SOLUTION

Transkript

1 TMMI (Del I, teori; 1 p.) Jämför de två konsolbalkarna (a) och (b). Båda har en punktmassa i höger ände, medan balken själv kan anses masslös.. Hur stort är? ( är egenvinkelfrekvenserna i fri svängning). Compare the two cantilever beams (a) and (b). Both have a point mass in the right end, while the beam itself can be considered massless.. How large is? ( are the eigenfrequencies in free vibration). (1 p) TMMI (Del I, teori; 1 p.) Förskjutningen hos en böjsvängande balk med kontinuerlig massfördelning kan skrivas. Ange de fyra (4) randvillkor som ska uppfyllas av -funktionen för balken i figuren The displacement solution of a vibrating beam with continuous mass distribution can be written. Give the four (4) boundary conditions to be applied on the function for the beam in the figure. (1 p)

2 TMMI (Del I, teori; 1 p.) Vid dimensionering mot utmattning måste Haigh-diagrammet reduceras för att ta hänsyn till egenskaper hos den dimensionerade komponenten som skiljer sig från dem hos standardprovstaven.vilken sådan egenskap är normalt den viktigaste (och kan ge mer än 40% reduktion av utmattningsegenskaperna)? When designing against HCF, the Haigh diagram must be reduced in order to take into account properties of the designed component which are different from those of the standard test specimen. Which such property is normally the most important one (and can give fatigue property reductions of more than 40 %)? (1 p) Surface condition (smoothness) TMMI (Del I, teori; 1 p.) Vid dimensionering mot lågcykelutmattning (LCF) är det töjningsamplituden (inte spänningsamplituden) som är avgörande. Förklara varför! When designing against low-cycle fatigue (LCF), it is the strain amplitude (not the stress amplitude) which is decisive. Explain why! In LCF situations, stresses are so high that in local areas (such as near notches, threads, ) one has local plastic flow. Since plastic flow means that the stiffness is extremely low compared with the stiffness of the surrounding and still elastic material, the deformation (i.e., the strain) in these small and plastic regions will be completely controlled by the deformation of the much larger and stiffer still elastic regions surrounding them. The small plastic regions are therefore strain-controlled, and it is, consequently, the strain amplitude in them which is decisive for the fatigue life. (1 p)

3 TMHL (Del II, problem; 3 p.) En masslös axel är lagrad i rullager och uppbär svänghjul med masströghetsmoment i vardera änden. Beräkna dess egenvinkelfrekvens i torsionssvängning. (Obs ekvationen för till höger, som kan vara till hjälp.) A massless shaft is supported by roller bearings and bears flywheels with mass moment of inertia at each end. Compute its eigenfrequency in torsional vibration. (Note the equation for to the right, which may be helpful.) (3 p) SOLUTION I. Free body diagram II. Equations of motion III. Stiffness equation (relation ) IV. Vibration equation(s) Two alternatives possible (a)

4 (b) TMHL (Del II, problem; 3 p.) En konsolbalk, som kan anses masslös, är fastmonterad i sin vänstra ände och uppbär en punktmassa i sin högra ände. Massan påverkas av en periodisk kraft., där är egenvinkelfrekvensen. Beräkna vilket som är tillåtet, om massans förskjutningsamplitud i stationär svängning inte får vara större än dubbla den förskjutning som orsakas av den statiska lasten p.g.a. massan. A cantilever beam, which can be considered massless, is mounted in its left end and carries a point mass in its right end. The mass is acted on by a periodic force., where is the eigenfrequency. Compute which is allowed, if the displacement amplitude of the mass in stationary vibration is not allowed to be larger than twice the displacement caused by the stationary load of the mass. I. Free-body diagram (3 p)

5 II. Equation of motion III. Stiffness equation IV. Vibration equation V. Stationary solution VI. Amplitude restriction Restriction given on the amplitude : with therefore TMHL (Del II, problem; 3 p.) En roterande axel belastas i sin fria ände av en vertikal kraft (se figur!). Skuldran som förbinder den grövre parten (diameter ) med den slankare parten (diameter ) ska utföras med en radie. En skuldreradie har föreslagits. Kontrollera om detta är O.K., om en säkerhet 1.5 mot utmattning krävs. A rotating shaft is loaded in its free end by a vertical force (see figure!). The shoulder section connecting the diameter part with the diameter part is to be made with a radius. A shoulder radius has been proposed. Check if this is O.K. if a safety of 1.5 against fatigue is required.

6 I. Nominal stress (3 p) I ediatel to the right o the shoulder osition i.e.. no no II. K t, K f correction and design a design III. Safety against fatigue design The safety is higher than required (1.5), and the choice of is therefore O.K. ANSWER

7 TMHL (Del II, problem; 3 p.) En bro på en järnvägslinje har dimensionerats för 20 passager per dag under 50 år av en viss loktyp, som kan antas ge en punktlast på bron. Alla andra laster antas försumbara. För den dimensionerande konstruktionsdetaljen har använts ett Wöhler-diagram enligt figuren. Eftersom vi känner till hur många lastcykler bron var dimensionerad för, kan vi alltså (genom direkt avläsning i diagrammet) sluta oss till hur stor den dimensionerande spänningsamplituden på grund av lokpassagerna var. Efter 30 år börjar linjen även trafikeras av en ny loktyp som är lite tyngre och ger punktlasten. Hälften av trafiken utförs därefter med den nya loktypen (och alltså den andra hälften även fortsatt av den äldre). Detta betyder naturligtvis att brons återstående livslängd reduceras. Använd Palmgren-Miners linjära delskadeteori för att avgöra när bron nu måste tas ur drift på grund av uppnådd utmattningslivslängd. (Att en del år är skottår med 366 dagar bryr vi oss för enkelhets skull inte om.) A bridge on a railway line has been designed for 20 daily passages during 50 years of a particular type of locomotive, which can be assumed to give a point load on the bridge. All other loads can be neglected in comparison. For the life-limiting component of the bridge, the Wöhler diagram shown in the figure has been used. From the knowledge of how many cycles the bridge was designed for, we can therefore (by direct reading in the diagram) find which locomotive passage stress amplitude was used in the design of the bridge. After 30 years of use, the railway company sets in another type of locomotive, which is heavier and gives a point load of. Half of the traffic is thereafter by this new locomotive type (while the other half is still by the older type). The remaining life of the bridge is, of course, reduced by this. Use the Palmgren-Miner linear theory to determine when the bridge can now be expected be at the end of its fatigue life and must be taken out of service. (The fact that some of the years are leap years with 366 days can for simplicity be neglected)

8 The bridge has been designed for 20 passages a day during 50 years, i.e.,for. Direct reading in the Wöhler diagram gives the design stress amplitude that was used: a ( ee hler diagra at the end o the solution ) After 30 years with this load amplitude, the damage accumulated is (3 p) After that, the new daily load history will be For a cycle, the Wöhler diagram gives, and with the new traffic situation, one da s tra ic therefore gives We now want to know how long time is needed (after the 30 th year) to consume the remaining damage. da s