dx x2 y 2 x 2 y Q = 2 x 2 y dy, P dx + Qdy. Innan vi kan använda t.ex. Greens formel så måste vi beräkna de vanliga partiella derivatorna.

Relevanta dokument
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

18 Kurvintegraler Greens formel och potential

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Primitiva funktioner i flerdim

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen: Lösningsförslag

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

Vektoranalys, snabbrepetition. Vektorfält

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Integration m.a.p. t av båda led ger. Lektion 13, Flervariabelanalys den 15 februari x(t) x(0) = log y(t) log y(0) = log.

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Lektionsblad 9, tis 16/2 2010

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

4. Beräkna volymen av den tetraeder som stängs inne mellan koordinatplanen x = 0, y = 0 och z = 0 och planet. x F (x, y) = ( x 2 + y 2, y

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

SF1626 Flervariabelanalys

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.4

= 0 genom att införa de nya

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

BERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER)

vilket är intervallet (0, ).

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Tentamen: Lösningsförslag

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

En normalvektor till g:s nivåyta i punkten ( 1, 1, f(1, 1) ) är gradienten. Lektion 6, Flervariabelanalys den 27 januari z x=y=1.

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

Integraler av vektorfält Mats Persson

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys

i punkten ( 1,2,3). b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten ( 1,2) ut ur Scandinavium genom tak och yttervägg [Scandinaviums tak är ytan ( x, y,

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

y= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

UPPSALA UNIVERSITET Envariabelanalys IP1/Hösten L.Höglund, P.Winkler, S. Zibara Ingenjörsprogrammen Tel: , ,

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Transkript:

Uppgift Beräkna kurvintegralen + d där är kurvan = från (, ) till (4, ). Lösning Här har vi ett fält F =(P, Q), där d, () så integralen är på formen P = +, Q = d, P d + Qd. Innan vi kan använda t.e. Greens formel så måste vi beräkna de vanliga partiella derivatorna. P = + ( ) = = ( )+ =, ( ) 3 ( ) 3 Q = 4( ) = ( ) 4( ) = ( ) 3 = Q = 4( ) =. ( ) 3 Det visar sig att P, och fältet har kanske en potential. Innan vi kan vara säkra så måste vi även kolla att F:s definitionsmängd Ω är enkelt sammanhängande. F är definierad överallt där >0 <,ochω har alltså inga hål. Området är enkelt sammanhängande, och vi har då en potential. Det innebär både att den ursprungliga kurvintegralen är oberoende av vägen, och att vi kan beräkna den genom att beräkna skillnaden i potential U mellan kurvans begnnelse- och slutpunkter. Vi vet att U är en C -funktion i Ω sådan att = U = F,

vilket ger oss ekvationssstemet = P = +, = Q =. () Om vi integrerar den nedre ekvationen i med avseende på så får vi: U = d = ( ) d = + Ψ() = + Ψ(), (3) : där Ψ() är en funktion av enbart. Vi sätter in 3 i den övre ekvationen i + ψ() = + Ψ () =0. Om vi integrerar Ψ () så får vi: + + Ψ () = + Vi har nu potentialfunktionen: Ψ() =C. U(, ) = + C. Eftersom F är ett potentialfält så gäller: + d d = U(b) U(a), där a = (, ) och b = (4, ) är kurvstckets begnnelse- respektive ändpunkt. Det ger: U(b) U(a) =U(4, ) U(, ) = 4 4 ++C ( ++C) = Svar: Kurvintegralens värde är. =4 8 =4 3 = =. 3

Uppgift Vill beräkna kurvintegralen från (, ) till (4, ). d d där är kurvan Vi har att F P(, ), Q(, ), är definierad och differentierbar för alla (, ) sådana att. Vi kallar denna öppna, enkelt sammanhängande mängd ( för, ). Vi har Q ( ) ( ) ( ) 4( ) 4( ) 3/ 3/ och ( ) ( ) ( ) ( P ) ( ) ( ) 3/ 3/ Q De partiella derivatorna och P är definierade och kontinuerliga i. Vi ser också att Q P i den enkelt sammanhängande öppna mängden. Enligt sats 3, s. 353, har därför F har en potential i. Vi söker nu denna potential U(, ). Q U U g (, ) (, ) ( ) U(, ) g( ) ger U g g '( ) '( )

