Autentiska problem i matematik - ur ett lärarperspektiv Individuell skriftlig uppgift - Bedömning och utvärdering KPU HT 2018, Andreas Rietz (anri0596) Inledning Denna uppsats handlar om vilken grad av problemkomplexitet som är önskvärd och möjlig för elever som övar problemlösning i matematik. Dessutom handlar uppsatsen om hur lärare i matematik kan bedöma elevernas prestationer i samband med problemlösning. Med bedömning menar jag inte bara lärarens möjligheter att sätta betyg, utan minst lika mycket om hur läraren ska kunna bestämma elevernas kunskapsnivå för att därigenom ha möjlighet att stödja elevernas lärande på bästa sätt (Jönsson 2017 s 9). Matematik i svenska skolan är enligt min erfarenhet ett ämne där undervisningen ofta följer en traditionell form, med stor vikt på övning och bedömning av rutinuppgifter. Detta överensstämmer med slutsatserna Jönsson 2017 (s 22), som generellt konstaterar att svenska skolan ägnar för mycket tid åt att öva enkla rutinuppgifter. Denna åsikt grundar sig på en slutsats att det är nödvändigt att ägna mer tid åt komplexa uppgifter och övningar eftersom bara en liten del av de kunskapskrav som beskrivs i läroplanen handlar om rutinuppgifter. De förmågor i matematik som beskrivs i läroplanen handlar lika mycket om resonemang, kommunikation och problemlösning. Detta nämns till exempel redan i först stycket i kunskapskraven för nivå E i årskurs 9: "Eleven kan lösa olika problem i bekanta situationer på ett i huvudsak fungerande sätt genom att välja och använda strategier och metoder med viss anpassning till problemets karaktär." (Lgr11 skolverket 2011A) Jönsson 2017 (s 54-58) drar slutsatsen att dessa förmågor bedöms bäst och övas mycket bra om eleverna får arbeta med konkreta uppgifter, i vad som kallas "autentiska" problem. Autentiska problem handlar om att eleverna får mer komplexa uppgifter där lösningsförfarandet inte direkt är givet. Uppgiften ska även kunna förstås utifrån konkreta handlingar som eleven förväntas behärska, och uppgifterna bör koppla till bekanta situationer för att öka elevens motivation och dessutom ge eleven förståelse för målet med undervisningen. Mitt första diskussionsämne i denna uppsats handlar om hur komplexa problem som kan och bör väljas i samband med autentisk bedömning, för att elevernas inlärning ska bli så bra som möjligt och en god bedömning av elevernas förmågor ska bli möjllig. I detta sammanhang antar jag att undervisningen kompletteras med viss övning av enklare metoder och färdigheter, så att en blandning och variation av genomgångar, individuell övning, autentiska problem och skriftliga prov förekommer i undervisningen. Viss övning och bedömning i rutinfärdigheter och rutinuppgifter antas alltså förekomma utanför de autentiska uppgifterna, för att spegla olika krav i kursplanerna (jmf Gustafsson m.fl. 2012 s 129-130). Mitt andra diskussionsämne handlar om hur läraren bäst ska kunna bedöma och återkoppla till eleverna i samband med problemlösning, speciellt i samband med autentiska problem. Till skillnad från bedömning av enkla rutinuppgifter som kan bedömas med enkla skriftliga prov, så kan bland annat eleverna behöva återkoppling under arbetets gång i samband med problemlösning.
