Aritmetikens och algebras utveckling Vladimir Tkatjev, MaI, LiU, ht2013
Algebra och aritmetik Aritmetik: målet är själva räknesätt, dess utveckling och numerisk resultat. Ursprungligen ligger nära talteori. En ökänd myt att alla matematiker räknar bäst 144 25 = 100 25 + 40 25 + 4 25 = 600 Algebra: målet är algebraiska operationer och samband, inre algebraiska strukturer, bokstavsräkning. 144 25 = 12 5 2 = 60 2 = 3600 a 2 b 2 = a b 2 Olika algebraiska strukturer, bl.a. linjär algebra, abstrakt algebra, kommutativ algebra, icke-associative algebra
Historisk översikt Islams största utbredning runt 850 e.kr. Särskilda drag och faktorer: Ca 600 e.kr.: decimala talsystem i Indien Ca 750-1050 e.kr.: arabisk matematik Papperstillverkningen Översatte matematiska verk från Indien och Grekland Kulturella centra: Samarkand, Bagdad och Cordoba al-khwarizmi (780 850 ): Algebras uppkomst (al-jabr) Omar Khayyam (1048-1122): kubiska ekvationer och geometrisk algebra Första europeiska universiteten (ca 1100 e.kr.): arabiska och grekiska källor översats till latin Leonardo av Pisa: boken om räknekonsten, Liber abaci (1202) Gutenbergs boktryckarkonsten (1440) Renässansen, ekvationer i Italien (1500-talet) François Viète: symbolisk algebra
Siffror Ordet siffra, صفر) as-sifr): ingenting, noll Arabiska och indiska siffror: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९ Siffrornas evolution enligt J.E. Montuclas Histoire de la Mathematique (1753)
Muhammad ibn Musa al-khwarizmi (780-850 ) Profeten Muhammed: söka lära även så långt som Kina! År 750 e.kr. blev Bagdad ny huvudstad i det islamiska riket och man byggde ett nytt Museion, Bayt-al-Hikma (Visdomens Hus) Den förstebibliotekariet blev persisk matematiker al-kwarizmi Han skrev flera matematiska böcker, bl.a. Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (vetenskapen om återförening och opposition). Algebra = al-jabr Trigonometriska tabeller Ordet algoritm kommer från al-khwarizmi
Muhammad ibn Musa al-khwarizmi (780-850 ) Retorisk algebra: enbart algoritmens beskrivning, inga symboler Al-jabr: hur man för över termer från en sida av ekvationen till den andra, samt al-musqabalah, att olika termer på motsatta sidor i ekvationen tar ut varandra. al-khwarizmi gav lösning till olika ekvationer av första och andra grad, bl.a. ax = b, ax 2 = bx, ax 2 = c, även ax 2 + bx = c (6 typer totalt). x 2 (kvadraten), x (roten, ting), a (enheten) Exempel: al-jabr (föra över termer): 3x + 2 = x 2 + 4 3x = x 2 + 4 2 al-musqabalah (förenkling) 3x = x 2 + 4 2 3x = x 2 + 2
Muhammad ibn Musa al-khwarizmi (780-850 ) Grupparbete (BGJ, s. 281) Och någon frågar och säger: Jag delade tio i två delar, sedan multiplicerade jag en av dem med den andra, och detta blev tjugoett dirham. Och du vet alltså att en av de två delarna är ting, och det andra är tio minus ting. Så multiplicera ting med tio minus ting, och det är tio minus en kvadrat, vilket är lika med tjugoett. Och återställ kvadraten vid de tio tingen och lägg den till de tjugoett. Och det blir alltså tio ting, vilket är lika med tjugoett dirham och en kvadrat. Och subtrahera hälften av rötterna, och det återstår alltså fem, och multiplicera dem med lika mycket, det blir tjugofem. Och subtrahera från detta de tjugoett, vilka hör till kvadraten, och det återstår fyra. Ta kvadratroten av det, och det är två. Så subtrahera detta från hälften av rötterna, vilka är fem, det återstår tre, och detta är en av de två delarna. Och om du önskar, så adderar du roten av de fyra till hälften av rötterna, och det är sju, och den är en av de två delarna. Och detta problem är ett som löses med addition och subtraktion. Lösning: 10 = x + y xy = 25 x = ting y = 10 x x 10 x = 10x x 2 10x x 2 = 21 10x = 21 + x 2 10 2 = 5 5 5 = 25 25 21 = 4 4 = 2 x = 5 2 = 3 y = 5 + 2 = 7
Omar Khayyam (1048-1122) Persisk matematiker, filosof, astronom, poet Författare till Ruba iyat We are no more than a moving row of magic shadow-shapes that come and go round with sun-illumined lantern held in midnight by the Master of the Show. (Översättning av Edward Fitzgerald) Lösning av kubiska ekvationen med hjälp av geometrisk algebra (d.v.s. grafisk lösning). För att lösa olika typer kubiska ekvationer (totalt 14 stycken) använder Khayyam kägelsnitt (parabler, hyperboler, ellipser).
