Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx + c kallas parabel. Här följer ett antal exempel kopplade till polynom av andra graden. Oftast handlar det om funktionen f(x) = x +b x+c men ibland är koefficienten framför x termen a 1. f(x) = a x +b x+c I flera av uppgifterna handlar det om att läsa ut värden ur en graf. Detta är förstås, ett icke matematiskt sätt att närma sig ett problem. Trots det påstår vi att, när det verkar som en kurva går genom en viss punkt, så gör den det! Exempel 1. Figuren visar grafen till funktionen f(x) = x x 6 För att bestämma nollställena löser man ekvationen f(x) = 0. x x 6 = 0 1 x = 1 ± +6 x = 1 ± 5 x = 1 ± 5 x 1 = 3 x = Håkan Strömberg 1 KTH STH

x-värdet för vertex ligger mitt emellan nollställena I detta exempel x 1 +x 3+( ) = 1 f(x) har av allt att döma ett minimum då x = 1 Minpunkten är ( 1, 5 ). f ( ) 1 = ( ) 1 1 6 5 Symmetrilinjen är x = 1. Observera att detta är en rät linje parallell med y-axeln! Exempel. Bestäm nollställena hos a) f(x) = x x 6 b) g(x) = x x 1 Nollställena till f(x) vet vi redan x 1 = 3 och x =. Vi löser ekvationen g(x) = 0 och får x x 1 = 0 x x 6 = 0 1 x = 1 ± +6 x = 1 ± 5 x = 1 ± 5 x 1 = 3 x = Samma nollställen. Men observera graferna till f(x) och g(x) Vi ser att nollställena är desamma och därmed att symmetrilinjen är densamma, men i övrigt skiljer sig graferna åt. y-värdet för minimipunkten är nu g ( ) ( ) 1 1 = 1 1 5 Håkan Strömberg KTH STH

Här är de fakta man normalt vill ha reda på när det gäller en andragradsfunktion. Vilka nollställen funktionen har Vilka koordinater funktionens vertex (max- eller min-punkt) har Var grafen skär y-axeln Symmetrilinjens ekvation 8 6 3 1 1 3 Figur 1: Exempel 3. Här ser vi, i figur 1, andragradsfunktionen på sin enklaste form där koefficienten till x -termen är 1. Vilken är funktionen? Lösning: Visst ser du, att det handlar om f(x) = x. Antingen ser man bara det, eller så förstår man att det bara finns en ekvation som har rötterna x 1, = 0 nämligen x = 0, med motsvarande funktion f(x) = x Hur är det då med funktionen g(x) = x? Den har ju också det dubbla nollstället x 1, = 0, men då med x -koefficienten. Kan det vara den som syns i grafen? Normalt behöver vi tre punkter på andragradskurvan för att kunna bestämma funktionen. Så här går det till: Vi får våra tre punkter (x 1,y 1 ), (x,y ) och (x 3,y 3 ) och söker nu a,b,c i f(x) = ax +bx +c. Vår punkter leder till ett ekvationssystem: a x 1 +b x 1 +c = y 1 a x +b x +c = y a x 3 +b x 3 +c = y 3 Ett så linjärt system med tre ekvationer och tre obekanta, a, b, c. a = x y 1 +x 3 y 1 +x 1 y x 3 y x 1 y 3 +x y 3 (x x 3 )(x 1 x 1x x 1 x 3 +x x 3 ) b = x y 1 x 3 y 1 x 1 y +x 3 y +x 1 y 3 x y 3 (x 1 x )(x 1 x 3 )(x x 3 ) c = x x 3y 1 +x x 3 y 1 +x 1 x 3y x 1 x 3 y x 1 x y 3 +x 1 x y 3 (x x 3 )(x 1 x 1x x 1 x 3 +x x 3 ) Här är systemet löst en gång för alla. Knappast formler man kommer att lära sig utantill. Men om man ska lösa hundratals problem av den här typen är det idé att skriva ett datorprogram med utgångspunkt från dessa formler. Håkan Strömberg 3 KTH STH