Jämför vi detta uttrck med P (, ) någon konstant C. ser vi att g'( ) 0 g( ) C för Vektorfältet F har alltså potentialerna U(, ) C. Med hjälp av detta kan vi bestämma värdet av den sökta kurvintegralen: Fdr U(4, ) U(, ) 4 6

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

!"#$%&'() *+",&,--./0' 8/$9:';5'-5:</&'8#='8/'8/$$:'4#>'?:'.:5'+&&'/":.5#$:"&'8;5=:':"$/.!"#$%&6,58/":.5#$:"&'8;5=:';5' @@!A B

Uppgift Visa att 4 3 + + 43 3 d +( + ) d (4) efter multiplikation med en lämplig funktion g() blir differentialen av en funktion U(, ). Ange g och U. Lösning Differentialformen 4 kan även skrivas som 4 3 + + 43 3 d +( + ) d = P d + Qd, som ges av fältet F =(P, Q). Vi ska alltså hitta funktioner U och g så att: du = g() P d + g() Qd = = g() 4 3 + + 43 3 d + g()( + ) d. (5) Om funktionen U finns så är uttrcket 5 en eakt differentialform, vilket är ekvivalent med att ett fält G =(g() P, g() Q) är ett potentialfält. Här bör g() vara definierad hela i F:s definitionsmängd. F är definierad i hela R, som är ett enkelt sammanhängande område, och då borde även G vara det. Förutom det så måste den vanliga likheten för G:s derivator gälla: (g() P )= (g() Q). Vi beräknar de partiella derivatorna: (g() P )= g() 4 3 + + 43 3 = = g() 4 3 + +4, (g() Q) = g()( + ) = g () ( + )+g(). Vi sätter dem lika med varandra: g() 4 3 + +4 = g () ( + )+g() g() (4 3 +4 )=g () ( + ) + g() 4 + = g () 4 g() =g (). 4

Här har vi en differentialekvation att lösa. Med integrerande faktor ges: 4 g() =g () g () 4 g() =0 e g () e 4 g() =0 (e g()) =0 e g() =C g() =Ce, där C är en konstant. Efter insättning av g() i differentialformen 5 får vi: Ce 4 3 + + 4 3 3 d +( + ) d. Nästa steg är att bestämma U med ekvationssstemet: = Ce 4 3 + + 4 3 3, = Ce +. (6) Integration av den undre ekvationen i 6 med avseende på ger: U = Ce + d = Ce + d = Ce + 3 + Ψ(). 3 Insättning i den övre ekvationen i 6 ger: Ce + 3 3 + Ψ() = Ce 4 3 + + 43 3 + Ψ () = = Ce 4 3 + + 43 3 eller alltså att Ψ () =0 Ψ() =D, där D är en konstant. Svar: U(, ) =Ce + 3 + D. 3 5

Uppgift 3 Visa att d +( e )d efter multiplikation med en lämplig funktion g() blir differentialen av en funktion U(, ). Ange g och U. Lösning: Ett villkor för att P d + Qd ska vara en differential av U är att Q = P,dvs: g()( e ) = (g() ) g() =0 Vi får: g() = g () + g() g ()+ Differentialekvationen löses med integrerande faktor som: g() =Ce (ln ) = C e Vi söker U som uppfller att: = C e = Ce = C e e =Ce Ce 3 Vi integrerar första ekvationen: U(, ) =Ce + ϕ() Insatt i andra ekvationen fås: Ce + ϕ() =Ce + ϕ () =Ce Ce 3 ϕ () = Ce 3 Alltså är ϕ() = e Ce 3 3 d = C 3 e3 + D 9 Svar : g() = C e e U(, ) =Ce 3 C 3 e3 + D 9

