Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n kallas koefficienter. Polynomets gradtal bestäms när man avgör hur stort n, ett positivt heltal, ska vara. p (x) = 7x 3 3x 2 +2x 00 p (x) är ett tredjegradspolynom. Koefficienterna kan vara 0, så därför är här p 2 (x) ett sjundegradspolynom. När man sätter p(x) = 0, som till exempel p 2 (x) = x 7 + x 3 +2x 0 = 0 får man en polynomekvation. Polynomekvationer med ett gradtal > 4 kan bara händelsevis lösas exakt. Detta visade för länge sedan en ung norsk matematiker vid namn Niels Henrik Abel. Läs mer om honom på nätet. Ekvationer av första graden, typ 3x 5 = 0 lär sig alla någon gång att lösa. Ekvationer av andra graden, till exempel x 2 +x 6 = 0, lär sig nästan alla att lösa. Ekvationer av tredje och fjärde graden kan nästan igen lösa utan hjälp av dator eller formelsamling. Då menar vi ekvationer med godtyckliga koefficienter. Däremot finns det vissa speciella polynomekvationer av gradtal högre än två, där man med hjälp av vissa trick kan finna rötterna. Lösningarna, det vill säga de x för vilka likhet råder, kallas rötter. En polynomekvation har lika många rötter som gradtal. En tredjegradsekvation har alltså tre rötter. I vår kurs finns det rötter vi inte kan ta reda på, de komplexa rötterna. Därför säger vi ibland, lite felaktigt, att vår andragradsekvation saknar rötter, och menar då att den saknar reella rötter. Håkan Strömberg KTH Syd
Exempel. Lös ekvationen t 3 +t = 0 Alltså en tredjegradsekvation, där koefficienten till t 2 är lika med 0, men framför allt den konstanta koefficienten är lika med 0. Detta gör det möjligt för oss att lösa ekvationen t 3 +t = 0 t(t 2 +) = 0 Detta är sant då t = 0 eller då t 2 + = 0. Vi har alltså hittat en av de tre rötterna t = 0. För att finna de andra två måste vi lösa ekvationen t 2 + = 0, en andragradsekvation. t 2 + = 0 t = 0± 0 t = 0± Diskriminanten är < 0, då finns inga reella rötter, det har vi redan talat om. Svar: t = 0 är enda reella roten. Ritar vi motsvarande graf, ser vi att den antagligen endast skär x-axeln en enda gång. Det är antalet skärningar med x-axeln, som är måttet på antalet reella rötter. 0 5-2 - 2-5 -0 Exempel 2. Lös ekvationen x 4 3x 2 +2 = 0 Nu tror vi oss kunna lösa en ekvation av fjärde graden. Det kan vi också, just därför att koefficienterna till x 3 och x är 0. Vi ersätter helt enkelt x 2 = t. Detta kallas att substituera. Nu får vi istället ekvationen: t 2 3t+2 = 0 t = 3 2 ± (3 2) 2 2 t = 3 2 ± 2 t = 2 t 2 = Men det inte är slut här. Vi har ju ersatt x 2 med t. När vi nu går vidare får vi därför två enkla andragradsekvationer. x 2 = och x 2 = 2. Dessa har ju rötterna x =, x 2 = respektive x 3 = 2, x 4 = 2. Som väntat fyra rötter till en fjärdegradsekvation. Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Faktorsatsen Faktorsatsen säger att om a är en rot till polynomekvationen p(x) = 0 så gäller att p(x) = (x a) q(x) där q(x) är ett polynom med gradtal n då p(x) har gradtalet n. Exempel 3. Ekvationen x 2 +3x 08 = 0 har en rot x = 9 och vi söker den andra. Vi bortser nu från att vi kan finna den andra roten genom att lösa andragradsekvationen på vanligt sätt och funderar nu över x 2 +3x 08 (x 9)(ax+b) x 2 +3x 08 ax 2 +bx 9ax 9b q(x) = ax+b är ett förstagradspolynom, var koefficienter a och b vi nu söker. Vi identifierar nu de olika koefficienterna = a x 3 = b 9a konst 08 = 9b x 2 Ett ekvationssystem som kan lösas i huvudet ger a = och b = 2 och vi får x+2 som ger x 2 = 2. Vi har faktoriserat polynomet x 2 +3x 08 (x 9)(x+2) Exempel 4. Lös ekvationen x 3 2x 2 29x 42 = 0 Knepet här är att gissa en rot. Varken speciellt matematiskt eller verklighetstroget, men det är ofta så det går till i den väl tillrättalagda skolmatematiken. När man nu ska till att gissa, är det heltalsrötter man siktar in sig på. Det är mindre troligt att x = 7 är en bra gissning. Med största sannolikhet ska man gissa på ett heltal i intervallet 3 x 3. Efter en del tester finner vi roten x = 2. De andra två rötterna kan vi nu, via polynomdivision, bestämma utan att gissa. Alternativ möjlighet x 3 2x 2 29x 42 (x+2)(ax 2 +bx+c) x 3 2x 2 29x 42 ax 3 +(2a+b)x 2 +(2b+c)x+2c Vi kan nu direkt i huvudet identifiera koefficienterna a,b och c. a =, b = 4 och c = 2. Härifrån kan vi nu sätta upp ekvationen x 2 4x 2 = 0 Som har rötterna x 2 = 3 och x 3 = 7 och tredjegradsekvationen är nu löst och vi kan skriva den på faktoriserad form (x+3)(x 7)(x+2) = 0 Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Exempel 5. Ekvationen x 3 +3x 2 0x 24 = 0 har en rot x = 2. Vilka är de två andra? Problemet löser vi med polynomdivision. Genom att dividera vänsterledet i ekvationen med (x+2) får vi ett andragradspolynom, vars nollställen vi erhåller genom att lösa motsvarande andragradsekvation. x 3 +3x 2 0x 24 : x+2 = x 2 +x 2 x 3 +2x 2 x 2 0x x 2 +2x 2x 24 2x 24 Ekvationen x 2 +x 2 = 0 har rötterna x 2 = 3 och x 3 = 4 Svar: x 2 = 3 och x 3 = 4 0 Lös värdet av följande uttryck för x = 3, x = 0 respektive x = 3 Lösta uppgifter. Uttrycket x 2 2 x = ( 3) 2 2 ( 3) = 5 5 = 0 x 2 2 x = 0 2 2 0 = 0 x 2 2 x = 3 2 2 3 = = 0 Är det så att f(x) = x 2 2 x 0? Javisst! Lösta uppgifter 2. Uttrycket x 2x = ( 3) 2( 3) = 3 7 = 4 x 2x = 0 2 0 = 0 = x 2x = 3 2 3 = 3 5 = 2 Plottar vi funktionen f(x) = x 2x får vi följande graf 4 3 2-3 -2-2 3 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Lösta uppgifter 3. Lös ekvationen 3x x + 2 x + =. Plottar vi ekvationen får vi - 2 3-5 -0-5 men nu gäller det att lösa problemet analytiskt. Först måste vi söka upp de x då uttrycken i absolutbeloppen vänder. Detta leder till tre ekvationer x < x och x+ vänder < x < x vänder x > ingen vänder 3x (x+)+2(x+) = () 3x ( x)+2(x+) = (2) 3x (x )+2(x+) = (3) De tre ekvationerna har rötterna x = 7 2, x 2 = 5 3 respektive x 3 = 2. Det är endast x 3 = 2 som ligger i tillåtet intervall x >. Lösta uppgifter 4. Lös olikheten x+ x 2 < x+ Vi överför olikheten till x+ x 2 x + < 0 och nöjer oss med en grafisk lösning. En graf för varje term i olikheten, som summerar till graf (med tjockt streck). 