EXAMINATION L Ö S N I N G A R ---- S O L U T I O N S

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "EXAMINATION 2009-10-19 14-18 L Ö S N I N G A R ---- S O L U T I O N S"

Barbro Berglund
för 8 år sedan
Visningar:

1 Linköpings Universitet, Hållfasthetslära, IEI/IKP TENTAEN i ekaniska svängningar och utmattning, TI kl L Ö S N I N G A R ---- SOLUTIONS 1. Elementarfall för en (masslös) konsolbalk (längd L, böjstyvhet EI) belastad med en punktkraft P i den fria änden ger ändens förskjutning δ=pl 3 / 3EI. Vilken egenvinkelfrekvens får systemet om man monterar en punktmassa i balkens ände? English: A cantilever beam (massless, length L, bending stiffness EI) loaded with the force P at the free end will have the deflection δ=pl 3 / 3EI at the free end. What eigenfrequency will the system have if a mass is mounted at the free end? The "spring" stiffness is here k =3EI/L 3 and the eigenfrequency becomes ω e = k = 3EI L 3 2. Ange sambanden mellan vinkelfrekvens ω, cyklisk frekvens f och svängningstid (periodtid) T för en svängning. English: Give the relationships between the angular frequency ω, the cyclic frequency f and the period time T of a vibration. ω=2πf and f = 1 T 8

2 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI/IKP TENTAEN i ekaniska svängningar och utmattning, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 3. spänning/stress (Pa) Hur många cykler erhålls ur vidstående svängningssekvens? Ange medelvärde och 300 amplitud för varje cykel. Använd rain-flow 200 count-metoden English: How many cycles is obtained from the 100 sequence given? Give mean value and amplitude of each cycle. Use the rain-flow 0 tid/time count method. There will be four cycles: one cycle with stress σ=150 ± 150 Pa, two cycles with stress σ=200 ± 100 Pa, and one cycle with stress σ=250 ± 50 Pa. 4. Ge, och förklara, Palmgren-iners lag för accumulering av (utmattnings-)skada. English: Give, and explain, the Palmgren-iner fatigue damage accumulation rule. The rule reads n i N i = 1 where n i is number of cycles at a given stress level and N i is number of cycles to fatigue failure at that stress level. When loading at several stress levels, fatigue failure is expected when the sum of the damage at each stress level equals one. (The damage at each stress level is D = n i / N i.) 9

3 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI/IKP TENTAEN i ekaniska svängningar och utmattning, kl P 5. k En maskindetalj är ledat infäst vid A och stöds B av två fjädrar (styvhet k) vid B och C. ed a JA C avseende på leden A har detaljen A b k masströghetsmomentet J A. Bestäm systemets egenvinkelfrekvens. Vid vilken last P kommer egenvinkelfrekvensen att gå mot noll? English: 5. A detail (a part) of a structure is supported at A by a hinge and supported by two springs at B and C (spring stiffness k). The detail has moment of inertia J A with respect to the hinge A. Determine the eigenfrequency of the detail. At which load P will the eigenfrequency be zero? Vid en rotation (med avseende på stödet A) en vinkeln φ blir kraften i respektive fjäder kaφ och kbφ. Rörelseekvationen ("momentjämvikt") för maskindetaljen blir (med avseende på stödet A) Equation of motion: J A φ= kaφ a kbφ b + Paφ som omskrivet blir / which gives: Egenvinkelfrekvensen blir / giving: Egenvinkelfrekvensen går mot noll då / then, at the eigenfrequency tends to zero. J A φ+(ka 2 + kb 2 Pa)φ=0 ω e = ka 2 + kb 2 Pa J A P = k(a 2 + b 2 ) a 10

