8. Val och design av reglerstruktur 8.2 Decentraliserad reglering I en fabriksanläggning kan finnas hundratals eller t.o.m. tusentals variabler som skall regleras. Uppenbarligen vore det i ett sådant fall mycket opraktiskt att designa och använda ett reglersystem där alla mätsignaler tas in i en enda stor regulator, som bestämmer alla styrsignaler. I en sådan MIMO-regulator skulle regulatordesignen och ev. tillståndsestimering skulle bli ett formidabelt numeriskt problem onoggrannheter i processmodellen skulle i praktiken leda till ett reglersystem med dålig prestanda, kanske t.o.m. instabilitet Såsom illustrerades i föregående avsnitt delar man upp ett stort system i ett antal delsystem, som man behandlar var för sig. Väldigt vanligt är att reglera varje variabel, som skall regleras, med en skild regulator som använder en av de tillgängliga styrvariablerna för reglering av variabeln i fråga. Reglering med en sådan multiloop SISO-reglerstruktur kallas decentraliserad reglering. Detta är den vanligaste reglerstrategin för multivariabla system i processindustrin. Det fundamentala problemet vid decentraliserad reglering är hopparningen av in- och utsignaler för n stycken utsignaler finns n! stycken enkla hopparningsalternativ. Reglerteknik II Tillståndsmetoder (419301) 8 8
8.2 Decentraliserad reglering 8.2.1 Ett illustrationsexempel Betrakta ett system, som beskrivs modellen y () s G () s G () s u () s 1 11 12 1 y2() s = G21() s G22() s u2() s, 2 k G 12 11() s =, G 2 12() s = s + 3s+ 2 s + 1 k21 6 G21() s =, G 2 22() s = 2 s + 2s+ 1 s + 5s+ 6 där k 12 och k 21 är två parametrar, som har olika värden vid olika driftspunkter. Driftspunkt 1: k 12 = k 21 = 0 Vid denna driftspunkt har vi två delsystem som är oberoende av varandra. Vi skall uppenbarligen reglera y 1 med u 1 och y 2 med u 2. Reglerade delsystem med naturliga frekvensen 3 och relativa dämpningen 2/3, vilket ger en relativ översläng av storleken 6%, erhålles med regulatorerna 2 2 4,5( s + 3s+ 2) 1,5( s + 5s+ 6) Gc1() s =, Gc2() s = ss ( + 4) ss ( + 4) 8. Val och design av reglerstruktur 8 9
8.2.1 Ett illustrationsexempel Driftspunkt 2: k 12 = k 21 = 0,1 Figuren till höger visar ett reglerresultat när ovan bestämda regulatorer används. Regleringen fungerar uppenbarligen bra. Driftspunkt 3: k 12 = 1, k 21 = 0,5 Figuren nere till höger visar ett reglerresultat med samma regulatorer. Det reglerade systemet är stabilt, men resultatet är ändå mindre bra. Det finns en klar korskoppling mellan reglerkretsarna. Driftspunkt 4: k 12 = 2, k 21 = 1 I detta fall blir det reglerade systemet instabilt (ingen figur)! Plant outputs and ref. Plant outputs and ref. 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time [s] 1.5 1 0.5 0 0.5 1 Vad beror detta på? Finns det något vi kunde göra för att förbättra regleringen? r 1 (t) r 1 (t) 8.2 Decentraliserad reglering 8 10 y 1 (t) y 1 (t) r 2 (t) 1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time [s] y 2 (t) r 2 (t) y 2 (t)
8.2 Decentraliserad reglering 8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system Antag att vi har ett system med två insignaler, u 1 och u 2, och två utsignaler, y 1 och y 2. Vi önskar reglera systemet med två SISO-kretsar. Hur vet vi då om vi skall reglera y 1 med u 1 och y 2 med u 2 (reglerstruktur A) eller tvärtom (reglerstruktur B)? 8. Val och design av reglerstruktur 8 11
