KTH Solid Mechanics Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE025) den 0 juni 206 kl. -9 Resultat kommer att finnas tillgängligt senast den 30 juni. Klagomål på rättningen skall vara framförda senast en månad därefter. OBS! Tentand är skldig att visa legitimation. Skriv endast på en sida av bladet. Skriv tdligt namn och personnummer på varje blad. ösningar som är otdliga och svåra att följa kommer inte att bedömas. Hjälpmedel: Formelsamling i Hållfasthetslära, TEFYMA, BETA eller liknande, samt räknedosa. arare: Jonas Neumeister (eaminator, tel: 790 767) och Erik Olsson (tel: 073033025) Betgsgränser: F(underkänd) p 0 ; FX(möjlighet till kompletteringstentamen) p ; E p 3 ; D p 5 ; C p 7 ; B p 20 ; A p 23, där (p tentamen+bonus).. En dragen stång (normalkraft N) av elastiskt material (E), längd och med varierande tvärsnittsarea A() skall analseras med två metoder. Här är: A A 0 3 + -- 2 a) [2 poäng] Bestäm, genom integration över längden, 0 stångens komplementära elastiska energi W och sedan d (mha av lämplig derivata) stångförlängningen N. u Nd e b) [2 poäng] Bestäm mha formfunktioner och ekvationerna (enligt figuren) dels elementets stvhetsmatris N -- -- B K e, samt nodförskjutning d från uppställda FEMekvationer för samma problem K e B T EABd, K c) [ poäng] Bestäm spänningarna i stångens båda ändar e d e F e mha FEM-lösningen och dess förskjutningsfält u och jämför dessa med rätt värden (från jämvikt). N E, A(), d 2 d -----N d 2. [ poäng] En ramkonstruktion består av två balkar (längd 2, olika böjstvheter) och belastas med en vertikal kraft P 0 vid punkt C till höger, se figur. Bestäm, mha energimetoder, både förskjutning och rotation vid punkten C, samt inspänningsmomentet nedtill vid punkt A. Notera: Beroende på i vilken ordning olika erforderliga storheter beräknas kan beräkningarnas längd/omfattning skilja sig åt en del. Ännu kortare blir de ifall man helt avstår från att beräkna rotationen, men då kan uppgiften maimalt ge 3 poäng. 2EI, 2 B A EI, 2 P 0 C 3. Konstruktionen i uppg. 2 består av två standard balkelement. Förekommande nollskilda frihetsgrader har numrerats (och sammanfaller med element e:s numrering). a) [2 poäng] Ställ upp (dvs assemblera och reducera) ekvationssstemet för strukturen, ange specifikt lastvektor F red (från uppg. 2) och den reducerade (3 3-) stvhetsmatrisen K red. b) [3 poäng] Man har därefter beräknat att d 2 P 0 2 /(2EI). Använd detta i ekvationssstemet (från 3a) för att bestämma värden på d 3 och d, samt kontrollera även att momentet associerat med d 2 då blir rätt. d 3 d d 2 EI, 2 2EI, 2 e2 e Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE025) den 0 juni 206 kl. -9
KTH Solid Mechanics. [3 poäng] En FEM-modell består av ett plant -nods isoparametriskt samt ett triangulärt CST-element, båda av tjocklek h (se figuren till höger). På randen mellan nod 3 och belastas det av spänningsvektorn t [p(), q()] T givna i figuren. (-2,) p() p 0 +p (+/2) (0,) Bestäm hela nodlastvektorn med både konsistenta nodlaster och samtliga resulterande reaktionskrafter i denna. Notera dock: Reaktionskrafterna behöver inte beräknas eplicit. q() q (+/2) (-2,0) (0,0) (,0) 5. FEM-modellen i uppg. belastas i stället med endast en horisontell kraft F i nod 3, se figur. a) [ poäng] Beräkna nodförskjutningen i - och -led för den noden. Plan spänning råder, och materialets elasticitetsmodul är E emedan tvärkontraktionstalet 0. Stvhetsmatrisen för -nods elementet (med standard nodnumrering) är given eplicit nedan, och