Problemlösning - ett sätt att arbeta med matematik Vanja Nordin Eva Domeij VT 2007 Rapport Matematikdidaktisk verksamhetsutveckling Institutionen för matematik, teknik och naturvetenskap
Sammanfattning Detta examensarbete undersöker hur elever utvecklade sitt sätt att tänka, förklara och argumentera när de arbetade med problemlösning. För att kunna redovisa ett resultat följde vi eleverna under en längre tid och lyssnade på och antecknade deras diskussioner. Eleverna dokumenterade sina problemlösningar och därför har vi möjlighet att visa er några av lösningarna. De har också skrivit ner sina synpunkter om problemlösning. Vi har gjort en kort beskrivning av hur vi introducerat problemlösning. Genom att läsa en del litteratur började vi att tänka på att vidareutveckla matematikundervisningen i enlighet med PBS. Vi vill med denna rapport visa vårt sätt att utveckla matematiken i skolan.
Innehållsförteckning 1. Inledning...1 2. Syfte...2 3. Metod...3 4. Resultat...4 5. Diskussion...12 6. Litteraturförteckning 17
1. Inledning I enlighet med PBS (problembaserad skolutveckling) har vi satsat lite extra på matematiken. I skolverkets Nationella utvärdering av grundskolan 2003 (Rapport 250) har vi funnit alarmerande rapporter om matematiken där man visar att resultaten försämrats i både åk 5 och åk 9 mellan åren 1992 och 2003. Svenska elever har fått svårare att bli godkända i matematik när de lämnar grundskolan. Därför har vi ställt oss frågan hur vi kan förändra vår matematikundervisning så att vi kan bidra till en bra skolutveckling. Vi fick möjligheten att gå utbildningen Matematikdidaktisk skolutveckling och blev inspirerade att på allvar ta tag i matematikundervisningen utifrån ett annat perspektiv än vi hade gjort tidigare. Det har underlättat för oss att vi arbetat tillsammans och med samma elever och har följt dessa från deras första skolår och fram till år 3. Vi har under dessa år försökt att inte ge läroboken en alltför stor roll och istället arbetat utifrån vårt synsätt att det inte är viktigast hur många tal eleven hinner räkna. För oss har det varit viktigare att eleven på något sätt kunnat visa att hon/ han har förstått matematikens betydelse i vardagslivet. Det matematiska tänkandet och förmågan att både skriftligt och muntligt kommunicera kring matematiken finns redan omnämnt i Lgr 80 och har nu kommit att få allt större betydelse. ( Rapport 250, 2004) I skolverkets kursplan för matematik kan vi läsa om strävansmål. Där står bland annat: Skolan ska i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer, utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande, utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen.(skolverket 2000) 1
Vi började titta på området problemlösning och fann att det var ett bra sätt för eleverna att prata matematik, att förklara och argumentera, att sortera information, att tillgodogöra sig en rumslig uppfattningsförmåga samt att få möjlighet att lösa uppgifter i flera steg. Variation, flexibilitet och att undvika det monotona i undervisningen är viktigt för lusten att lära. (Skolverket 2003). Det tog vi fasta på och vi strävade efter att eleverna även framgent skulle uppskatta att vi arbetar på olika sätt med matematiken. Vi kommer att i denna uppsats redogöra för de iakttagelser vi gjort under våra matematiklektioner. 2
2. Syfte Vårt syfte med de aktioner som vi genomförde med eleverna var att se hur väl de lyckades förklara och argumentera, sortera information och lösa uppgifter i flera steg när de arbetade med problemlösning. Vi ville också att eleverna skulle uppleva det lustfyllt att ta itu med problem där räknesätten och siffror inte alltid var givna. Vi ställde oss själva några frågor innan vi startade aktionen. Hur diskuterar eleverna sig fram till en lösning på matteproblemet när de arbetar i par? Hur visar eleverna lösningen i skrift och bild? Märker vi någon förändring i elevernas sätt att lösa problem när de arbetat med det ett läsår? 3