8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system Som ett konkret exempel kan vi betrakta en kontinuerlig blandning av två vattenströmmar för att få en vattenström av önskad storlek med en önskad temperatur. Skall vi då reglera temperaturen med inström A och totalströmmen med inström B eller tvärtom? För att ta ställning till frågan måste vi veta litet mera. Anta att inströmmarna har (de nominella) temperaturerna T A = 80 C, T B = 20 C samt att vi önskar T C = 60 C och m C = 20 kg/min. Skall vi reglera temperaturen med den inström vars temperatur ligger närmare den önskade eller tvärtom? Vi skall undersöka saken med hjälp av en processmodell. 8.2 Decentraliserad reglering 8 12
8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system Processmodell I blandningspunkten gäller massbalansen ma + mb = mc (8.2.1) samt energibalansen maha+ mbhb= mchc (8.2.2) där h betecknar specifik entalpi (enhet kj/kg). Variablerna är funktioner av tiden, men eftersom vattenströmmarna blandas ögonblickligen, förekommer inga tidsderivator. Om 0 C väljes till referenstemperatur för specifika entalpin och värmekapaciteten c p antas vara oberoende av temperaturen i det temperaturområde vi rör oss i, gäller h= cpt. Insättning i ekv. (8.2.2) ger då mt A A+ mt B B= mt C C (8.2.3) Vår processmodell utgörs av ekv. (8.2.1) och (8.2.3). Denna modell är olinjär (pga ekv. (8.2.3)) och för att underlätta den fortsatta analysen skall vi linjärisera den. 8.2 Decentraliserad reglering 8 13
8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system En linjär processmodell Linjärisering av processmodellen (8.2.1) och (8.2.3) kring ett stationärtillstånd ger Δ ma +Δ mb =Δ mc (8.2.4) TAΔ ma + maδ TA + TBΔ mb + mbδ TB = TCΔ mc + mcδ TC (8.2.5) Δ x anger en avvikelse från stationärtillståndet x. Eliminering av där Δ mc från (8.2.5) med (8.2.4) ger ( T T ) Δ m + ( T T ) Δ m + m Δ T + m Δ T = m Δ T (8.2.6) A C A B C B A A B B C C I matrisform kan (8.2.4) och (8.2.6) skrivas ΔmC 1 1 ΔmA 0 0 ΔT A TA TC TB TC ma mb T = C m + m B T Δ B C m Δ Δ C mc m C (8.2.7) 8.2 Decentraliserad reglering 8 14
8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system Modellen säger hur förändringar i reglervariablerna m A och m B påverkar m C och T C, dvs de variabler vi önskar reglera. Modellen säger också hur störningar i inströmmarnas temperaturer T A och T B påverkar utsignalerna. Alla parametrar i modellen kan beräknas utgående från givna data. Masströmmarna och m fås utgående från den olinjära processmodellen (8.2.1) och (8.2.3) enligt B T T C B ma = mc T A T B, T T C A mb = mc T B T A m A (8.2.8) Numeriskt fås då för modellen (8.2.7) ΔmC 1 1 ΔmA 0 0 ΔTA T = C 1 2 + m B 2/3 1/3 T Δ Δ Δ B (8.2.9) 8.2 Decentraliserad reglering 8 15
8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system Ekvation (8.2.9) utsäger följande: Det spelar ingen roll för regleringen av m C om vi använder m A eller m B. T C påverkas kraftigare av m B än av m A. För att eliminera en störning i T C räcker det då med en mindre justering i B som skulle behövas i m A. Det här betyder också att utströmmen m C störs mindre om T C regleras med B om T C regleras med m A. Om en störning i m C skall elimineras, påverkas T C i sin tur mindre om C med m A än om m C regleras med m B. Vi skall följaktligen reglera T C med m B och m C med m A. m än vad m än m regleras Om vi generaliserar, betyder detta att utströmmens temperatur skall regleras med den inström, vars temperatur ligger längre från den önskade temperaturen i utströmmen. 8.2 Decentraliserad reglering 8 16