3 2-3 -2-2 3 - -2 Svar: x < 3 eller < x < 3 Huvudräkning. Utgår vi från rötterna x = r och x 2 = r 2 till en andragradsekvation och utvecklar (x r )(x r 2 ) = 0 får vi x 2 (r +r 2 )x+r r 2 = 0 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Använd detta samband mellan rötter och koefficienter genom att i huvudet lösa a) x 2 3x+2 = 0 b) x 2 5x+4 = 0 c) x 2 5x+6 = 0 d) x 2 2x 5 = 0 Huvudräkning 2. Vilken funktion har följande graf? 5 4 3 2-2 2 4 6 Huvudräkning 3. Funktionen f(x) = x 2 4 har följande graf. Skissa g(x) = x 2 4 0 7.5 5 2.5-4 -2 2 4-2.5 Läxa..2 a) x 2 y xy 2 = xy(x y) Läxa 2..2 b) x 2 yz xy 2 z+2xyz 2 = xyz(x y+2z) Läxa 3..2 c) ax 2by 2ay+bx = x(a+b) 2y(a+b) = (a+b)(x 2y) Läxa 4..2 d) För att finna faktorerna till x 2 + 3x 0 måste man lösa motsvarande andragradsekvation x 2 +3x 0 = 0 x = 3 2 ± (3 2) 2 +0 x = 3 2 ± 49 4 Detta ger svaret (x + 5)(x 2) x = 3 2 ± 7 2 x = 5 x 2 = 2 Läxa 5..2 e) Med hjälp av konjugatregeln får vi x 2 y2 (x 4 = y )( x+ y ) 2 2 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Läxa 6..2 f) Här använder vi konjugatregeln två gånger 8x 4 y 4 = (9x 2 y 2 )(9x 2 +y 2 ) = (3x y)(3x+y)(9x 2 +y 2 ) Läxa 7..3 a) Om vi faktoriserar täljare och nämnare kan vi alltid hoppas att någon av faktorerna kan förkortas bort. För att klara faktorisering av täljaren behöver vi lösa en andragradsekvation. Vi gör inte det i detalj här. Rötterna är x = 4 och x 2 = 3. Vi använder konjugatregeln för nämnaren och får: (x 4)(x+3) (x 4)(x+4) = x+3 x+4 Läxa 8..3 b) Här har vi att lösa en andragradsekvation och därefter att göra liknämnigt. Ekvationen har rötterna x = och x 2 = 3 och ger x (x+)(x 3) 2 x+ x (x+)(x 3) 2(x 3) (x+)(x 3) x 2(x 3) (x+)(x 3) 5 x (x+)(x 3) Läxa 9..3 c) Här måste vi lösa två andragradsekvationer för att komma vidare. x 2 +3x 0 = 0 har rötterna x = 5 och x 2 = 2 och ger (x + 5)(x 2). x 2 + 7x + 60 = 0 har rötterna x = 2 och x 2 = 5 och ger (x+2)(x+5). Vi får nu (x+5)(x 2) + (x+2)(x+5) = (x+2)+(x 2) (x 2)(x+5)(x+2) vidare Läxa 0..3 d) 2(x+5) (x 2)(x+5)(x+2) = 2 (x 2)(x+2) (3x+2y)(x 2y)+4xy = 3x 2 6xy+2xy 4y 2 +4xy = 3x 2 4y 2 Läxa..8 u = x2 +t x 2 t u(x 2 t) = x 2 +t ux 2 ut = x 2 +t ux 2 x 2 = t+ut x 2 (u ) = t(+u) t = x2 (u ) u+ Håkan Strömberg 7 KTH Syd
Läxa 2..24 a) Vi följer idéerna från föreläsning. 5 x < 2; 5 x 2 < 0; 5 2x < 0 x Uttrycket är < 0 då x < 0 eller x > 5 2 Läxa 3..24 b) x < 0 x = 0 0 < x < 5 2 x = 5 2 x > 5 2 5 2x + + + 0 x 0 + + + 4 x x+2 odef + 0 2 x < ; 2 x < 0; (2 x) < 0; 2 x x 2 x < 0 Uttrycket är < 0 då x < eller x > 2 Läxa 4..24 c) x < x = < x < 2 x = 2 x > 2 x 0 + + + 2 x + + + 0 x 2 x 0 + odef 3x 2 x > 2; 3x 2 x 2 > 0; 3x 2 2(x ) > 0; x x x > 0 Uttrycket är > 0 då x < 0 eller x > Läxa 5..24 d) x < 0 x = 0 0 < x < x = x > x 0 + + + x 0 + x x + 0 odef + 3 3x 2 > x+4 ; 3 3x 2 x+4 > 0; 3(x+4) (3x 2) > 0; (3x 2)(x+4) 4 (3x 2)(x+4) > 0 x < 4 x = 4 4 < x < 2 3 x = 2 3 x > 2 3 4 + + + + + 3x 2 0 + x+4 0 + + + 4 (3x 2)(x+4) + odef odef + Håkan Strömberg 8 KTH Syd
Uttrycket är > 0 då x < 4 eller x > 2 3. Så här ser grafen ut -5-4 -3-2 - -2.5 Läxa 6..25 Vi börjar med att skriva om uttrycket till x 2 2 x < 0. Då x 0 övergår uttrycket i x 2 2+x < 0 och då x 0 är det x 2 2 x < 0 som gäller. Problemet har nu delats upp i två problem, ett då x 0 och ett då x 0. 0 7.5 5 2.5-5 -7.5 Vi börjar med x 0 och faktoriserar x 2 2 x genom att lösa motsvarande andragradsekvation. Vi får (x )(x+2) < 0. Vi ställer upp tillhörande tabell. -0 x < 2 x = 2 2 < x < x = x > x+2 0 + + + x 0 + (x )(x+2) + 0 0 + Ur detta kan vi läsa att uttrycket är sant då 2 < x < och x 0. Alltså då 2 < x 0. Dags för x 0. Vi faktoriserar nu x 2 2 + x och får nu (x 2)(x + ) < 0. Tillhörande tabell: x < x = < x < 2 x = 2 x > 2 x 2 0 + x+ 0 + + + (x 2)(x+) + 0 0 + Ur detta kan vi läsa att uttrycket är sant då < x < 2 och x 0. Alltså då 0 x < 2. Som svar får vi då 2 < x < 2. Så här ser motsvarande graf ut: Håkan Strömberg 9 KTH Syd