Omar Khayyam (1048-1122) Uppgift. Visa att en lösning x till ekvationen x 3 + cx = d satisfierar även systemet 2 2 x d 2c + y 2 = d 2c x 2 = y c
Jamshīd al-kāshī (1380-1429) Persisk matematiker, aritmetikens höjdpunkt Närmevärde för 2π = 6,2831853071795865 (alla siffror är korrekta) Miftah al-hisab (Nyckeln till räknekonsten) Multiplikations med uppställning 934 314 = 293 276 Multiplicera 152 241
Matematiken i Västeuropa under medeltiden Den mörka tiden : ca 470-1000 e.kr. Kyrkan blev den institutionen som höll den grekisk-romerska kulturarvet levande På 1200-talet använde kardinal Bonaventura matematik för att bevisa Guds existens: 1) Om världen skulle funnits ett oändligt antal år då världen måste då ha funnits tolv gånger fler månader, vilket också är ett oändligt antal. Men oändligheten kan inte vara tolv gånger större än sig själv, det är en motsägelse. 2) Eftersom materia inte kan uppstå ur tomma intet, så måste det finnas en skapande Gud. Första europeiska universiteten (ca 1100 e.kr.): arabiska och grekiska källor översats till latin Renässansen, boktryckarkonst (ca 1450), första tryckta upplagen av Elementa (1482)
Leonardo av Pisa (1170-1250) Även kallad Fibonacci (Bonaccios son), en italiensk köpman gjorde vidsträckta resor kring Medelhavet Liber abaci (1202), boken om räknekonsten, även om ekvationer Den första användning av negativa tal i Europa Decimala talsystemet, arabiska-indiska siffror Fibonaccitalen: a 1 = 1, a 2 = 1, a k+2 = a k + a k+1 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, Fibonaccital i naturen: 2 5 5,8,13 21,34,55
Tredjegradsekvationens lösning Luca Pacioli (1445-1517), en italiensk franciskanermunk och matematiker, nära vän till Leonardo da Vinci Hans viktigaste verk är Summa de Arithmetica (1494), uppslagsverk av dåtidens matematik med sporadisk användning av symbolisk algebra Scipione del Ferro (1465-1526), matematikprofessorn i Bologna. Bl.a. den moderna formen av p-q-formel för en andragradsekvation År 1515 har Ferro funnit en algebraisk lösningsmetod (dock aldrig publicerade) och meddelade sedan under tysthetslöfte sitt resultat till en av sina elever, Antonio Maria Fior Formel för lösningen av x 3 + ax = b, a, b positiva reella tal
Tredjegradsekvationens lösning Nicocolo Tartaglia (1500-1557), den stammande, lärare i matematik i Verona och Venedig. År 1535 arrangerades en två-timmars duell mellan Fior och Tartaglia om vem som var den skickligaste lösaren av tredjegradsekvationer. Tio dagar innan duellen lyckades Tartaglia finna lösningsmetod för den allmänna tredjegradsekvationen x 3 + ax 2 + bx + c = 0 Under duellen hartartaglia löst alla 30 Fiors ekvationer medan Fior inte hade löst en enda av Tartaglias ekvationer. Orsaken var att Fior inte kunde lösa kubiska ekvationer innehållande andragradstermer. 3 1) Visa att 108 + 10 3 108 10 2) Visa att en allmän kubisk ekvation kan skrivas om till x 3 + px + q = 0 = 2
Tredjegradsekvationens lösning Tartaglias dikt som ger tredjegradsekvationens lösning: När kuben och tingen tillsammans är lika med något diskret tal. finn två andra tal som skiljer sig åt med detta. Då skall Ni taga som regel att deras produkt alltid är exakt lika med kuben av en tredjedel av tingen. Som en allmän regel är därefter resten av deras subtraherade kubikrötter lika med det väsentliga tinget. I den andra av dessa handlingar, då kuben förblir ensan1, skall Ni notera dessa övriga överensstämmelser: Ni skall genast dela talet i två delar så att det ena gånger det andra tydligt ger exakt kuben av en tredjedel av tingen. Av dessa båda delar skall Ni alltid taga de sammanlagda kubikrötterna, och denna summa kommer att vara Eder tanke. Den tredje av dessa våra beräkningar löses med den andra om Ni ger noga akt, eftersom de till sin natur näst intill överensstämmer. Detta har jag funnit. och det inte med klumpiga steg. år ettusen fem hundra trettiofyra. På starka och gedigna grunder i staden som omges av havet.