8.2 Decentraliserad reglering 8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar En reglerkrets kan förväntas fungera bättre ju mindre den påverkas ( störs ) av andra reglerkretsar i systemet genom korskoppling, även kallad interaktion. y u, Som ett mått på denna korskoppling för en reglerkrets med variabelparningen i- j har Edgar Bristol (1966) föreslagit den relativa förstärkningen för variabelparningen. Den definieras som förhållandet mellan den vanliga (statiska) förstärkningen mellan y i och u j och förstärkningen mellan samma variabler när alla andra utsignaler i systemet är (perfekt) reglerade. Om den relativa förstärkningen avviker mycket från 1 är det en indikation på att reglerkretsen störs av andra reglerkretsar. Matematiskt definieras den relativa förstärkningen λ ij för variabelparningen i- j ( yi / uj) uk, k j λij = (8.2.10) ( y / u ) i j y, k i Märk att de behövliga partialderivatorna kan bestämmas både för linjära och olinjära modeller. 8. Val och design av reglerstruktur 8 17 k y u
8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar De relativa förstärkningarna λ ij kan samlas i en matris av relativa förstärkningar, på engelska Relative Gain Array, förkortat RGA, som även blivit den benämning som ofta används på svenska. För ett system av storleken n n blir RGA-matrisen λ11 λ12 λ1 n λ21 λ22 λ 2n Λ= λn1 λn2 λnn Märk att RGA-matrisen ger information om alla tänkbara variabelparningar y -u. RGA-matrisen har bl.a. följande två egenskaper: Summan av elementen i varje rad och i varje kolonn är 1. För en RGA-matris av storleken 2x2 innebär detta att endast ett element behöver beräknas enligt definitionen, t.ex. λ 11, de övriga fås enligt summaregeln. RGA-matrisen är oberoende av variabelskalningar. En omskalning av in- eller utsignaler (t.ex. pga enhetsbyte) ändrar således inte på RGA-matrisen. (8.2.11) 8.2 Decentraliserad reglering 8 18 i j
8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar Val av reglerstruktur enligt RGA Man väljer variabelparningar i en decentraliserad reglerstruktur enligt följande principer: Välj variabelparningar på RG-värden (relativa förstärkningar) så nära +1 som möjligt. Speciellt bör negativa RG-värden undvikas (ger någon form av instabilitetsproblem). Mycket stora RG-värden (>10...20, gränsen inte entydig) leder vanligtvis till dålig reglerprestanda. Ofta är valet inte entydigt när man skall jämföra RG-värden mellan 0 och 1 med >1 (skalan är olinjär, området 0...1 motsvarar 1... ). Variabelparning enligt RGA-matrisen är relativt pålitligt för 2x2-system; för större system är tillförlitligheten inte lika stor. Märk att man skall välja en parning från varje rad och varje kolonn i RGA-matrisen. Märk även att dessa egenskaper/regler gäller för de valda variabelparningarna i en reglerstruktur; RGA-elementens värden för icke valda variabelparningar spelar ingen roll. Ytterligare kan konstateras att det existerar svårreglerade system där alla decentraliserade reglerstrukturer har någon variabelparning på ett negativt RG-värde. 8.2 Decentraliserad reglering 8 19
