En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast finnas om mängderna har samma antal element.

Relevanta dokument
En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element.

Sådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller från A till B).

RELATIONER OCH FUNKTIONER

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Kap. 8 Relationer och funktioner

Mängder och kardinalitet

Dagens teman. Mängdlära forts. Relationer och funktioner (AEE 1.2-3, AMII K1.2) Definition av de naturliga talen, Peanos axiom.

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder

Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

ARCUSFUNKTIONER. udda. arcsin(x) [-1, 1] varken udda eller jämn udda. arccos(x) [-1, 1] [ 0, π ] arctan(x) alla reella tal π π. varken udda eller jämn

arcsin(x) udda ( x) varken udda eller jämn alla reella tal ( 0, ) 1. y=a 1 x udda/jämn Värdemängd derivatan Definitionsmängd Arcusfunktioner

Relationer och funktioner

Definitionsmängd, urbild, domän

Diskret matematik, lektion 2

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

Uppgifter om funktioner

MA2047 Algebra och diskret matematik

Föreläsning 5: Kardinalitet. Funktioners tillväxt


Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.

Mängder, funktioner och naturliga tal

2MA105 Algebraiska strukturer I. Per-Anders Svensson

σ 1 = (531)(64782), τ 1 = (18)(27)(36)(45), τ 1 σ 1 = (423871)(56).

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH

Mer om reella tal och kontinuitet

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

Modul 1 Mål och Sammanfattning

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

Kinesiska restsatsen

Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm

x 1 1/ maximum

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll Lay, kapitel , Linjära ekvationer i linjär algebra

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Block 1 - Mängder och tal

Funktioner och kombinatoriska tillämpningar. Mars

Block 1 - Mängder och tal

x = a är nödvändigt villkor för deriverbarhet i denna x = a } { f är högerkontinuerlig i punkten x = a } { f är vänsterkontinuerlig i punkten

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2015 Skrivtid 8:15 12:15

Kontinuitet och gränsvärden

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Algebra och kombinatorik 10/ Föreläsning 4. Låt X vara en ändlig mängd. En permutation av X är en bijektiv funktion X X. Sats: S n =n!

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Matematiska strukturer - Satser

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den 2 juni 2015, kl

MA2047 Algebra och diskret matematik

Diofantiska ekvationer

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl

Teorifra gor kap

1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a


Introduktion till funktioner

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del II

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Tentamen i kurserna Beräkningsmodeller (TDA181/INN110) och Grundläggande Datalogi (TDA180)

Hur många eller om det oändliga

Motivet finns att beställa i följande storlekar

Några satser ur talteorin

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Introduktion till funktioner

Algebra och Diskret Matematik A (svenska)

Analys av funktioner och dess derivata i Matlab.

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

Tips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.

Specialkurs i matematik 2007

e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär

Abstrakt algebra för gymnasister

12. CANTORS PARADIS. KORT ORIENTERING OM MÄNGDTEORI.

Kapitel 1. betecknas detta antal med n(a). element i B; bet. A B. Den tomma mängden är enligt överenskommelsen en delmängd. lika; bet. A = B.

Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser

Lite additioner till Föreläsningsanteckningarna. 1 Tillägg till kapitel 1.

1 Dimensionsanalys och π-satsen.

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

Funktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =

MITTUNIVERSITETET TFM. Tentamen Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar. Datum: 9 januari 2007

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet

TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och exponentialfunktioner

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Transkript:

BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION NUMRERBARA (eller UPPRÄKNELIGA) MÄNGDER Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en unktion : A B. Vi har otast krav att varje element x i A har precis en bild (x) i B och att varje element i B har precis ett original i A. Sådana avbildningar kallar vi bijektioner. En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast innas om mängderna har samma antal element. Om det inns en bijektion mellan två mängder A, B (ändliga eller oändliga) säger vi att de har lika kardinalitet: ( kardinaltal). Beteckning: Kardinaltalet ör en mängd A betecknas otast på en av öljande sätt: card (A), eller A. Om det inns en bijektion mellan A och B då säger vi också att A och B är två ekvivalenta mängder och betecknar A ~B. Alltså om A och B är två ekvivalenta mängder har de samma kardinalitet, dvs. A ~B A = B. Om det inns en bijektion rån A till en delmängd av B då skriver vi A B. Om A B och A B då skriver vi A < B. Anmärkning: Man kan visa att ör två mängder A och B gäller exakt en av öljande tre relationer: A < B, A = B eller A > B. av 7