3. Metod Eftersom vi genom att genomföra aktioner medvetet ville fokusera på problemlösning i matematik valde vi att arbeta men samma elever under cirka tre terminer. Vi valde att först koncentrera oss på att göra arbetsmiljön så bra som möjligt för eleverna. Eleverna fick arbeta parvis och placerades så att de inte stördes av varandra. Under den här tiden läste vi en del litteratur om skolutveckling. Vi kände att vi ville variera matematiklektionerna utifrån tanken om grupparbete kontra enskilt arbete. Tom Tiller (1999) skriver i sin bok att aktionslärande handlar om att förstå det man upplever, förstår sig själv och få upp ögonen för det som befinner sig på djupet. Det handlar om att utmana sig själv på ett grundläggande sätt. På samma sätt som för elever, uppstår meningsfyllt lärande hos lärare och skolledare när de diskuterar och reflekterar över sina erfarenheter. Vi har i valt att arbeta med Sagolik problemlösning, ett material från Gleerups läromedelsförlag. Då vi arbetade endast med en liten grupp elever, 18 stycken, så ansåg vi att vi hade möjlighet att följa elevernas arbete så pass nära, att en utvärderingsenkät kändes överflödig. Istället fick eleverna skriva några rader om hur de upplever arbetet med problemlösning. Vi tycker att vi kunde läsa ut en del saker under den här tiden och om detta finns att läsa i denna uppsats. 4
4. Resultat Med tanke på det som vi nämnde i inledningen ville vi försöka förbättra vår matematikundervisning. Vi introducerade problemlösning i åk 2 och har sedan fortsatt med samma elever i åk 3. Vi påbörjade detta arbete med att försöka skapa en så bra arbetsmiljö som möjligt för eleverna. Tursamt nog hade vi tillgång till två klassrum och två mindre studierum så eleverna kunde placera ut sig parvis på ett sådant sätt att de inte störde varandra. Kjell Granström skriver att grupparbete i skolan skulle kunna sägas vara en viktig träning inför ett framtida arbetsliv. (Berg, Scherp 2003) Eftersom grupparbete dessutom är en utmärkt form för att lära in nya kunskaper och färdigheter finns tunga skäl för att öka dess omfattning i skolan. I grupparbete får eleverna en träning i att utveckla systematiska roller som innebär samarbete för att lösa gemensamma problem eller nå uppsatta mål. (Forskning i fokus, nr. 15) Med detta i åtanke beslöt vi att eleverna skulle arbeta parvis. De fick själva välja vem de ville arbeta med, detta för att vi inte tyckte att vi skulle styra alltför mycket. Genom att de fick arbeta två och två fick de möjlighet att diskutera med varandra om problemet. Det gav dem tillfälle att utveckla det logiska tänkandet och tillsammans komma fram till en lösning. Så småningom framkom önskemål från eleverna att få arbeta med någon annan än den de från början valde. Vi tyckte inte att det skulle möta några hinder och vi gav också förslag om att de kanske kunde arbeta flera tillsammans. Vi såg det snarare som positivt att eleverna själva kom med den idén. I Lusten att lära med fokus på matematik står det att när elever ger exempel på roliga och lärorika lektioner tar flera upp arbete med problemlösning i grupp. De har t.ex. fått välja svårighetsgrad på problem och sedan redovisa lösningarna för varandra. Det har varit bra för man fick idéer om hur man kunde räkna ut olika saker när andra redovisade sina uppgifter. Ibland lär man sig mer när kompisar förklarar. De har betraktat det som avbrott i den vanliga verksamheten och som variation till det vi brukar göra på matten. (Skolverket 2000) Vårt huvudsakliga arbetsmaterial var Gleerups sagolik problemlösning som bygger på att eleverna först får lyssna på en saga och därefter ge sig i kast med olika problemlösningar utifrån den aktuella sagan. Detta arbetade vi med vid en till två tillfällen i veckan. 5
När vi introducerade problemlösning i åk 2 fick eleverna i första steget använda skrivböcker med blanka blad. Meningen var att de inte skulle behöva använda siffror utan i bild visa sitt sätt att tänka, därför ville vi inte att de skulle vara låsta till linjer eller rutor. Vi löste först några problem tillsammans för att kunna visa exempel på hur de skulle kunna åskådliggöra en lösning. När eleverna sedan skulle arbeta självständigt började de att först diskutera vem som skulle läsa texten på problemlösningskorten. Detta löste de ganska fort genom att bestämma sig för att turas om med läsningen. Vi upptäckte ganska snart att det i vissa grupper pratade man inte så mycket om uppgiften utan den som löste problemet snabbast berättade för den andre hur det skulle gå till. Eleverna var till att börja med noggranna med att rita exakt de föremål eller figurer som problemet handlade om. ( Se fig 1-3 ) Eftersom eleverna redan var bekanta med siffror och tecken använde de ibland även detta. Vi gick runt till alla elever och lyssnade in deras diskussioner och skrev ner det mesta. Ibland var uppgiften lite svår och då bad vi eleverna att berätta muntligt för oss hur de kunde tänka för att lösa uppgiften.. Fig.1 6
Fig. 2 Fig 3 7