8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar Beräkning av RGA för ett linjärt 2x2-system Vi skall illustrera hur RGA kan beräknas för ett linjärt 2x2-system i enlighet med definitionen (8.2.10). RGA-matrisens egenskap att alla rad- och kolonnsummor är lika med 1 gör att det är tillräckligt att bestämma ett av elementen. Här skall vi bestämma λ 11. Den statiska processmodellen för ett 2x2-system har formen y1 = K11u1+ K12u2, y2 = K21u1+ K22u2 (8.2.12a,b) där K ij är statiska förstärkningar. För beräkning av nämnaren i (8.2.10) eliminerar vi u 2 från (8.2.12a) med hjälp av (8.2.12b). Vi får y = K u + K ( y K u )/ K (8.2.13) 1 11 1 12 2 21 1 22 Täljaren och nämnaren i (8.2.10) fås enligt ( y1/ u1) u = K 2 11, ( y1 / u1) y = K 2 11 K12K21 / K22 (8.2.14) som ger λ 1 11 = 1 K K / K K (8.2.15) 12 21 11 22 8.2 Decentraliserad reglering 8 20
8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar 4Exempel 8.2.1 Beräkning av RGA för blandning av två vätskeströmmar Vi skall beräkna RGA för vattenblandningsexemplet i avsnitt 8.2.2. Enligt ekv. (8.2.7) ges förstärkningarna av uttrycken K 11 = 1, K 12 = 1, K 21 T T A C =, mc K 22 = TB T m Insättning i ekv. (8.2.15) ger för variabelparningen 1-1 (dvs mc-m A) 1 TB TC λ11 = = 1 ( TA TC)/( TB TC) TB TA Variabelparningen i fråga är den korrekta om λ 11 > 0,5, dvs om TC > 0,5( TA + TB), vilket är i enlighet med tidigare allmänna slutsats om bästa variabelparning. Numeriskt fås med A T = 80 C, T B = 20 C, T C = 60 C att λ 11 = 2/3> 0,5. 3 Övning 8.2.1 Illustrationsexemplet i avsnitt 8.2.1 Försök att med RGA förklara det i avsnitt 8.2.1 studerade systemets egenskaper i de olika driftspunkterna. Beräkningarna kan göras med systemets statiska förstärkningar. C C 8.2 Decentraliserad reglering 8 21
8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar Beräkning av RGA för ett godtyckligt linjärt system Vi skall här visa hur RGA enkelt kan beräknas för ett linjärt system av godtycklig storlek. Dessutom utvidgar vi behandlingen så att överföringsfunktioner kan användas i stället för de statiska förstärkningarna. Vi får då en RGA-matris där elementen är funktioner av den komplexa Laplacevariabeln s och därmed även frekvensberoende RGA-matris (genom substitutionen s = jω ). Systemet beskrivs av modellen y() s = G()() s u s (8.2.16) Detta betyder att täljaren i ekv. (8.2.10) är lika med G () s. Ekv. (8.2.16) ger även 1 1 8.2 Decentraliserad reglering 8 22 ij u() s = G ()() s y s (8.2.17) Eftersom [ G ( s)] ji = ( uj / yi ) y k, k i är det klart att inversen av [ G ( s)] ji är lika med nämnaren i (8.2.10). Av detta följer att hela RGA-matrisen behändigt kan beräknas enligt T Λ() s = G() s G () s (8.2.18) T där G är den transponerade inversen av G och betecknar elementvis multiplikation T (precis som Matlab-operatorn. ) så att [ Λ( s)] = [ G( s)] [ G ( s)]. ij ij ij 1
8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar Några anmärkningar: Ekv. (8.2.18) möjliggör beräkning av en frekvensberoende RGA-matris. Om λ ij (dvs magnituden av λ ij) varierar mycket med frekvensen kan det vara skäl att undvika parningen yi-u j även om det statiska värdet på λ ij vore acceptabelt. Även om man avser att använda en statisk RGA-matris, får man beräkningsproblem om något element i G () s innehåller integrerande verkan. Man kan då först beräkna Λ s enligt (8.2.18) och därefter sätta s = 0 för att få den statiska RGA-matrisen. () Utgående från ekv. (8.2.18) och det faktum att G G I kan man bevisa att RGA-matrisens rad- och kolonnsummor måste vara lika med 1. 1 () s () s = 8.2 Decentraliserad reglering 8 23