CST-elementets kan bestämmas mha de givna ekvationerna. edning: Fundera över vilka termer du verkligen behöver veta värdena på innan dessa beräknas. [] [3] (0,) (-2,) (-2,0) (0,0) (,0) [5] [] [2] F -nods element: CST-element: b) [ poäng] Beräkna spänningarna i punkten (-2, ) baserat på nodförskjutningen från uppg. 5a. Om dessa inte beräknats kan värdena u 5F/(Eh), respektive u -F/(8Eh) användas i stället. (Notera dock att dessa inte är de korrekta svaren.) Tentamen i FEM för ingenjörstillämpningar (SE025) den 0 juni 206 kl. -9 2
KTH Solid Mechanics FEM for Engineering Applications (SE025): Eam June 0, 206, 2-7pm Results will be available no later than juni 30. Appeals about grading need to be done within one month thereafter. Attention: The student is required to show valid identification. Onl write on one side of the paper. Write our name and identification number on each page. Solutions that are unclear and hard to follow will not be graded. Aid: Hand book of Solid Mechanics, one mathmatical handbooks, pocket calculator. Eaminer and Teachers: Jonas Neumeister (eaminator, tel: 790 767) och Erik Olsson Grading: F(failed) p 0 ; FX(complementar eam för grade E) p ; E p 3 ; D p 5 ; C p 7 ; B p 20 ; A p 23, where p eam plus bonus points. A rod in tension (normal force N) of elastic material (E), length and varing cross section area A() is analsed using two methods. Here: A A 0 3 + -- 2 a) [2 points] Determine, b integration over its length, the complementar elastic energ W of the rod and then (using a suitable derivative) its elongation N. b) [2 points] Establish b using shape functions and equations (given to the right) the stiffnes matri K e for the element, and then the nodal displacement d from the resulting FEM-equations. c) [ points] Determine stresses at both nodes, b use of the FEM-solution and its displacement field u, and compare to true stresses (from equilibrium). N E, A(), 0 d u Nd e N -- -- B K e B T EABd, K e d e F e d 2 d -----N d 2. [ points] A frame consists of two beams (length 2, different bending stiffness) and is loaded b a vertical force P 0 at point C to the right, see the figure. Determine, using energ methods, both discplacement and rotation at point C, as well as the reaction moment at point A. Note: Depending on the sequence of calculating various necessar quantities, the required calculations ma differ notabl in length. Calculations become even shorter if one entirel omits determining the rotation, but then the problem earns at most 3p. 2EI, 2 B A EI, 2 P 0 C 3. The frame in problem 2 consists of two standard beam elements. Arisning non-zero DOF:s are indicated (in a wa agreeing with the numbering of element e). a) [2 points] Establish (i.e. assemble and reduce) the sstem of equations for the structure, and state eplicitl the load vector F red (from problem 2) and the reduced (3 3-) stiffness matri K red. b) [3 points] The value d 2 P 0 2 /(2EI) has been determined. Use this and the equations (from 3a) to calculate values for d 3 and d, and using those also ensure that the moment associated with d 2 is correct. d 3 d d 2 EI, 2 2EI, 2 e2 e FEM for Engineering Applications (SE025): Eam June 0, 206, 2-7pm 3