Innan vi lämnar dem ska vi bara konstatera ett de fungerar för tre punkter från vår kurva ovan: (x 1,y 1 ) = ( 1,1), (x,y ) = (0,0) och (x 3,y 3 ) = (1,1). I alla fall om man ska tro våra avläsningar. I första steget ser vi att alla termer som innehåller (x,y ) = (0,0) försvinner. Återstår a = x 3y 1 x 1 y 3 ( x 3 )(x 1 x 1x 3 ) = 1 1 ( 1) 1 ( 1)(( 1) ( 1) 1) = 1 b = x 3 y 1 +x 1 y 3 (x 1 )(x 1 x 3 )( x 3 ) = 1 1+( 1) 1 ( 1)(( 1) ( 1) 1) = 0 0 c = ( x 3 )(x 1 x 1x 3 ) = 0 0 15 10 5 5 3 1 1 3 5 5 Figur : Exempel. Bestäm a och b till funktionen f(x) = x +bx+c genom att i grafen, figur, avläsa nollställena. Lösning: Nollställena är x 1 = och x = 3. Vi får f(x) = (x+)(x 3) = x 3x+x 6 = x x 6 Exempel 5. 1 1 3 figur I 1 1 3 figur II a) Bestäm a och b till funktionen f(x) = x +bx+c genom att i grafen, figur I, avläsa nollställena. b) Bestäm a och b till funktionen f(x) = x +bx+c genom att i grafen, figur II, avläsa nollställena. Lösning: a) Nollställena är x 1 = 1 och x =. Vi får f(x) = (x+1)(x ) x x+x x x Stopp lite, är det verkligen riktigt? Nej den funktion vi fått fram har ett minimum och den i figuren ett maximum. Det finns tydligen två andragradspolynom som går genom två givna nollställen. f 1 (x) = ax +bx+c f (x) = ax bx c Håkan Strömberg KTH STH

Detta styrker vårt resonemang från uppgift 1 där vi påstod att inte förrän vi har tre givna punkter på kurvan kan vi bestämma funktionen. Men i detta problem fanns dessutom grafen given och vi kan då bestämma att det är f(x) = x +x+ vi är ute efter. Svar: f(x) = x +x+ b) Har inte funktion, med grafen i figur figur, samma nollställen som den i figur 3? Vad är det i så fall som skiljer den från den tidigare? Jovisst, det har vi ju redan sagt. Svaret på denna uppgift är f(x) = x x Svar: f(x) = x x Regel: Givet funktionen f(x) = ax +bx+c Då a > 0 Minimum Glad gubbe Då a < 0 Maximum Ledsen gubbe A B C 6 1 1 3 Figur 3: Exempel 6. Här har vi plottat, figur 3, funktionerna p 1 (x) = x, p (x) = 3x och p 3 (x) = x /3. Vilken är vilken? Lösning: Ju större koefficient, desto snabbare växer funktionen: A) p 3 (x) = x /3 B) p 1 (x) = x C) p (x) = 3x Håkan Strömberg 5 KTH STH

5 0 15 10 5 A B C 3 1 1 3 5 5 Figur : Exempel 7. Återigen tre plottade funktioner: p 1 (x) = x +x+8, p (x) = x +3 och p 3 (x) = x. Identifiera dem. Lösning: Vi har nu lärt oss att då x -termen har en negativ koefficient har funktionen ett maximum. En annan har nollställen i x 1 = och x = och bör då tillhöra funktionen p(x) = (x+)(x ) = x. Kvar blir den som saknar nollställen, vilket vi förstår då vi försöker lösa ekvationen x +3 = 0; x = ± 3. Ekvationen saknar reella rötter. A) p 1 (x) = x +x+8 B) p (x) = x +3 C) p 3 (x) = x 10 5 1 1 3 5 Figur 5: Exempel 8. Här har vi plottat funktionerna p 1 (x) = x +3x och p = x +x+. Bestäm skärningspunkterna. Lösning: Vi söker två punkter som finns på båda kurvorna. x +3x = x +x+ x x 6 = 0 x x 3 = 0 x = 1 ± 1 x = 1 ± 7 x 1 = x = 3 16 +3 p 1 () = +3 = 6 och p 1 ( 3 ) = ( +3 ( ) ) 3 3 = 5 ger de två punkterna (,6) och ( 3, 5 ) Håkan Strömberg 6 KTH STH