Ämne 1: Komplexitet i autentiska problem inom matematik Enligt förutsättningarna följer att autentiska problem är komplexa eftersom de involverar flera olika förmågor. Jönsson 2017 (s 54-55) ger tre kriterier för autentiska problem, vilka även anses stödja lärandet enligt skolverket 2011 B (s 19). För det första är det givet att eleverna ska kunna utveckla sina möjligheter att välja strategier och metoder genom att tillvägagångssättet eller en lösningsmetodik inte är föreskriven eller uppenbar. För det andra krävs det att uppgiften är direkt uttryckt i något som ska kunna utföras och för det tredje så ska uppgiften helst anknyta till någon tillämpning som eleven har kännedom om. Anknytningen till något eleven har bättre kännedom om gör att eleven får förståelse för undervisningens syfte och målsättning. Teoretisk beskrivning av målen utan koppling till något konkret som ska utföras har en risk att bli alltför abstrakt, så därför utgör beskrivningen av ett konkret problem en bättre utgångspunkt. Målen ska alltså vara mätbara och inte beskrivas som exempelvis förståelse. I praktiken innebär formativ undervisning med autentiska problem att undervisningen utgår från slutprodukten (Klapp 2017 s 160, Jönsson 2017 s 35-36). Sen kan målen med undervisningen diskuteras med eleverna för att lösa problemet på ett bra sätt utifrån det som ska skapas eller utföras. Men för att beskriva innehållet i en kurs måste uppgiften innehålla flera förmågor från läroplanens kunskapskrav, så uppgifterna måste ha en viss komplexitet. I matematikundervisningen ska eleven visa förmågor som berör problemlösning, metodfrågor, begrepp, resonemang och kommunikation (Lgr11). Uppgifter som berör alla förmågor blir omfattande. Men det finns risker med att försöka inkludera en hög nivå av alla de förmågor som ingår i kunskapskraven. Genom kunskapskraven så framkommer specifikt att alla elever ska ha möjlighet att ägna sig åt problemlösning med öppna problem, se exempelvis kunskapskraven i Lgr11 för nivå E i årskurs 9 (ovan). Detta gäller alltså även de elever som har svårigheter med enklare färdigheter som metod och rutinuppgifter. Den möjligheten tillhandahålls inte i traditionell undervisning där endast de elever som klarat de enklare momenten går vidare till mer komplexa problem (Hagland m.fl. 2016 s 20). Slutsatsen blir därför att läraren måste skapa autentiska problem så att alla elever ska kunna visa sina olika förmågor. Ett urval av kunskapskraven måste därför göras. För den lärare som tillexempel vill arbeta mer med kommunikation i matematiken kan det vara nödvändigt att behöva låta uppgiftens krav på resonemang vara måttlig för att inte utgöra ett oöverstigligt hinder för en del elever. Om alla förmågor ska provas, så är det också svårt att veta hur svårigheter i en förmåga påverkar möjligheten att visa andra förmågor. Kunskapskraven i form av olika förmågor som krävs av eleverna i olika uppgifter måste därför balanseras. Specifikt kan det konstateras att bland annat kraven på problemlösning som förmåga i de autentiska problemen inte alltid behöver vara framträdande. Det finns även risk med allt för öppna uppgifter, genom att eleverna inte visar de förmågor läraren haft för avsikt. Gustavsson m fl (2012, s 78) konstaterar istället att uppgiften ska vara konkret. Men med något öppna problem finns det större möjlighet att hantera elevernas individuella variation inom uppgiftens ramar. En svårighet i klassrummet för lärare är att hantera den stora individuella variationen av förkunskaper och motivation.. Det är alltså bra om en uppgift kan utvecklas till olika nivåer (Hagland m.fl. 2016 s 20-24). I utvecklande av provuppgift så arbetade jag bland annat med följande elevuppgift:
Eleverna ska sälja popcorn i papperskonor rullade av A4-papper. Eleverna får räkna ut lämpligt pris förutsatt att 3 påsar a 1.5 liter mikropopcorn kostar 20 kr, och en papperskon kostar 1 kr. (från seminarium 4, sammanfattat) En sådan uppgift kan utvecklas i flera aspekter för olika elever, och det kan även överlåtas till eleverna att generalisera genom att de får formulera liknande problem eller genom att försöka hitta någon "bästa" lösning och sedan beskriva hur de resonerar Jönsson 2017 diskuterar validitet (s 59) och tillförlitlighet (s 62) som två viktiga aspekter i bedömning och problemformuleringen. Med validitet så menas att de förmågor som bedöms i uppgifterna sammanfaller med läroplanens kunskapskrav, och med tillförlitlighet menas att ovidkommande och slumpmässiga faktorer inte får betydelse i bedömningen. Speciellt så betonar Jönsson 2017 (s 73) att läraren måste planera för bedömningen under arbetet med uppgifter, för att veta hur väl kursens uppgifter överensstämmer med målsättningen. Genom att elever får visa sina förmågor flera gånger under kurserna så ökar bedömningens tillförlitlighet. Både god validitet och tillförlitlighet kräver lärarens planering (Jönsson 2017), och detta gäller speciellt då nuvarande kursplanernas krav på mer komplexa förmågor mer sammanfaller med kraven i autentiska problem. Vikten av planering för att säkerställa validiteten och tillförlitlighet i uppgifter betonas också i Black m.fl. (1998). Gustavsson m.fl. 2012 (s 162) ser trotsallt en risk med att validiteten blir låg om uppgifterna blir för öppna, eftersom det finns risk för att bland annat elevernas självförtroende och stresstålighet får större betydelse. Personliga egenskaper som familjebakgrund och blyghet kan påverka elevers möjlighet att lösa uppgiften (Gustavsson m.fl. 2012 s 160). Dessa författare anser att det är rimligt att eleverna får en tydlig instruktion för vad som krävs för att uppnå en godkänd nivå. Även Jönsson 2017 (s 64) betonar att detaljerade anvisningar ökar tillförlitligheten för autentiska problem, och även om uppgifterna är komplexa så kan läraren ge exempel på lösningar, undvika tidsbrist och ge tillfälle till flera olika bedömningar. Jönsson 2017 betonar också vikten av att låta summativa bedömningsgrunder vara kända av eleven innan arbetet startar (s 42-48). I traditionell undervisning kopplar ofta många uppgifter "lästal" till praktiska tillämpningar, men min egen erfarenhet är att eleverna inte tar till sig eller engagerar sig i dessa korta uppgifter. Eleverna koncentrerar sig på vissa kodord i uppgiftsformuleringen istället. Exempel från VFU1-praktik i högstadiet: Eleverna har prov i momentet längdskala, och ska bestämma en insekts längd i verkligheten utifrån en förstorad bild. Insekten är avbildad i skala 100:1, och är 8 cm på bilden. Flera elever svarar att insekten borde vara 8 meter lång i verkligheten, vilket inte är rimligt. Eleverna har alltså inte reflekterat över om svaret är rimligt, vilket borde ha gjort att de identifierat sina felaktiga antaganden. I själva verket undervisar många lärare i metoder att hitta kodord i texten som är viktiga för matematiken (Österholm 2009). Så kallade autentiska problem som är tillämpade med öppna frågor kan undvika denna risk av att bortse från tillämpningen, om eleverna reflekterar mer över uppgiften, lösningen och svaret. Men detta kräver också mer läsförståelse av eleverna, och förmågan att förstå komplexa problem. Min slutsats om autentiskas uppgifters komplexitet och öppenhet är att dessa måste vara av begränsad omfattning, och istället förekomma flera gånger i en längre kurs. En viktig anledning till detta är att
läraren måste känna sina elever när uppgifter väljs, så läraren måste få möjlighet att kontinuerligt följa upp elevernas prestationer. Det handlar om att hitta uppgifter som är väl anpassade utmaningar för elevens lärande, så kallade uppgifter i elevens proximala utvecklingszon i Vygotskys sociokulturella teori (Klapp 2015 s 45). Utmanande uppgifter kan även utveckla elevens självförtroende. Dessutom måste momenten planeras och formuleras så att de övar och bedömer olika förmågor. Detta kan även åstadkommas med olika redovisningsformer. Ämne 2. Möjligheter för lärarens bedömning och återkoppling i momentet med problemlösning i matematik Hur ska en matematiklärare bäst ska kunna bedöma och återkoppla till eleverna i olika moment med problemlösning? Hagland m.fl. 2016 (s 70-73) tar upp flera metoder: 1. Möjligheten till individuell bedömning, speciellt om eleverna samlar sina lösningar till en mapp, en så kallad portfolio, som kan samlas in för bedömning. 