KTH Solid Mechanics. [3 points] An FEM-model consists of one plane - node isoparametric- and one triangular CST-element, both of thinckness h (see figure to the right). On the boundar between nodes 3 and, it is loaded b traction vector t [p(), q()] T specified in the figure. (-2,) p() p 0 +p (+/2) (0,) Determine the complete nodal load vector, with both consistent nodal loads and reaction forces. Do note: Calculating those reaction forces is not required. q() q (+/2) (-2,0) (0,0) (,0) 5. The FEM-model in problem is instead loaded b a horisontal force F on node 3, see the figure. a) [ points] Determine nodal displacements in the - and -directions for that node. Plane stress conditions appl, and for the material Young s modulus is E while Poisson s ratio 0. The stiffness matri for the -node elementet is stated eplicitl below (using standard node numbering), and for the CST-element it can be calculated using the equations provided there. Hint: Before calculating the various terms, ponder which values ou will actuall need to get the answer. [] [3] (0,) (-2,) (-2,0) (0,0) (,0) [5] [] [2] F -node element: CST-element: b) [ points] Calculate stresses at position (-2, ) based on nodal displacements from problem 5a. If those are not available, values u 5F/(Eh) and u -F/(8Eh) respectivel, ma be used instead. (However, note that those are not the correct answers.) FEM for Engineering Applications (SE025): Eam June 0, 206, 2-7pm
KTH Solid Mechanics FORMEBAD (komplement till Formelsamling i Hållfasthetslära) GOBA BESKRIVNING FÖR ENDIMENSIONEA EEMENT D K e k a a där a a a 2 D 3 2 D k 2 l a 2 l 2 m alternativt 2 2 l D 2 m 2 m 2 D, Balkelement: d d 2 2, EI 0 Plant element (2D): -sidigt isoparametriskt element: d d d 3 d d d 2 d d 2 Enaligt: K k k e (två frihetsgrader) k k Utböjning: 3 3 3 3 B T Bd -------- 3 2 3 2 2 2 3 N T Nd 3 3 3 3 3 2 2 3 2 d 3 d 3 i N i i c 2 sc sc s 2 c s cos sin l 2 cos 2 m 2 cos 2 2 2 + 2 2 w N d + N 2 d 2 + N 3 d 3 + N d Nd e B d 2 N --------- d 2 N 2 3 + 3 N 2 2 + 3 N 3 2 + 3 3 N + 2 + 3 -------- 05 78 22 27 3 22 8 2 3 6 2 27 3 78 22 3 6 2 22 8 2 N N 2 + N 3 + + N + i N i i N T d 3 2 ----- d2 N 2 --------- d 2 3 3 Förskjutningar: u v N 0 N 2 0 N 3 0 N 0 d e Nd e 0 N 0 N 2 0 N 3 0 N Töjningar: Bd e N i 0 B B B 2 B 3 B B i 0 N i N i N i Spänningar: FEM Ekv. (ett element): N i J N i där J N i N i Plan spänning: 0 Plan deformation: E C ------------------ 0 E C 2 00 ---------------- C ------------------------------------- + 2 2 B T CBdV d e N T tds + N T K v dv V e S e V e 0 0 0 0 2 2 t spänningsvektor på S e K v volmskraft i V e FEM for Engineering Applications (SE025): Eam June 0, 206, 2-7pm 5
KTH Solid Mechanics EQUATIONS AND FORMUAS GOBA DESCRIPTION OF -DIMENSIONA EEMENTS D K e k a a where a a a 2 D 3 2 D k 2 l a 2 l 2 m alternativel 2 2 l D 2 m 2 m 2 Uniaial: (2 DOF:s) K k k e k k c 2 sc sc s 2 c s cos sin l 2 cos 2 m 2 cos 2 2 2 + 2 2 D, Beam element: d d 2 2, EI 0 Plane element (2D): -node isoparametric element: d d d 3 d d Deflection: 3 3 3 3 B T Bd -------- 3 2 3 2 2 2 3 N T Nd 3 3 3 3 3 2 2 3 2 d 2 d d 2 d 3 w N d + N 2 d 2 + N 3 d 3 + N d Nd e B d 2 N --------- d 2 N 2 3 + 3 N 2 2 + 3 N 3 2 + 3 3 N + 2 + 3 d 3 -------- 05 78 22 27 3 22 8 2 3 6 2 27 3 78 22 3 6 2 22 8 2 i N i i N N 2 + N 3 + + N + i N i i N T d 3 2 ----- d2 N 2 --------- d 2 3 3 Displacements: u v N 0 N 2 0 N 3 0 N 0 d e Nd e 0 N 0 N 2 0 N 3 0 N Strains: Bd e N i 0 B B B 2 B 3 B B i 0 N i N i N i Stressses: FEM eq. (one element): N i J N i där J N i N i Plane stress: 0 Plane strain: E C ------------------ 0 E C 2 00 ---------------- C ------------------------------------- + 2 2 B T CBdV d e N T tds + N T K v dv V e S e V e 0 0 0 0 2 2 t traction vector on S e K v volume force in V e FEM for Engineering Applications (SE025): Eam June 0, 206, 2-7pm 6