Läxa 7..27 a) Uttrycket till vänster ska skrivas om till det till vänster. Detta kallas partialbråksuppdelning. Vi måste bestämma A och B (x+)(x 2) A x+ + B x 2 Vi starta med att göra uttrycket till höger liknämnigt A x+) + B x 2) = A(x 2)+B(x+) = Ax 2A+Bx+B) = (A+B)x+B 2A) (x+)(x 2) (x+)(x 2) (x+)(x 2) Vi identifierar så koefficienterna och får ekvationssystemet { A+B = 0 B 2A = Vi får A = 3 och B = 3. Detta betyder att vi ni kan skriva uttrycket 3(x+) + 3(x 2) Läxa 8..27 b) På liknande sätt, som i föregående uppgift, ska vi identifiera A och B. Men nu enklare: 3x+2 A(x )+B(x 2) Vi fortsätter med högra ledet A(x )+B(x 2) = Ax A+Bx 2B = (A+B)x A 2B Vi får ett ekvationssystem att lösa { A+B = 3 A 2B = 2 som har lösningen A = 8 och B = 5, vilket betyder att vi kan skriva det ursprungliga uttrycket som 8(x ) 5(x 2) Läxa 9..27 c) 5x+ x 2 +x+ A(2x+)+B x 2 +x+ Vi kan släppa nämnaren och koncentrera oss på täljaren Ekvationssystemet blir denna gång { A(2x+)+B 2Ax+A+B A+B = 3 A 2B = 2 Som har lösningen A = 5 2 och b = 3 2, vilket betyder att vi kan skriva uttrycket som 5 2 (2x+) 3 2 x 2 +x+ Håkan Strömberg 0 KTH Syd
Läxa 20..29 a) a 0 = 2,a =,a 2 = 4,a 3 = 5,a 4 = 3 ger för 4 a i = 2+( )+( 4)+5+3 = 5 i=0 Läxa 2..29 b) a 0 = 2,a =,a 2 = 4,a 3 = 5,a 4 = 3 ger för 3 a i = ( )+( 4)+5 = 0 i= Läxa 22..30 a) 5! = 2 3 4 5 = 20 Läxa 23..30 b) Läxa 24..30 c) Läxa 25..30 d) ( ) 5 = 2 Läxa 26..30 e) ( ) 9 = 3 Läxa 27..30 f) ( ) 8 = 4 3! 4! = 2 3 2 3 4 = 4 7! 3! 4! = 2 3 4 5 6 7 2 3 2 3 4 = 35 5! (5 2)!2! = 2 3 4 5 2 3 2 = 0 9! (9 3)!3! = 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 2 3 = 84 8! (8 4)!4! = 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 2 3 4 = 70 Läxa 28..3 a) Med toppen av Pascals triangel: 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 kan vi med hjälp av 5:raden utveckla (a+b) 4. Vi får först Med vårt uttryck (x 3) 4 får vi så a 4 b 0 +4a 3 b +6a 2 b 2 +4a b 3 +a 0 b 4 x 4 ( 3) 0 +4x 3 ( 3) +6x 2 ( 3) 2 +4x ( 3) 3 +x 0 ( 3) 4 Till sist x 4 2x 3 +54x 2 08x+8 Håkan Strömberg KTH Syd
Läxa 29..3 c) Nu ska vi använda 5:e raden i Pascals triangel och utveckla (a+b) 5 som blir a 5 b 0 +5a 4 b +0a 3 b 2 +0a 2 b 3 +5a b 4 +a 0 b 5 Med vårt uttryck (2x+3) 5 får vi (2x) 5 3 0 +5(2x) 4 3 +0(2x) 3 3 2 +0(2x) 2 3 3 +5(2x) 3 4 +(2x) 0 3 5 Till sist 32x 5 +240x 4 +720x 3 +080x 2 +80x+243 Läxa 30. 2.29 a) Vi behöver en rot till ekvationen x 3 2x 2 x+2 = 0. Det finns inget annat än att gissa. x = brukar vara en högoddsare : 3 2 2 +2 = 2 +2 = 0 Ja! Då måste en faktor vara (x ). Nästa faktor kan vi nu erhålla genom polynomdivision. x 3 2x 2 x +2 : x = x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x x 2 +x 2x +2 2x 2 0 Återstår sedan att faktorisera x 2 x 2 eftersom andragradsekvationen x 2 x 2 = 0 har rötterna x = 3 och x 2 = 4. (Vi ger fortsättningen inga detaljer lösandet av andragradsekvationer). Detta leder till svaret (x )(x + 3)(x 4) Läxa 3. 