10 5 5 3 1 1 3 5 Figur 6: Exempel 9. Ett andragradsfunktionen har antingen ett maximum eller minimum. Betrakta nu grafen ovan där vi kan se båda nollställena. På vilken x-koordinat ligger alltid extrempunkten? Lösning: Vi har inte den teori som krävs för att klara detta! Men här är svaret: Om vi utgår från f(x) = x +px+q, så är y-koordinaten för extrempunkten och x-koordinaten y extrempunkt = p +q x extrempunkt = p Så här kommer det att se ut i nästa kurs: Vi startar med att derivera vår funktion f (x) = x+p f (x) = 0 då x+p = 0; x = p. Vi bevisar också y-koordinaten för extrempunkten. ( f p ) ( f p ) ( f p ) = ( p ) +p ( p ) +q = p p +q = p +q ) p Svar: Extrempunkten har koordinaterna (, p +q 6 5 3 1 1 3 5 Figur 7: Exempel 10. Vilka nollställen har denna funktion? Lösning: Av allt att döma en dubbelrot för x = 3. Funktionen blir då f(x) = (x 3) Håkan Strömberg 7 KTH STH

5 1 1 3 Figur 8: Exempel 11. Vilka nollställen har funktionerna och var skär de varandra då båda är av typen f(x) = x +px+q Lösning: Den ena kurvan motsvarar funktionen f(x) = x med nollställena x 1, = 0 och den andra är g(x) = (x ) med nollställena x 3, =. Kurvorna skär varandra i x = (x ) x = x x+ x = 1 Exempel 1. Vi söker nu p och q i f(x) = x + px + q så att andragradsfunktionen går genom punkterna (1, ) och (3, 9). Lösning: Eftersom en koefficient den som tillhör x termen redan är given behövs bara två ekvationer för att finna de två obekanta p och q. { 1 +p 1+q = 3 +p 3+q = 9 p = 1 och q = 3 Svar: f(x) = x x + 3 { p+q = 1 3p+q = 0 1 1 10 8 6 1 1 3 Figur 9: Exempel 13. Plottar vi funktionen vi fick som svar i förra exemplet får vi detta resultat. Vad kan vi säga om funktionens nollställen? Lösning: Den saknar nollställen. Om vi löser motsvarande ekvation får vi x x + 3 = 0 x = 1 ± 1 16 3 Håkan Strömberg 8 KTH STH

diskriminanten (uttrycket under rottecknet) är < 0. Exempel 1. En andragradsfunktion, av typen f(x) = x + px + q, har ett dubbelt nollställe i 5. Vilken är funktionen? Lösning: f(x) = (x 5) Exempel 15. För vilka värden på a har funktionen p(x) = x 8x+a Ett dubbelt nollställe Två olika nollställen Inget reellt nollställe Lösning: Återigen gäller det att lösa en andragradsekvation x 8x+a = 0 x = ± 16 a Om 16 a = 0; a = 16 finns det en dubbelrot i x = Om 16 a < 0; a > 16 saknas reella nollställen Om 16 a > 0; a < 16 finns två reella olika nollställen A 5 0 15 10 5 B C 3 1 1 3 Figur 10: Exempel 16. Här har vi plottat funktionerna: p 1 (x) = x + x +, p (x) = x + x 3 och p 3 (x) = x +x+5. Vilken är vilken och vad händer då vi ökar q i p(x) = x +px+q? Lösning: Skillnaden mellan f(x) = ax + bx + c och g(x) = ax + bx + (c + c), är förstås g(x) f(x) = c. Med hjälp av detta kan vi snabbt avgöra vilken funktion som är vilken A) p 3 (x) = x +x+5 B) p 1 (x) = x +x+ C) p (x) = x +x 3 Håkan Strömberg 9 KTH STH