8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar 4Exempel 8.2.2 Beräkning av RGA för ett 3x3-system Vi skall beräkna RGA för ett system med förstärkningsmatrisen Inversen och dess transponat blir 1 2,662 8,351 8,351 K = 0,3816 0,5586 0,5586 0 11,896 0,3511 0,1195 1,787 0 = 0,002341 0,01633 0,08165 0,07931 0,5532 0,08165 K, vilket ger K T 0,3182 0,0195 0,6623 T Λ = K K = 0, 6818 0, 0091 0,3090 0 0,9713 0, 0287 0,1195 0, 002341 0, 07931 = 1, 787 0, 01633 0,5532 0 0,08165 0,08165 anger bästa parning 3 8.2 Decentraliserad reglering 8 24
8. Val och design av reglerstruktur 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer För att decentraliserad reglering skall fungera (tillräckligt bra) måste det finnas naturliga par av in- och utsignaler som står för den dominerande dynamiken i systemet. Om inoch utsignalerna ordnas så, att den bästa variabelparningen sker längs diagonalen av överföringsmatrisen (och RGA-matrisen), kommer den dominerande dynamiken då att finnas i överföringsmatrisens diagonalelement. Detta betyder att överföringsmatrisen (med in- och utsignalerna ordnade på detta sätt) borde vara diagonaldominant, dvs i viss mån likna en diagonal matris. Om ett sådant arrangemang inte är möjligt, fungerar ren decentraliserad reglering mindre bra. Som vi sett i kursen, existerar det äkta designmetoder för multivariabla system (polplacering, LQG, MPC). Som ett mellanting mellan full decentraliserad reglering och äkta multivariabel reglering kan man tänka sig att designa en reglerstruktur genom variabeltransformationer som gör att överföringsmatrisen blir diagonaldominant med avseende på de nya variablerna. Då kan man fortfarande ha en decentraliserad reglerstruktur (multiloop SISO-reglering) med de nya variablerna som in- och utsignaler. Reglerteknik II Tillståndsmetoder (419301) 8 25
8.3 Variabeltransformationer 8.3.1 Frånkoppling Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen y () s G () s G () s u () s 1 11 12 1 y2() s = G21() s G22() s u2() s (8.3.1) Figuren till höger visar ett blockschema över systemet. Om G 12 och G 21 är små jämfört med G 11 och G 22 kan vi använda vanlig decentraliserad reglering, där y 1 regleras med u 1 och y 2 regleras med u 2. Regulatorerna kan förmodligen designas utan att beakta korskopplingselementen G 12 och G 21. Om G 12 och G 21 inte är små, har vi en betydande korskoppling i systemet, som borde beaktas vid regulatordesignen. En sådan metod är frånkoppling (även kallad frikoppling, eng. decoupling). 8. Val och design av reglerstruktur 8 26
8.3.1 Frånkoppling s y() s = G()() s u s (8.3.2) Betrakta nu ett allmänt system med överföringsmatrisen G () så att där y är en vektor av utsignaler och u är en vektor av insignaler. Om vi ursprungligen känner systemet skrivet på tillståndsform ( ABC,, ) fås G som bekant enligt Vi söker en variabeltransformation som ger 1 G() s = C( si A) B (8.3.3) u() s = D() s m () s (8.3.4) y() s = G() s D() s m() s = H() s m () s, H() s = G() s D () s (8.3.5) så att överföringsmatrisen H () s får trevliga egenskaper för design av en regulator med m () s som styrsignal. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 27