4 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI/IKP/ TENTAEN i ekaniska svängningar och utmattning, kl En massa används som en dynamisk vibrationsabsorbator (monterad på avgasröret till en Volvo V40). assan hängs upp i fyra k1 fjädrar (styvhet k 1 = k, k 2 =5k, k 3 =3k och k 4 = k 4 k 2 k). assan kan enbart translatera i x-led och y-led (alltså ingen rotation). y x k Vilken, eller vilka, frekvensers amplitud 3 kommer man att kunna eliminera (eller reducera) med denna anordning? Ange också riktningen på den rörelse som elimineras (reduceras). English: 6. A mass is used as a dynamic vibration absorber (mounted on the exhaust pipe of a Volvo). The mass is mounted in four springs (stiffness k 1 = k, k 2 =5k, k 3 =3k and k 4 = k). The mass may move in translation only in the x direction and in the y direction (thus no rotation). At which frequency, or frequencies, will the vibration absorber eliminate (or reduce) the vibration amplitud? Also, give the direction of the motion that is eliminated (or reduced). Solution: In the x direction the dynamic vibration absorber is effective at frequency ω 1 = (k 2 + k 4 ) = 6k In the y direction the dynamic vibration absorber is effective at frequency ω 2 = (k 1 + k 3 ) = 4k 11

5 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI/IKP TENTAEN i ekaniska svängningar och utmattning, kl spänning/stress (Pa) 7. En stor plåt, belastad med en en-axlig spänning, 300 utsätts för en belastningssekvens enligt figur. 250 Denna sekvens upprepas. aterialet har en 200 Wöhlerkurva som ges av sambandet 100 σ a = 50 logn (Pa) där σ a är spänningsamplituden. Bestäm 0 förväntat antal sekvenser till utmattningsbrott. tid/time Använd Palmgren-iners delskadehypotes Inverkan av spänningens medelvärde får försummas. English: 7. A large plate, loaded in uni-axial tension, is subjected to a load sequence according to the figure. This sequence is repeated. The material has a Wöhler curve given by the equation σ a = 50 logn (Pa) where σ a is the stress amplitude. Determine the expected number of sequences to fatigue failure. Use the Palmgren-iner damage accumulation rule. The influence of the stress mean value can be neglected. Rain-flow count gives 1 cycle from 100 to 300 Pa, giving σ a = 200 Pa, 1 cycle from 0 to 300 Pa, giving σ a = 150 Pa, 2 cycles from 0 to 250 Pa, giving σ a = 125 Pa, 1 cycle between 100 and 200 Pa, giving σ a = 150 Pa, and These stress amplitudes give (from the Wöhler curve) N = , and , respectively. The Palmgren-iner damage accumulation rule gives 1 D = = Thus, failure is expected after approximately sequences (giving cycles). 12

6 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI/IKP TENTAEN i ekaniska svängningar och utmattning, kl töjning/ strain 8. Ett material utsätts för en lastsekvens som 0,003 ger töjningar enligt figur. Använd orrows ekvation för att beräkna förväntat antal 0,001 time lastsekvenser till brott. Inverkan av spänningens medelvärde får försummas. aterialdata: E = 200 GPa, ν = 0,3, σ U = σ B = - 0, Pa, Ψ = 0,65, σ f = 900 Pa, ε f = 0,26, b = 0,095, och c = 0,47. English: 8. A material is subjected to a load sequence giving the strain shown in the figure. Use the orrow relationship to determine the expected number of load sequences to fatigue failure. The influence of the mean stress can be neglected. aterial properties: E = 200 GPa, ν = 0.3, σ U = 700 Pa, Ψ = 0.65, σ f = 900 Pa, ε f = 0.26, b = 0.095, and c = The diagram gives four cycles: - Two cycles with strain range Δε = 0,006, giving strain amplitude ε a = 0,003. According to orrow one obtains (neglecting the mean stress) ε a = σ f E (2N)b +ε f (2N) c giving 0, 003 = (2N) 0, , 26 (2N) 0,47 Solving for N gives N = cycles (2N is load reversals to failure). - Two cycles with strain range Δε = 0,003, giving ε a = 0,0015. orrow gives 0, 0015 = (2N) 0, , 26 (2N) 0,47 Solving for N gives N = cycles Palmgren-iner now gives 2 D = = Expected number of sequences to failure is

Relevanta dokument

EXAMINATION 2008-10-16 14-18 L Ö S N I N G A R ---- S O L U T I O N S

EXAMINATION 2008-10-16 14-18 L Ö S N I N G A R ---- S O L U T I O N S Linköpings Universitet, Hållfasthetslära, IEI/IKP TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, TMMI09 2008-10-16 kl 14-18 L Ö S N I N G A R ---- SOLUTIONS 1. En kubisk massa M (kubens sidlängd är a)