2.29 b) Den här gången fungerar inte x =. Klurigt ska vi satsa på x = eller x = 2? Det visar sig att båda fungerar och då har vi egentligen redan hittat två faktorer x 2 och x+. Eftersom (x 2)(x+) = x 2 x 2 kan vi nu använda polynomdivision för att få fram den tredje faktorn. x 3 +2x 2 5x 6 : x 2 x 2 = x+3 x 3 x 2 2x 3x 2 3x 6 3x 2 3x 6 0 Vi kan skriva svaret (x 2)(x+)(x+3). Självklart hade det räckt med att hitta nollstället för x = (eller x = 2) och sedan gå vidare som i läxa 30. Läxa 32. 2.29 c) Ekvationen x 4 + x 2 2 = 0 kan lösas utan att gissa, trots att det är en polynomekvation av fjärde graden. Idén består i att substituera t = x 2 och får andragradsekvationen t 2 + t 2 = 0 som har rötterna t = och t 2 = 2. Vi har nu att lösa ekvationerna x 2 = och x 2 = 2. Den första har rötterna x = och x 2 =. Den andra saknar reella rötter och kan inte faktoriseras. Detta ger (t )(t+2) = (x 2 )(x 2 +2) = (x )(x+)(x 2 +2) Håkan Strömberg 2 KTH Syd
För att partialbråksuppdela uttrycket (x+)(x 2) convert(/((x+)*(x-2)), parfrac); och vi får det resultat som ges i läxa 7 För att bestämma till exempel skriver vi i Maple sum(/i, i =.. 20); 20 i= i och vi får det exakta resultatet Fakultet skrivs rakt av 5583535 559504 20!=243290200876640000 Binomialkoefficienter, till exempel ( 20 8) skrivs och bestäms genom binomial(20, 8); 25970 Med hjälp av expand kan man utveckla (a+b) 7 expand((a+b)^7); och vi får a 7 +7a 6 b+2a 5 b 2 +35a 4 b 3 +35a 3 b 4 +2a 2 b 5 +7ab 6 +b 7 Koefficenterna känner vi igen som den åttonde raden i Pascals triangel. Med hjälp av factor får man enkelt resultatet till läxa 30 factor(x^3-2*x^2-*x+2); Ett lite omständligare sätt att nå samma resultat. Så här definierar man en funktion f := x -> x^3-2*x^2-*x+2; som vi nu kan använda för att snabbt få fram till exempel f() Håkan Strömberg 3 KTH Syd
f(); Nu har vi x som en faktor. Polynom divisionen utförs genom en vanlig division och genom funktionen simplify simplify(f(x)/(x-)); eller ännu bättre factor(simplify(f(x)/(x-))); som ger oss de andra två faktorerna (x+3)(x 4). Funktionen plot ger oss möjlighet att studera grafen till en funktion. plot(x-2-abs(x),-3..3); ger oss grafen i läxa 6. Svar till: Dela bröd och pengar Luffarna åt 8/3 bröd var. Luffare A gav bort 3 8/3 = /3 bröd till C och luffare B gav bort 5 8/3 = 7/3 bröd till C. Alltså ska A ha kr och B 7 kr. De fyra korten Det ligger fyra kort, med baksidan upp, i en rad på bordet, spaderkung, spaderdam, hjärterkung och hjärterdam. I vilken ordning ligger korten om vi vet att: det ligger en kung direkt till höger om en dam det ligger en dam direkt till höger om en kung det ligger en kung direkt till höger om en kung det ligger en spader direkt till höger om en spader det ligger en spader direkt till höger om en hjärter Svar huvudräkning. a) x =, x 2 = 2 b) x =, x 2 = 4 c) x = 2, x 2 = 3 d) x = 3, x 2 = 5 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Svar huvudräkning 2. f(x) = x 3 Svar huvudräkning 3. 2 0 8 6 4 2-4 -2 2 4 Håkan Strömberg 5 KTH Syd