i) Kardinaltalet till en ändlig mängd A är lika med antalet element i A. T ex För A={, 45, 34} har vi card(a)=3 ( dvs A har 3 element) ii) Kardinaltalet ör mängden som är ekvivalenta med mängden av alla naturliga tal N = {0,,,3,...} kallas ale -0 (ale-noll). Ale-noll är minst av alla kardinaltal som tillhör en oändlig mängd. Med andra ord, om A är en oändlig mängd då gäller N A. iii) Kardinalitet ör mängden av alla reella tal R betecknas otast med c. Man kan visa att c > ale-noll dvs att R inte är ekvivalent med N. Exempel. Mängden av alla naturliga tal N = {0,,,3,...} är ekvivalent med mängden av alla naturliga jämna tal N = {,4,6,8,...} dvs N och N har samma kardinalitet. Bevis: Funktionen ( n) n är en bijektion mellan N och N. Exempel. Mängden av alla hela tal Z={0, ±, ±, ± 3,...} är ekvivalent med mängden av alla naturliga tal N = {0,,,3,...}. Med andra ord har de två mängder samma kardinalitet (trots att N är en delmängd av Z). Vi visar detta genom att ordna alla hela tal i en talöljd. En bijektion rån N till Z visas i schemat N 0 3 4 5 6 7 8 Z 0 - - 3-3 4-4 Själva bijektionen kan vi ormellt deiniera enligt öljande : N Z där ( 0) 0 och ör n=,,3, (n) n (n ) n. Exempel 3. Mängden av alla rationella tal ekvivalent med N. m Q, där m, n är hela tal och n 0 är n Exempel 4. Mängden av alla reella tal R är inte ekvivalent med N. av 7

DEFINITION. Låt vara en unktion rån mängden A till B dvs : A B. Vi säger att är en bijektiv unktion (eller en bijektion) om öljande gäller:. Funktionens deinitionsmängd D är lika med A.. Ekvationen ( x) y, ör varje y B, har precis en lösning x A. Anmärkning: En bijektiv unktion har inversen - som deinieras enligt öljande: För en given y inns det precis ett x sådant att ( y) x. ( x) y och därör kan vi deiniera Exempel 5. A och B är mängder med ändligt många element) Bestäm vilka av öljande avbildningar är bijektioner: 3 av 7

iii) A 3 B 3 iv) A 4 4 B 4 3 3 b a 3 A B c b a Svar i) Nej, element 4 i mängden A har ingen bild. ii) Nej, element d i mängden B har inget original. iii) Nej, element b har två original-element och 3 iv) Ja, varje element i A har exakt en bild och varje element i B har exakt ett original. DEFINITION.. INJEKTION. Funktionen : A B, deinierad ör alla x A, kallas injektiv om ekvationen ( x) y, ör varje y B, har högst en lösning x A ( d v s ingen eller en lösning x A).. SURJEKTION. Funktionen : A B, deinierad ör alla x A, kallas surjektiv om ekvationen ( x) y ör varje y B, har minst en lösning x A. Från deinitionen ramgår öljande:. En unktion : A B, deinierad ör alla x A, är injektiv om och endast om olika original har olika bilder dvs x ( x x x ) ( ). Om det inns en injektiv unktion : A B där deinitionsmängd D är lika med A då är kardinalitet (A) kardinalitet (B) ; med vardagliga ord "antalet element i A " "antalet element i B" 4 av 7

. En unktion, deinierad ör alla x A, är surjektiv om och endast om V = B Om det inns en surjektiv unktion : A B, där deinitionsmängd D är lika med A, då är kardinalitet (A) kardinalitet (B) ; 3. En unktion : A B vars deinitionsmängd är A, är bijektiv om och endast om den är både surjektiv och injektiv. Exempel 6. Exempel 7. Bestäm ör varje av öljande avbildningar om den är en surjektion, injektion eller/och bijektion. 5 av 7

iii) A 3 B 3 3 3 b a Svar: i) är varken injektiv eller surjektiv. ii) är injektiv men inte surjektiv. iii) 3 är surjektiv men inte injektiv. iv) 4 är både injektiv och surjektiv och därmed bijektiv. ================================= NUMRERBARA (eller UPPRÄKNELIGA) MÄNGDER Numrerbar (eller uppräknelig) mängd. Låt N beteckna mängden av alla naturliga tal. En mängd A är numrerbar (eller uppräknelig) om den är ekvivalent med en delmängd till N ( eller med hela N). Alternativt kan man säga att en mängd A är numrerbar om card(a) card (N). Med andra ord en mängd A är numrerbar (eller uppräknelig) om det inns en injektiv unktion : A N. Anmärkning: I några böcker används begreppet numrerbar (eller uppräknelig) endast på oändliga mängder ekvivalenta med N. Några exempel på numrerbara mängder:. Varje ändlig mängd är numrerbar. Mängden av alla naturliga tal är numrerbar 3. Mängden av alla hela tal är numrerbar 4. Mängden av alla rationella tal är numrerbar 6 av 7

Några exempel på icke-numrerbara mängder:. Man kan visa att mängden av alla reella tal mellan 0 och dvs intervallet (0,) är inte numrerbar.. Samma gäller ör vilket intervall som helst med ändpunkterna a och b där a < b, till exempel [,3] dvs. intervallet { x R : x 3} är inte numrerbar. Intervallet (,3) dvs. intervallet { x R : x 3} är inte numrerbar. 3. Mängden av alla reella tal R är inte numrerbar. 4. En delmängd till R som innehåller ett intervall (a,b), där a < b, är inte numrerbar. 7 av 7