8.3.1 Frånkoppling Vi kan i princip välja H () s såsom vi önskar och beräkna D () s enligt 1 D() s = G () s H () s (8.3.6) Det bör dock observeras att alla element i D () s bör vara stabila och praktiskt realiserbara. Detta medför ofta begränsningar i valet av H () s. Speciellt kan följande noteras: Om G () s innehåller en eller flera dödtider, kan (8.3.6) ge negativa dödtider i D () s, som inte kan realiseras. Kan åtgärdas genom att inkludera lämpliga dödtider i H () s. Om G () s innehåller något nollställe i högra halvplanet, kan D () s bli instabil. Kan åtgärdas genom att låta H () s ha motsvarande nollställen i högra halvplanet. Ofta nöjer man sig med frånkoppling i stationärtillstånd, dvs frånkopplingsmatrisen är en statisk matris (0) D beräknad enligt (8.3.6) med s = 0. Nästa steg är att utgående från H () s designa en regulator, vars utsignal ( ) blir insignal till frånkopplingsblocket () (normalt en diagonalmatris) och y r är y:s ledvärde. m() s = C() s yr () s y () s (8.3.7) D s. Här är C () s regulatorns överföringsmatris 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 28
8.3.1 Frånkoppling Fullständig frånkoppling Om vi väljer H () s som en diagonalmatris av önskade överföringsfunktioner fås fullständig frånkoppling. Detta gör den efterföljande regulatordesignen speciellt enkel. För 2x2-system talar man även om tvåvägsfrånkoppling, som kommer av att man då frånkopplar två reglerkretsar. I praktiken kan man kombinera valet av H () s och realiserbarheten av D () s genom att skriva (8.3.6) som funktion av elementen i H () s och D () s. H () s 0 = 0 H22( s) Med H () 11 (8.3.8) fås () s = s G22() s H11() s G12() s H22() s G21() s H11() s G11() s H22() s G () s G () s G () s G () s D (8.3.9) 11 22 12 21 Utgående från (8.3.9) kan man se hurudana val av H 11 () s och H 22 () s som gör elementen i D () s realiserbara och som samtidigt är tillräckligt enkla för bekväm regulatordesign. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 29
8.3.1 Frånkoppling 4Exempel 8.3.1 Tvåvägsfrånkoppling av ett enkelt system Vi skall bestämma en tvåvägsfrånkoppling för ett system som beskrivs av en tillståndsmodell ( ABC,, ) med 2 3 1 0 1 2 A = 0 1, B = 0 1, C = 3 1. Enligt (8.3.3) fås s+ 1 2s+ 7 1 1 2s 7 1 2 s 2 3 1 0 3s 3 s 11 + + + + s+ 2 ( s+ 2)( s+ 1) G = = =. 3 1 0 s 1 0 1 ( s 2)( s 1) 3 s+ 11 + + + s+ 2 ( s+ 2)( s+ 1) Insättning i (8.3.9) ger 1 ( s+ 11) H11 (2s+ 7) H22 D = 5 3( s+ 1) H11 ( s+ 1) H. 22 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 30
8.3.1 Frånkoppling Här finns inga problem med dödtider eller instabilitet i D-matrisen. Vi kan t.ex. välja 1 0 H () s = s+ 11 0 1 som ger s+ 1 D () s 2 7 1 1 s+ s+ 1 = 3( s+ 1) 5 1 s+ 11 Här har icke-diagonalelementen i D-matrisen formen av PD-regulatorer med filtrering. Om vi vill att alla element i D skall vara strikt propra, kan vi t.ex. välja () s 1 0 ( s+ 1)( s+ 11) = 0 1 ( s+ 1)(2s+ 7) H som ger D () = 1 1 1 s s+ 1 s+ 1 5 3 1 s+ 11 2s+ 1 Här är alla element i D-matrisen enkla först ordningens system, som är enkla att realisera. Märk att vi inte behöver realisera H () s, den används endast för regulatordesign. 3 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 31
