nollställen: Rötterna till ekvationen
Linjärisering av olinjära system 30 dvs kallas en jämviktspunkt (stationär punkt) för (*) om
Linjärisering av olinjära system, forts 31 Kring approximeras (*) av där och
Linjärisering av olinjära system, forts 32
Tillståndsbeskrivning En tillståndsbeskrivning med n tillståndsvariabler dvs n första ordningens differentialekvationer: 33 Om alla begynnelsevärden är noll fås överföringsfunktionen: Polerna till systemet G(s) ges (om minimal realisering) av egenvärdena till A
Minimal tillståndsbeskrivning 34 En tillståndsbeskrivning är minimal om motsvarande insignal-utsignalsamband ej kan beskrivas med färre tillståndsvariabler Följande påståenden är ekvivalenta: Tillståndsbeskrivningen är minimal Dimensionen hos x = gradtalet i G:s nämnare Ingen förkortning då G(s) beräknas Både styrbart och observerbart
Styrbarhet och observerbarhet 35
Stabilitet Definition Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. 36 Slutsats: Alla poler (egenvärden) i vänster halvplan dvs strikt negativ realdel.
Samband polernas läge & kvalitativa egenskaper 37 Stabilt om alla poler strikt i vänster halvplan. Snabbheten är proportionell mot närmsta polens avstånd till origo. Slängigheten ökar med polens vinkel mot reella axeln. Sämsta polen bestämmer.
Dynamiska modeller och reglering Välj styrsignalen (u(t)) så att systemet (utsignalen y(t)) uppför sig som önskat (referenssignalen r(t)) trots störningar (v(t)) 38 v(t) r(t) Regulator u(t) System y(t) Återkoppling!
Hur får vi kunskap om utsignalen y(t) och hur får vi insignalen u(t)? 39 Regulator System Sensor Sampl. Regleralgoritm Håll
Utsignal Tidsdiskret insignal 40 Sensor Sampl. Regleralgoritm Håll Mätt utsignal Samplad mätt utsignal (tidsdiskret signal) insignal
Samplande regulator (figur 3.2 i kompendiet) 41
Tidsdiskreta signaler 42 Differensekvation Z-transform: Om alla begynnelsevillkor är noll kan differensekvationen Z-transformeras. Vi får då är systemets överföringsfunktion är samplingstiden
Tidskontinuerliga tidsdiskreta signaler 43 y(t) Differentialekvation y(k) Differensekvation Laplacetransform Z-transform Överföringsfunktion Överföringsfunktion
Samplad sinus (figur 2.5) 44
45 Hur får vi insignalen u(t)? Regulator System Sensor Sampl. Regleralgoritm Håll PID-regulator Tillståndsåterkoppling
PID (Proportionell Integrerande Deriverande) P-återkoppling (Proportionell): (Använder felets storlek nu.) 46 I-återkoppling (Integrerande): (Använder felets storlek vid tidigare tidpunkter.) D-återkoppling (Deriverande): (Använder felets derivata nu dvs ökar eller minskar felet.)
PI-återkoppling (Proportionell, Integrerande) 47 Alltså: Integrerande återkoppling medför att Alltför kraftig I-återkoppling kan ge oscillativt system (beror på felets storlek vid tidigare tidpunkter dvs använder gammal information, litar man för mycket på gammal info fås oscillationer och i vissa fall instabilitet)
PID (Proportionell Integrerande Deriverande) 48 P-del: Stor P-del ger litet stationärt fel och snabbt system Stor P-del kräver stora styrsignaler I-del: Eliminerar ofta stationärt fel t.ex. beroende på stegstörningar. Kan göra systemet mer oscillativt (litar man för mycket på gammal info fås oscillationer) D-del: Minskar ofta överslängen i stegsvaret. Gör systemet mera bruskänsligt.
PID (Proportionell Integrerande Deriverande) 49 Vanligt skrivsätt:
Hur väljer vi parametrarna i PID-regulatorn? 50 1. Pröva sig fram (svårt med tre parametrar) 2. Använd inställningsregler t ex lambda-tuning 3. Räkna fram bra värden utifrån modellen av systemet studera polerna för det återkopplade systemet
Tillståndsåterkoppling 51 Tillståndsåterkoppling: Återkopplade systemet: Välj L så att önskade poler fås (dvs önskade egenvärden till återkopplade systemets systemmatris A-BL) Välj så att det slutna systemet får statisk förstärkning 1.
Tillståndsåterkoppling 52 Nollställena flyttas inte I praktiken begränsas valet av poler av (snabbt system stor styrsignal) Var bör polerna placeras? storlek
Översätt den tidskontinuerliga differentialekvationen till en tidsdiskret algoritm 53 dvs ta fram ett uttryck för baserat på gamla samplade värden. Eulers metod:
Den tidsdiskreta algoritmen behöver också hantera: 54 1. Integratoruppvridning pga begränsad styrsignal 2. Filtrering av D-delen