2. I mindre grupper så kan läraren följa och bedöma elevernas bidrag i att resonera och pröva matematiska resonemang. Detta kräver att läraren är formativt närvarande, vilket också kan krävas för att stödja grupperna. Dessutom kräver det mycket lyhördhet av läraren. 3. Under gruppdiskussioner måste läraren se till att alla elever är införstådda med arbetet. Ett sätt är att kontrollera elevernas delaktighet är att se om eleverna kan återberätta, och/eller föreslå någon annan lösning eller diskutera svårigheter. Uppgifter i grupp kan även kompletteras med individuell redovisning. Alternativt kan eleverna göra individuell reflektion i samband med mer komplex uppgift, bland annat genom att skriva ner vad de lärt sig. Gustavsson m. fl. 2012 (s 28) konstaterar att självreflektion måste vara konkret för att bidra till elevernas lärande, och inte uttryckas i generella termer. 4. Uppgiften kan även ge eleverna möjlighet att formulera och lösa liknande problem, vilket kan ge möjlighet för läraren att kunna observera vad eleverna ser som det väsentliga innehållet i uppgiften. Detta kräver att läraren betonar syftet med övningen inte gäller att formulera samma uppgift med andra siffror. 5. Under gemensam klassrumsdiskussion så bör läraren lyfta elevernas lösningar och diskutera den matematik som är aktuell. Det är ju naturligt i samband med tillexempel gruppredovisningar. Men läraren bör då diskutera den matematik som används, och se om elever förstår det generella sambandet med olika moment i matematiken. De val av olika former av återkoppling som läraren kan ge kompletterar varandra, och har olika fördelar. Det är viktigt att återkopplingen har rätt "tajming" enligt Klapp 2012 (s 163) samtidigt som det är minst lika viktigt att tajmingen inte får inverkar på återkopplingens kvalité enligt Jönsson 2016 (s 98). Enligt Jönsson 2016 (s 98-101) finns det därför argument för både individuell och skriftlig återkoppling som har högre kvalité (exempelvis metod 1) och snabbare gruppvis muntlig återkoppling (exempelvis metod 5). Återkopplingen kan alltså vara en variation mellan riktad individuell återkoppling och en mer omedelbar generell återkoppling till större grupp av elever.
Jönsson 2017 (s 88) betonar i samband med lärarens möjligheter till återkoppling att eleven måste kunna och måste få möjlighet att använda sig av informationen som läraren ger för att den ska bli meningsfull. Återkoppling medan uppgiften pågår är mer effektiv för elevernas lärande. Läraren bör alltså ge möjlighet för elever att använda sig av återkoppling, och diskutera hur återkopplingen kan användas. Då lär sig eleven effektivare strategier för att använda återkopplingen. Detta motiverar för läraren att vara formativt närvarande under elevernas arbete, det vill säga metod 2 och 3 ovan. Det finns många generella råd om problemlösning som läraren kan ge för att stödja, se Hagland m.fl. 2016 (s 20). Under problemlösning i matematik kan eleverna specifikt kontrollera begrepp ur uppgiften de är osäkra på, rita bilder, söka mönster, göra listor, tabeller eller diagram, gissa och pröva, studera ett enklare problem eller använda laborativt material. Alla dessa aktiviteter innebär tillfälle till lärande för eleven, och tillfälle för bedömning för läraren, även om eleverna inte når ända fram med hela uppgiften utan vägledning från läraren. Erfarenheterna är att generella råd bara bör lämnas i formativt syfte (Hagland 2008, s 20), och att en generell förevisning av generella metoder har begränsad effekt. Eleverna kan naturligtvis även behöva stöd med specifika moment. Återkoppling har även stor betydelse som motivation för eleven, som Brookhart 2008 uttrycker det: "Feedback says to a student, Somebody cared enough about my work to read it and think about it! " I matematik har jag upplevt en risk med att återkoppling kan upplevas kritiserande, genom att i huvudsak fel påpekas och att nyanseringen i detta fall är otydlig, speciellt med individuell återkoppling enligt metod 1. Därför måste positiv återkoppling speciellt betonas, även om det är lätt att som lärare konstatera att eleverna inte alltid är uppmärksamma och gör slarvfel. Genom att i huvudsak anmärka på elevens slarvfel så