TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68 Måndag 019-01-14 kl. 14.00-19.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics Handbook utan egna anteckningar, avprogrammerad räknedosa enligt IFM:s regler. Formelsamlingen Tefyma och formelsamlingar från gymnasiet är också tillåtna. Ordlista Alonso-Finn från hemsidan. Examinator Magnus Johansson kommer att besöka tentamenslokalen ca kl. 15.15 samt 17.15 och är därefter anträffbar på tel: 013-817. Lösningsförslag läggs ut på kurshemsidan efter skrivtidens slut. Tentamen omfattar sex problem som ger maximalt 4 poäng styck. Följande betygskala gäller preliminärt: Betyg 3: 10-13,5 poäng Betyg 4: 14-18,5 poäng Betyg 5: >18,5 poäng Anvisningar: Lös inte mer än 1 uppgift på samma blad! Skriv enbart på ena sidan av bladet! Skriv AID kod på varje blad! Införda beteckningar skall definieras, gärna med hjälp av figur, och uppställda ekvationer motiveras. Alla steg i lösningarna måste kunna följas. Lös uppgifterna analytiskt först och stoppa in eventuella numeriska värden på slutet. Det som efterfrågas i uppgifterna är skrivet med fet stil. Uppgifterna är ej ordnade i stigande svårhetsgrad. Lycka till!
Uppgift 1: Nyårsfyrverkeri i stormvind En student sitter på sin balkong på en höjd h ovan marken. Han kastar ut en fyrverkeripjäs horisontellt med farten v. Då kommer en mycket stark vindby parallell med marken, som ger fyrverkeripjäsen en konstant horisontell acceleration vars belopp är a. Resultatet blir att fyrverkeripjäsen landar på marken rakt under studenten, där den smäller av! Bestäm höjden h som funktion av v, a och g. Luftmotståndets effekt på den vertikala rörelsen försummas. (4p) Uppgift : Gevärskula i motvind. En gevärskula skjuts ut horisontellt med farten 800 m/s och når måltavlan 80 m längre bort med den reducerade hastigheten 700 m/s. Kulans massa är 10 gram. Bromskraften (luftmotståndet) kan skrivas som F x = - vx, där är en konstant och vx är hastighetens x-komponent (vi bortser i detta exempel från luftmotståndets inverkan på hastighetens y-komponent). Tyngdaccelerationen g = 10 m/s. a) Bestäm konstanten (p) b) Hur mycket sjunker kulan på 80 m om vi tar hänsyn till luftmotståndet? (p) (alltså, ta endast hänsyn till luftmotstånd i x-riktningen) Uppgift 3: Bungyjump En man som är m lång står på en bro över en flod. Han har ett långt linjärt, elastiskt, viktlöst gummirep fastknutet längst ner på benen. Gummirepets andra ända är fastknutet i ett beslag på bron på samma höjd som mannens tyngdpunkt 1m ovanför fötterna. Gummirepet är 0m långt i obelastat tillstånd. Mannen faller utan begynnelsehastighet ner mot floden med huvudet före. Han doppar nätt och jämt håret i floden innan han dras upp igen. De följande oscillationerna dämpas långsamt och till slut hänger han stilla med huvudet 15m ovanför floden. Hur högt ovanför floden sitter beslaget? Bortse från luftmotståndet! (4p) Uppgift 4: Rutschbanekollision Pippi, en glad liten flicka med massan mp åker vattenrutschbana som efter en sträcka som lutar övergår i en horisontell del. Precis när hon kommer ner till denna del, och har uppnått hastigheten vp, så krockar hon med den stillastående Tommy, en glad liten pojke med massan mt som stod mitt i vattenrutschbanan. Tommy faller så att han åker med Pippi en sträcka L där de båda slutligen stannar. Krocken mellan Pippi och Tommy kan