Exempel 17. Vad kan man säga om andragradsfunktioner, där p = 0 i p(x) = x +px+q, alltså p(x) = x +q? Vad krävs för att funktionen ska ha två nollställen? Kan den ha ett dubbelt nollställe? I så fall för vilka q? Om vi löser ekvationen x +q = 0 x 1, = ± q ser vi att q 0 är nödvändigt för att det ska finnas nollställen och att då q = 0 är det frågan om ett dubbelt nollställe. Exempel 18. Vi önskar två andragradsfunktioner på formen p 1 (x) = x + ax+b och p (x) = x +cx+d, som skär varandra i ( 3,) och (3,). Bestäm värden på a,b,c och d. Kan vi utnyttja något vi diskuterat ovan som gör problemet enklare? Lösning: Funktionerna f 1 (x) = (x + 3)(x 3) och g 1 (x) = (x + 3)(x 3) har båda nollställen i x = 3 och x = 3. f 1 (x) har ett minimum och g (x) har ett maximum och de skär varandra i ( 3,0) och (3,0). Om vi adderar konstanten till båda funktionerna får vi f (x) = (x+3)(x 3)+ och g (x) = (x+3)(x 3)+, efter vad som diskuterades i problem 15. Svar: f (x) = x 5 och g (x) = 13 x Exempel 19. Så några andragradsekvationer. Bestäm direkt i huvudet dess rötter: Du kan räkna med att alla rötter är heltal! a) x x 8 = 0 b) x 3x+ = 0 c) x = 0 d) x 9x+0 = 0 e) x +3x 70 = 0 Hur beror rötterna x 1 och x till ekvationen på koefficienterna p och q i x + px + q = 0? Från formeln får vi x 1 = p p + q x = p p q Löser vi detta ekvationssystem med avseende på p och q får vi q = x 1 x och p = (x 1 + x ). Med andra ord, koefficienten q är lika med produkten av rötterna och p är lika med summan av rötter med ombytt tecken. Tillämpar vi detta på de 5 ekvationerna får vi ganska snabbt a) x 1 = x = b) x 1 = x = 1 c) x 1 = x = d) x 1 = 5 x = e) x 1 = 7 x = 10 Håkan Strömberg 10 KTH STH

5 6 7 8 1 1 3 Figur 11: Exempel 0. I den här grafen ser vi inte origo och heller inte nollställena. Kan du med hjälp av grafen bestämma funktionen och därefter nollställena? Lösning: Vi använder resultatet från exempel 9 som ger oss extrempunkten utifrån funktionen f(x) = x +px+q. ) p (, p +q Nu använder vi den i andra riktningen för att få p och q när vi känner extrempunkten, (1, 9). p = 1 p +q = 9 p = och q = 8. Vi får funktionen f(x) = x x 8, vars heltalsrötter vi snabbt kan räkna ut, x 1 = och x = Läxa 1. Punkterna (0,5) och (6,5) ligger på en andragradskurva. Ange symmetrilinjens ekvation. Läxa. Ange symmetrilinjens ekvation till kurvan a) f(x) = x(x 1)+8 b) f(x) = 13+x(l x) Läxa 3. En andragradskurva har symmetrilinjen x =. Punkten P(0, 6) ligger på kurvan. Ange koordinaterna för spegelbilden till P. Läxa. Funktionen f(x) = x +8x+3 är given. a) Har kurvan en maximi- eller minimipunkt? b) Ange grafens symmetrilinje. c) Vilka koordinater har vertex? d) Rita grafen som kontroll. Håkan Strömberg 11 KTH STH