8.3.1 Frånkoppling Partiell frånkoppling Trots att det finns frihetsgrader i valet av en diagonal H-matris så att D-matrisen blir realiserbar och inte alltför komplicerad, finns det situationer när det inte är lätt att bestämma en lämplig H-matris. Om överföringsmatrisen () s (8.3.6) dessutom att bli känslig för modellfel pga av inversen av överföringsmatrisen. G har höga RGA-värden, kommer beräkningen av D enligt I sådana fall hjälper det ofta att använda partiell frånkoppling, som karakteriseras av att H-matrisen är triangulär. Detta innebär att det finns 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar utom ovannämnda krets 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar utom kretsarna ovan etc. Hur man väljer vilka kretsar som skall frånkopplas andra kretsar är det svårt att ge ett allmänt svar på. Rimligt förefaller t.ex. att helt frånkoppla den viktigaste kretsen. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 32
8.3.1 Frånkoppling Partiell frånkoppling för ett 2x2-system kallas vanligtvis envägsfrånkoppling. För envägsfrånkoppling har vi följande två möjligheter att välja en triangulär H-matris (frånsett permutationer av insignalerna): H11() s H12() s () s = 0 H22( s) H som ger () s = H11() s 0 () s = H21() s H22() s H som ger G22() s H11() s G22() s H12() s G12() s H22() s G12() s H11() s G12() s H12() s + G11() s H22() s G () s G () s G () s G () s D (8.3.10) 11 22 12 21 G22() s H11() s G12() s H21() s G12() s H22() s G12() s H11() s + G11() s H21() s G11() s H22() s G () s G () s G () s G () s D (8.3.11) () s = 11 22 12 21 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 33
8.3.1 Frånkoppling Frånkoppling genom direkt kombination av variabler Ibland kan det vara enklare att konstruera en frånkoppling genom direkt kombination av variabler. Vi skall illustrera principen med det tidigare behandlade vattenblandningsexemplet. Då bestämdes modellen ΔmC 1 1 ΔmA 0 0 ΔTA T = C 1 2 + m B 2/3 1/3 T Δ Δ Δ B Vi ser att m C bäst regleras med summan av insignal i stället för m blir modellen då A m A och m B. Om vi väljer ma mb ΔmC 1 0 Δ ( ma + mb) 0 0 ΔTA T = C 1 3 + m B 2/3 1/3 T Δ Δ Δ B + till Märk att (8.3.13) ger precis samma samband mellan de verkliga variablerna som (8.3.12). (8.3.12) (8.3.13) 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 34
8.3.1 Frånkoppling Eftersom förstärkningsmatrisen i (8.3.13) blivit triangulär, motsvarar detta en envägsfrånkoppling, såsom blockschemat nedan illustrerar. På motsvarande sätt kan man ur (8.3.13) se att T C bäst skulle regleras med en variabel lika med 1( ma + mb) 3 mb dvs ma 2mB. Denna insignal ger modellen ΔmC 1 0 Δ ( ma + mb) 0 0 ΔTA T = C 0 1 + ( ma 2 mb) 2/3 1/3 T Δ Δ Δ B (8.3.14) 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 35
8.3.1 Frånkoppling Eftersom förstärkningsmatrisen i (8.3.14) är diagonal, motsvarar detta tvåvägsfrånkoppling, såsom illustreras i blockschemat nedan. Märk att vi hade erhållit samma tvåvägsfrånkoppling genom invertering av förstärkningsmatrisen i (8.3.12) och beräkning av en frånkopplingsmatris enligt (8.3.9). 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 36
8.3.1 Frånkoppling 4Exempel 8.3.2 Frånkoppling av en råoljedestillationskolonn Enligt McAvoy ( Interaction Analysis, 1983) kan råoljedestillationskolonnen i figuren i stationärtillsånd beskrivas med modellen T 1 a11 0 0 0 m 1 T2 a 22 a22 0 0 m 2 = T a 3 33 a33 a33 0 m 3 a44 a44 a44 a44 m T 4 4 där a ii är statiska förstärkningar. Märk att alla förstärkningar olika noll på en rad är lika stora, vilket beror på att flödena m i, som påverkar de interna flödena i kolonnen, antas ha en summerande effekt på kvalitetsvariabeln Tj, j i. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 37