skapas inte någon konstruktiv diskussion och relation mellan lärare och elev. Brookhart 2008 (s 5) betonar detta, och vikten av att läraren ska försöka ge mer positiv än negativ kritik, och dessutom att fokusera återkopplingen på lösandet av uppgiften. Detta överensstämmer med Klapp 2012 (s 163) som även betonar att återkopplingen ska vara framåtriktad, vilket speciellt muntlig återkoppling som metod 5 har möjlighet att vara. Jönsson 2016 (s 94, s 104) betonar också att den mesta av återkopplingen bör vara i anslutning till uppgifter, men även lyftas till en processnivå som betonar hur liknande uppgifter kan lösas i framtiden. Detta blir naturligt om återkopplingen görs från de förmågor som krävs enligt läroplanens kunskapskrav. Slutligen konstaterar Gustavsson m.fl. 2012 att tillförlitligheten i lärarens bedömning och återkoppling beror på detaljerna i hur uppgiften organiseras och vilka förmågor uppgiften är tänkta att mäta (Gustavsson m.fl. 2012 s 163). Det prestationer som krävs av eleven beror bland annat på uppgiftens svårighet (uppgiftsstandard), hur uppgiften ska redovisas (processstandard) och hur den examineras (bedömningsstandard), och möjligheten till återkoppling påverkas också av de val som görs. Ett specifikt problem med återkoppling i lösning av komplexa uppgifter är att de innehåller många olika aspekter vilket kan göra återkopplingen omfattande (Gustavsson m.fl. 2012 s 165) och därigenom kan det också bli svårt att specificera betygsgrunder (Gustavsson m.fl. 2012 s 169). Bedömning och återkoppling i problemlösning innehåller alltså många val, och det är tydligt att flera olika metoder måste användas för att komplettera varandra. Den generella slutsatsen är att en variation mellan olika former ökar tillförlitligheten och kvalitén i den återkoppling som läraren har möjlighet att
ge (Gustavsson m.fl. 2012 s 129-130). SLUTSATSER Vilka uppgifter som elever ska lösa och hur läraren kan återkoppla till dessa är generella frågor som kräver mycket reflektion av lärare. I båda utmaningarna som beskrivs ovan är det viktigt att läraren känner sina elever och har bra relationer med dem, för att undervisningens moment väljas på ett bra sätt och återkopplingen till eleverna ska bli effektiv. Detta betyder att läraren ständigt behöver utvärdera sin undervisning genom att ta återkoppling från elever och genom att själv utvärdera sin egen undervisning. En stark orsak till att jag själv gärna vill använda autentiska uppgifter i matematik är även att kunna utveckla elevernas självförtroende i ämnet, så att de vågar använda sina kunskaper i ämnet i verkliga livet. Elevens personliga egenskaper som tillexempel självförtroende kan få betydelse förutom ämneskunskaperna, och det är en utmaning lärare får arbeta med (Gustavsson m.fl. 2012 s 162). Tillsist ser jag mer arbete i grupper med autentiska problem som ett bra sätt att utveckla undervisningen för att stödja elevernas lärande och skapa bra klassrumsklimat. Klapp 2017 (s 178) betonar just lärarens viktiga roll i att skapa förutsättningar för lärande och i att skapa ett bättre klassrumsklimat som en viktig förutsättning för bättre prestationer, snarare än enbart ha rollen som kontrollant av elevernas prestationer. REFERENSER Black, P., & Wiliam, D. (1998). Inside the Black Box: Raising Standards Through Classroom Assessment. Phi Delta Kappan, 80(2), 139 144 Brookhart, S. (2008), How to give effective feedback to your students, Association for Supervision and Curriculum Development (ASCD), Virginia USA Gustavsson, A, Måhl, P. & Sundblad, B. (2012): Prov och arbetsuppgifter: en handbok. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Haglund, K, Hedren, R, Taflin, E. (2016), Rika matematiska problem (1. uppl.) Stockholm: Liber. Jönsson, A. (2017). Lärande bedömning (4. uppl.). Malmö: Gleerups. Klapp, A. (2015). Bedömning, betyg och lärande. Lund: Studentlitteratur. Skolverket (2011A). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet. Stockholm: Skolverket (Lgr11) Skolverket. (2011B). Kunskapsbedömning i skolan: praxis, begrepp, problem och möjligheter. Stockholm: Fritze Österholm, M (2009), Kan vi separera läsning från matematikämnet? Dyslexi, 14(3), s18