Läxa 5. Figuren visar grafen till andragradskurvan y = + x x Ange koordinaterna för a)p b)q c)m Läxa 6. Förklara först med ett eget exempel hur du finner koordinaterna för maximi- eller minimipunkten till en andragradskurva och använd sedan din metod på andragradskurvorna a) f(x) = x +x+8 b) f(x) = 10x x c) f(x) = 5x +15x 3 d) f(x) = 6x x+5 Läxa 7. En andragradskurva har symmetrilinjenx = 1. Punkterna (0,8) och (,) ligger på kurvan. Ange koordinaterna för ytterligare två punkter på kurvan. Läxa 8. Bestäm koordinaterna för vertex till andragradskurvan a) f(x) = 0.1x 0.0x 1 b) f(x) = x + x 3 8 Läxa 9. Skär andragradskurvan x-axeln, om den har en a) maximipunkt med koordinaterna (, 6)? b) minimipunkt med koordinaterna (, 6)? Läxa 10. Ange ekvationen för en parabel som har en maximipunkt i andra kvadranten Läxa 11. Finn ekvationen för en parabel som har vertex i (,0) och som skär y-axeln i (0,) Läxa 1. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 5 och skär y-axeln i punkten (0,6). Kurvans vertex har y-koordinaten 1. Finn kurvans ekvation. Läxa 13. Finns det några värden som inte antas av vare sig funktionen f(x) = x 3x + 6 eller funktionen g(x) = x +8x 6? Ange i så fall vilka. Läxa 1. För vilket värde på c har kurvan y = x 8x+c sin minimipunkt på x-axeln? Håkan Strömberg 1 KTH STH

Läxa Lösning 1. Svaret finner vi enkelt då punkterna har samma y-koordinat. Symmetrilinjen ligger mitt emellan x = 0 och x = 6, alltså x = 3. Svar: Symmetrilinjens ekvation är x = 3 Läxa Lösning. a) En möjlighet att finna två punkter som har samma y-koordinater är att lösa ekvationen f(x) = 0. Detta fungerar så länge ekvationen har reella rötter. Symmetrilinjen får vi genom x(x 1)+8 = 0 x 1x+8 = 0 x = 6± 36 8 x 1 = 6+ 8 x = 6 8 x = 6+ 8+6 8 6 Vi drar oss till minnes från exempel 9 att vi direkt kunna få svaret genom b) Vi använder direkt den enkla metoden p = 1 6 13+x(l x) = 0 13+8x x = 0 13 +1x x = 0 x 1x 13 = 0 Nu har vi fått fram p = 1 och kan bestämma symmetrilinjen Svar: a) x = 6 b) x = 7 p = 1 Läxa Lösning 3. Punkten P ligger på y-axeln. enheter från symmetrilinjen. Spegelbilden ligger också enheter från symmetrilinjen, fast på andra sidan, alltså x = 8. Svar: (8,6). Läxa Lösning. d) b) x = p 8 = 7 a) Minimipunkt. a = 1 > 0. Glad gubbe c) x-koordinaten är samma som symmetrilinjen. När vi vet det kan vi bestämma f( ) = ( ) + 8( ) + 3 13. Vertex ligger i (, 13) Håkan Strömberg 13 KTH STH