U(, ) U(, ) g() +( e ) g() g() U(, ) g()( e ) = g(). g() g() = g () + g() g ()+g(), = 0 =0 g(0) = 0 g() = 0 g ()+g() =0 e = ln + c, e g ()+g()e ( ) =0 e g() =0 e g() =C g() = C e, C C (e +(e e 3 ) ) U(, ) g()

= g() = Ce = g()( e )=Ce Ce 3 U(, ) = Ce = Ce + h(), h() C h() h() = D Ce 3 = C = Ce + h (), e3 = C e3 3 h () = Ce 3 e 3 3 3 3 + D, U(, ) =Ce + C e3 3 +D = C e3 3 e3 +D = 9 3 + D. U = C e +(e e 3 ) g() = 0 0 lim 0 + U = C + C = lim U, 0 Ce + C e3 3 3 + D C D U(, ) = g() = C e

u =(, 3 + ) =8 (, ) (, 4) t ( (t)) (t) t = s, s = (t) t ds s, s =(, ) s =(, ) s = ( 3 ) +. = t,=t, = t, =, ( 3 ) + = = t 3 t t + t 4t t = t 7 t 8 t +t 3 8 t = 64 t3 3 + t4 ( 8 64 + 4 3 + 4 ) ( 64 3 + )=9 64. 9 64 =

Uppgift 4 Beränka flödet av u =(, 3 + ) längsparabeln = 8 från punkten, till (, 4). Flödet genom ett litet kurvsegment ds kommer att vara den del av flödesfältet u =(, 3 +) som är vinkelrätt mot kurvans normal, det vill säga N u. Normalvektorn kan så klart ha två riktningar, och då det inte framgår från uppgiften i vilken riktning flödet ska beräknas antar jag att det som åsftas är beloppet av flödet. Då kan jag välja vilken som av de två normalerna, och sedan ta absolutbeloppet av resultatet. Integralen över alla infintesemala kurvelement ds blir N uds där är parabeln som beskrivs i uppgiften. För enhetstangenten T gäller det att Tds =(d, d). För att hitta en enhetsnormal krävs det alltså att hitta något med samma längd, vars skalärprodukt med tangenten blir noll. En sådan skulle kunna vara det N som uppfller Nds =(d, d). Integralen kan då skrivas om till (, 3 + ) (d, d) = 3 d + d. Jag parametriserar integralen enligt =t, = t,där det gäller att d =dt och d = tdt och t går från till. Insatt i integralen blir detta 3 t 7 d + d = 8 t +t 3 dt där normalen antas ha enhetslängd 5

t Integralen beräknas till 8 64 t3 3 + t4 = 9 64 Jag får alltså flödet genom kurvan till 9 64. 6

!"#$%$&&'()*+,+ -.*/0.*(%+#.34%+56+ + 5. Bestäm värdet av där är den sluten kurva som börjar i punkten och sen går längs: "!"

!"#$%$&&'()*+,+ -.*/0.*(%+#.34%+56+ (a) nedre halvan av cirkeln (b) övre halvan av (c) delen under -aeln av parabeln (d) övre delen av Skissa kurvan. Lösning: Grafen ser ut såhär. Funktionen är inte definerad när dvs i punkten. Men vi kan dela kurvintegralen i två delkurvintegraler och betraktar om deras fält har någon speciell egenskap. Betraktar vi delkurvintegralen ser vi att är magnetfältet. Från föreläsning eller kursboken visade vi att magnetfälet inte är konservativt. Och från grafen ser vi att går två varv runt origo (0,0) på negativt led. Så vi får att "!"

!"#$%$&&'()*+,+ -.*/0.*(%+#.34%+56+ + Delkurvintegralen En eventuell potential skall här uppflla liknar det elektrostatiska fälet. Det är lätt att se att Satisfierar dessa ekvationer. Fältet är konservativt. Ett konservativt fält har en följd av sats i kursboken egenskapen att för varje sluten kurva har vi "!"