Tredjegradsekvationens lösning Geronimo Cardano (1501-1576) professor i matematik och medicin, uppfinnare, verksam i Milano och Pavia Cardano lovade Tartaglia att inte offentliggöra den hemliga lösningsmetoden och år 1539 fick metoden i form av en dikt. År 1545 publicerade Cardano lösningen av den allmänna kubiska ekvationer tillsammans med lösningen av fjärdegradsekvationer i Ars Magna trots sitt löfte. Lodoviko Ferrari (1522-1565), en Cardanos elev, löste fjärdegradsekvationen Under lösningens gång uppträdde rötter ur negativa tal, som Cardano dock inte accepterade. Bara reella tal accepterades som lösningar. Rafael Bombelli (1526-1572), L Algebra: inkluderade negativa och komplexa tal i matematik: minus gånger minus blir plus etc
del Ferros lösning av x 3 + ax + b = 0 Vi börjar med att söka lösningen som summan x = u + v där u, v skall bestäms senare. Insättning och gruppering ger (u + v) 3 +a u + v + b = 0 u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + v 3 + a u + v + b = 0 u 3 + v 3 + 3uv + a u + v + b = 0 Nu väljer vi de två parametrarna u, v så att medeltermen i föregående formel försvinner: 3uv + a = 0 vilket medföljer att u 3 + v 3 + b = 0 Detta är ekvivalent till systemet u 3 + v 3 = b 3uv = a u 3 + v 3 = b 27u 3 v 3 = a 3 Det senare system kan lösas som andragradsekvation, se exempel på nästa sidan.
del Ferros lösning av x 3 + ax + b = 0 Exempel: Lös x 3 3x 2 = 0. Antar att x = u + v, alltså (u + v) 3 3 u + v 2 = 0 u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + v 3 3 u + v 2 = 0 u 3 + v 3 + 3uv 3 u + v 2 = 0 Väljer u och v så att 3uv 3 = 0, dvs uv = 1. Insättningen ger u 3 + v 3 2 = 0 Vi har kommit fram till systemet u 3 + v 3 = 2 uv = 1 u 3 + v 3 = 2 u 3 v 3 = 1 Väljer nya variablerna u 3 = U och v 3 = V vilket ger U + V = 2 U = 2 V och 2 V V = 1 UV = 1 Den andragradsekvationen har lösningar V 1 = V 2 = 1. Så får vi och följaktligen x = 2. u = U 1 3 = 1, v = V 1 3 = 1
allmänna algebraiska ekvationer Leonard Euler 1732 gav de fullständiga lösningarna till tredjegradsekvationen och visade att den s k Cardanos formel ger alla tre lösningarna genom att ge en helt ny definition av kubikrot ur komplexa tal Friedrich Gauss var först som bevisat att en allmän algebraisk ekvation har minst en komplex rot En norsk matematiker Niels Henrik Abel (1802-1829) visade att den allmänna femtegradsekvationen inte kunde lösas genom successiva rotutdragningar. En fransk matematiker Évariste Galois (1811-1832) bestämde de nödvändiga och tillräckliga villkoren för att en algebraisk ekvation skall kunna lösas med hjälp av rotutdragningar
Referenser T. Hall, Matematikens utveckling, Gleerups, 1970 B.G. Johansson, Matematikens historia, Studentlitteratur, 2004 J. Thompson, Matematiken i historien, Studentlitteratur, 1996 H.L. Resnikoff, R.O. Wells, Mathematics in civilization B. Sjöberg, Från Euklides till Hilbert, Åbo Akademi, 2001 Lars-Åke Lindahl, En inledning till geometri Wikipedia