8.3.1 Frånkoppling Eftersom förstärkningsmatrisen är triangulär, är systemet redan partiellt frånkopplat. Vi skall här visa hur man kan bestämma en fullständig frånkoppling genom kombination av insignaler utan att behöva invertera förstärkningsmatrisen. Vi definierar följande nya insignaler: μ 1 = m1, μ 2 = m1+ m2, μ 3 = m1+ m2 + m3, μ 4 = m1+ m2 + m3+ m4 På grund av förstärkningsmatrisens speciella form blir modellen med de nya insignalerna T 1 a11 0 0 0 μ 1 T2 0 a22 0 0 μ 2 = T 0 0 a 3 33 0 μ 3 0 0 0 a T 44 μ 4 4 som visar att systemet nu är frånkopplat. För reglering av systemet kan man då använda 4 regulatorer som var för sig reglerar en kvalitetsvariabel T i med μ i. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 38
8.3.1 Frånkoppling För att realisera regulatorernas reglersignaler μ i, måste m i beräknas. Utgående från definitionerna på μ i fås m1 = μ1 m2 = μ2 μ1 m = μ μ m = μ μ 3 3 2 4 4 3 såsom illustreras i figuren. Av sambanden ovan följer att detta är ekvivalent med att använda en frånkopplingsmatris D 1 0 0 0 1 1 0 0 = 0 1 1 0 0 0 1 1 3 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 39
8.3 Variabeltransformationer 8.3.2 Linjärisering och framkoppling Vi har sett att vi kan frånkoppla ett linjärt system med linjära variabeltransformationer. Vi skall här visa att vi med hjälp av lämpliga variabeltransformationer även kan linjärisera olinjära system globalt utan att göra någon approximation av systemet (dvs det olinjära systemet blir linjärt när det uttrycks med de nya variablerna). eliminera mätbara störningar perfekt genom framkoppling (denna framkoppling och störningseliminering blir en automatisk följd av variabeltransformationerna). Vi skall illustrera metoden med hjälp av det tidigare behandlade vattenblandningsexemplet. Den olinjära modellen bestående av ekv. (8.2.1) och (8.2.3) kan skrivas T C mc = ma + mb (8.3.15) mata + mbt = B m + m (8.3.16) A B 8. Val och design av reglerstruktur 8 40
8.3.2 Linjärisering och framkoppling Antag att vi definierar nya insignaler u T u = m + m (8.3.17) m m T = m A A A A B + m T + m B B B (8.3.18) Uttryckt med dessa insignaler kan modellen skrivas mc 1 0 um T = C 0 1 u T dvs ett linjärt, fullständigt frånkopplat och helt störningsokänsligt system! (8.3.19) I detta fall är härledningen av de linjäriserande, frånkopplande och störningseliminerande variabeltransformationerna enkelt eftersom systemets dynamik försummats. För olinjära dynamikmodeller kan det vara besvärlig, eller kanske t.o.m. omöjligt, att hitta dylika variabeltransformationer, men ofta är det fullt möjligt. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 41
8.3.2 Linjärisering och framkoppling Fast regulatorerna producerar värden för u m och u T som utsignaler, är det förstås m A och m B som i verkligheten måste användas för reglering av systemet. Dessa kan dock beräknas utgående från (8.3.17) och (8.3.18) enligt u T m B A = u T m T A T B u T m A B = u T m T B T A (8.3.20) (8.3.21) Om T A och T B kan mätas, får man automatisk störningseliminering genom (olinjär) framkoppling. Om T A och T B inte mäts, kan de ersättas med sina nominella ( typiska ) värden i (8.3.20) och (8.3.21). Man får då ingen framkopplingseffekt, men i praktiken linjäriserar och frånkopplar (8.3.20) och (8.3.21) ändå systemet. Man kan också tänka sig att estimera T A och T B. 8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 42