Läxa Lösning 5. P är den punkt där kurvan skär y-axeln. som ger P(0,). y = + 0 0 M ligger på symmetrilinjen x =. y-koordinaten får vi genom + = 6, som ger M(, 6) Q är spegelbild av P och ligger lika långt från symmetrilinjen som Q men på andra sidan, alltså x =, ger punkten Q(,) Läxa Lösning 6. Jag skriver ned f(x) = 0 och ser till att den får uttrycket x +px+q = 0. Nu kan jag läsa ut p som jag använder för att bestämma x = p Nu har jag x-koordinaten, som jag sätter in i funktionen och bestämmer y-koordinaten. a) Jag får x + x + 8 = 0. p = som ger x = f( ) = ( 1) +( )+8 1. Svar: Minimum i (,1). y-koordinaten får jag genom b) Jag får x +10x = 0. Dividerar båda sidor med 1 och får x 10x = 0. p = 10 som ger x = 10 5. y-koordinaten får jag genom f(5) = 5 +10 5 5. Svar: Maximum i (5,5) c) Jag får 5x + 15x 3 = 0. Dividerar båda sidor med 5 och får x 3x+ 3 5 = 0. p = 3 som ger x = 3 3. y-koordinaten får jag genom f(3 ) = 5( ) 3 +15 3 3 33. Svar: Maximum i ( 3, 33 ). d) Jag får 6x x+5 = 0. Dividerar båda sidor med 6 och får x x+ 5 6 = 0. p = som ger x =. y-koordinaten får jag genom f() = 6 +5 19 Svar: Minimum i (,19) Läxa Lösning 7. De två punkter som ligger närmast till hands är (x 1,8) och (x,) som är spegelbilder av de två givna punkterna. x 1 = och x =. Det gäller att hålla reda på vilken sida av symmetrilinjen de ska ligga. Det finns förstås oändligt många svar att ge, men då måste man räkna lite mer. Svar: (, 8) och (, ) Läxa Lösning 8. Liknar tidigare problem. Vi städar upp ekvationen f(x) = 0 så att koefficienten framför x blir 1. Sedan kan vi läsa av p i x + px + q = 0. Vi använder p för att bestämma x- koordinaten i vertex. Sedan bestämmer vi f(x) för detta x och har y-koordinaten och därmed vertex (extrempunkten). Givet 0.1x 0.0x 1 = 0. Dividera båda sidor med 0.1 ger x 0.x 10 = 0 och vi har p = 0. som ger symmetrilinjen sedan får vi Svar: Vertex (0.1, 1.001) Läxa Lösning 9. a) Ja b) Nej x = p 0. 0.1 f(0.1) = 0.1 (0.1) 0.0 0.1 1 1.001 Läxa Lösning 10. a) Det finns förstås oändligt många sådana funktioner. Punkten ( 1, 1) ligger i andra kvadranten och Håkan Strömberg 1 KTH STH

ska alltså vara en maximipunkt. Vi bestämmer att f(x) = x +px+q. f(x) = 0 ger x +px+q = 0 eller x px q = 0. Symmetrilinjen är x = 1. Då kan vi bestämma p med ekvationen 1 = p ger p =. Så här långt har vi bestämt f(x) = x x+c. Nu ska vi bestämma c så att f( 1) = 1. Vi får ( 1) ( 1)+c = 1 som ger c = 0. Vi plottar f(x) = x x Läxa Lösning 11. Vi vet att det finns oändligt många sådana ekvationer. Speciellt en då f(x) = x +bx+c. Den skär y axeln då 0 +b 0+c =, ger c =. Då vertex är (,0) är symmetrilinjen x =. Vi bestämmer f( ) = 0 och får som ger b =. Vi har då funktionen Som vi plottar och ser att det stämmer stämmer. ( ) +b( )+ = 0 f(x) = x +x+ Läxa Lösning 1. Vi startar med f(x) = ax +bx+c. Symmetrilinjenx = 5. Vi har då ax +bx+c = 0 eller x + bx a + c a = 0 ger oss b genom 5 = b = 10a. Vi har nu f(x) = ax 10ax+c. Skärningen med y-axeln ger f(0) = 6 b a a 0 10 0+ c a = 6 ger c = 6. Nu har vi f(x) = ax 10ax+6 Till sist vet vi att f(5) = 1 som ger ekvationen a 5 10a 5+6 = 0 ger a = 1 5. Nu har vi funktionen f(x) = x 5 x+6 Håkan Strömberg 15 KTH STH

som vi plottar och ser att det stämmer Läxa Lösning 13. Det ser ut som det skulle kunna finnas värden som inte antas av någon av funktionerna. För att kunna svara på frågan måste vi ta reda på maximipunkten hos g(x) och minimipunkten för f(x) Vi startar med minimipunkten för f(x) och använder formeln som ger ( 3) p +q +6 15 3.75 Innan vi kan bestämma maximipunkten för g(x) måste vi starta med x +8x 6 = 0 och dividera båda sidor med som ger x x+3 = 0. Nu har vi p och q. och kan bestämma y-värdet för vertex med samma formel ( ) +3 Svar: Ingen av funktionerna antar värden i intervallet (,3.75). Läxa Lösning 1. Först bestämmer vi symmetrilinjen genom Vi får ger x = x = p x = 8 Det betyder att vi ska fixa till ett vertex i (,0) genom att hitta lämpligt c. Det betyder att f() = 0 ger ger c = 16 8 +c = 0 Håkan Strömberg 16 KTH STH