betraktas som fullständigt inelastisk. Bestäm uttrycket för Tommy och Pippis hastighet direkt efter kollisionen (p) och friktionskoefficienten mellan barnen och underlaget på vattenrutschbanan. (p) Uppgift 5: Glidande och rullande klot Ett homogent klot med massan M kastas med begynnelsehastigheten v0, men utan någon begynnelserotation, uppför ett lutande plan med lutningsvinkeln α och friktionskoefficienten μ. Efter ett tag har glidningen upphört och klotet rullar vidare utan glidning. Hur lång tid tar det innan glidningen upphör? (4p) Uppgift 6: Konståkning En konståkare håller armarna utsträckta horisontellt och snurrar runt med 1 varv/s. Han har då ett tröghetsmoment I. Därefter för han in armarna mot kroppen på ett sådant sätt att hans tyngdpunkt inte ändras, vilket medför att rotationen ökar till 5 varv/s. Beräkna det arbete han utför då han för in armarna! Bortse från luftmotståndet samt isens inverkan! (4p)
Lösning uppgift 1 Konstant acceleration i såväl horisontell som vertikal riktning. Låt +y vara nedåt och +x riktningen som pjäsen kastas. Tiden tills pjäsen landar fås från den vertikala rörelsen: t = h/g Pjäsens horisontella läge som funktion av tiden t: x = vt at / (studentens läge sätts till x=0). När pjäsen landar: x=0, så t = v/a. Kombinera detta med uttrycket för falltiden: v/a= h/g, dvs Svar: h = v g a Lösning uppgift a) Givet är = 800 m s, v f = 700 m s och s = 80m b) Bestäm tiden t Integrera dx a x = dv x dt = dv x dx dt = dv x dx v x F x = ma x = λv x a x = λv x m dv x dx = λ m dv x = λ m dx v f λ = m( v f ) s s dv x = λ m dx v f = λ m s = 0 0.010(800 700) 80 a x = dv x dt = λv x m dv x v x = λ m dt dv x v f v x = 1 80 kg/s t = λ m dt ln( v f ) = λ 0 m t t = m λ ln(v f ) På tiden t sjunker kulan y = 1 gt = 1 g(m λ ln(v f )) = 1 10 (80 0.01*ln(700 800 )) 0,057 m
Lösning uppgift 3 Låt mannens vikt vara m kg, gummirepets fjäderkonstant k och beslagets (=mannens tyngdpunkt på bron) höjd över floden h m. Sätt mannens potentiella energi till 0 då han står på bron, vilket medför att totalenergin hela tiden är 0. Då mannen faller minskar hans potentiella energi ytterligare medan hans kinetiska energi ökar. Då gummirepet börjar sträckas, minskar hans kinetiska energi medan gummirepets potentiella energi ökar. Då håret nuddar vattenytan är den kinetiska energin 0, vilket medför att minskningen av mannens potentiella energi är lika med ökningen av gummirepets potentiella energi, dvs (1) mg 1 1 ( h 1) k( h 0) k( h ) eftersom mannens tyngdpunkt är 1m ovanför vattenytan och fötterna m ovanför. Då mannen hänger stilla är tyngdkraften lika med fjäderkraften. () mg k( h 15 0) k( h 37) Kombinera (1) och () 1 k( h 37)( h 1) k( h ) ( h h 37h 37) h 484 44h h 3h 410 0 h 41.8 Svar: Beslaget sitter 41.8m ovanför floden. Lösning uppgift 4 Rörelsemängden bevaras över kollisionen: v pt = m pv p m p +m t där v pt är Pippis och Tommys hastighet efter kollisionen. Till stoppet uträttar friktionskraften på Pippi och Tommy arbetet:. W = (m p + m t )gμl Pippi och Tommys kinetiska energi omvandlas till friktionsarbete, dvs: ΔK = (K L K 0 ) = W Detta ger: (m p+m t )v pt = (m p + m t )gμl Lös ut μ och sätt in uttrycket på v pt : μ = m p v p gl(m p +m t ) Svar: Hastigheten efter kollisionen är v pt = m pv p och friktionskoefficienten blir m p +m t μ = m p v p gl(m p +m t ).
Lösning uppgift 5
Lösning uppgift 6