I nästa steg började eleverna byta ut de exakta föremålen eller figurerna mot symboler som streck eller kryss. Vi fick vid flera tillfällen be eleverna att tydligt visa hur de hade tänkt eftersom de ofta bara visade lösningen. Det tog med andra ord lite tid för dem att förstå att vi var mest intresserade av hur de gick till väga och hur de tänkte. I fig. 4 ser man hur de övergått till symboler. Fig. 4 Så småningom övergick eleverna mer och mer till att använda endast siffror och tecken. Även nu diskuterade eleverna mycket med varandra och även med oss. Några exempel på detta finner ni i fig.5 och 6. Fig 5 8
Fig. 6 I läroplanen för grundskolan (Lpo 94) sägs att: Skolan ska sträva efter att varje elev lär sig att använda sina kunskaper som redskap för att: formulera och pröva antaganden och lösa problem reflektera över erfarenheter och kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden. Vi ville med tanke på detta på något sätt dokumentera elevernas resonemang och deras sätt att pröva sig fram. Därför gick vi runt bland eleverna, lyssnade och antecknade noggrant hur deras diskussioner gick. Vi har plockat ut några exempel på hur det kunde låta. Se fig.7 10 på nästa sida. 9
Elevkommentar: Elevdiskussion: Här kan man ju inte visa i häftet, A: Ja, det blir ju 10 x 3. Då är det ju 30 för man ser ju på bilden hur mycket minuter. de väger. B: Nej, vi skriver så här. 3+3+3+3+3+ 3 +3 Då blir det 3..6..9..12..15..18 21..24..27..30. Det blir 30 minuter. A: Ja, jag sa ju det från början. B: Okay då, men nu fick vi ju skriva lite mer. Fig. 7 Fig 8 Problem: Tre barn gungar i lekparken. Dubbelt så många spelar boll. Fyra barn åker karusellen och lika många står bredvid och puttar på karusellen. Hur många barn leker just nu i lekparken? Problem: Eva har 9 bokmärken. Hon byter bort 2 stora mot 5 små bokmärken. Hur många bokmärken har hon sedan? Elevernas diskussion: A: Aj då, det här var lite klurigt. Det blir noll. B: Nej det kan inte bli noll A: Hon har ju 9 bokmärken. Sen byter hon Elevens svar: Det är ju enkelt 3 + 6 + 4 + 4. bort 2 och sen 5. Ja just det. Hon har 2 Det var 17 barn i lekparken. kvar. A: Nej, hon får 5 när hon bytt bort 2. B: Jaha, då blir det få se.9 2 + 5 = 12 Hon har 12 bokmärken. Fig 9 Fig 10 10
För att se hur väl eleverna kom ihåg att läsa frågeställningen och tillgodogöra sig information gav vi dem vid ett tillfälle problemlösningstal som de skulle lösa var och en för sig. Vår tanke hade ju inte varit att de skulle bli beroende av att alltid arbeta i grupp. Vi kan se i fig. 11, 12 och 13 hur tre elever på olika sätt löste samma problem. Uppgiften är att räkna ut hur många bussar som behövs för att ta 450 soldater till ett träningsläger. Varje buss kan ta 36 soldater Fig. 11 Fig. 12 Fig 13 11
Vi bad så småningom våra 18 elever att skriva ner sina åsikter om problemlösning. 15 elever skrev att det var roligt med problemlösning och att det var roligt att arbeta i par. 2 elever ville helst arbeta ensam, men tyckte att det var roligt med problemlösning. 1 elev svarade: Vet ej. Övriga synpunkter från eleverna: Det var lite klurigt ibland. Man lär sig ganska mycket. Det är kul att visa hur man tänker. Det är roligt med korten. 12
5. Diskussion Om vi tittar i skolverkets rapport nr 221 står det på sidan 30 om behovet av varierad undervisning. Där står att variation, flexibilitet och att undvika det monotona i undervisningen är viktigt för lusten att lära. Formen för inlärning behöver växla för att tillgodose elevers olika sätt att lära. Det gäller såväl innehåll, relevanta arbetsformer, arbetssätt och läromedel. Det var just detta vi hade i åtanke när vi startade upp arbetet med problemlösning. Visserligen finns det problemlösningsuppgifter i våra läromedel också men eleverna har inte varit så begeistrade i att lösa dessa uppgifter tidigare. Vi ser nu att det inte längre är något problem att ta itu med dem och det kan bero på att de hållit på så mycket med problemlösning att de inte längre ser några svårigheter med det. Alltför många har tyvärr negativa erfarenheter av matematik som upplevs som meningslös och svår att förstå. Hos en del leder det till känslor av misslyckande, avståndstagande och till och med ångest. Många bär med sig dessa känslor in i vuxenlivet, vilket kan skapa dåligt självförtroende. Föräldrar och även lärare med sådana negativa erfarenheter av matematik överför dem lätt till nästa generation. (Skolverket 2003) Vi har i samtal med föräldrar upptäckt att de som har en negativ upplevelse av matematikundervisning bär med sig och överför det till barnen. Många tror att matematikundervisning bedrivs på samma sätt nu som då. De har inte vetskap om att man nu arbetar betydligt mer laborativt och inte endast i de traditionella läromedlen. Vi har, när vi haft föräldramöten, låtit föräldrar arbeta lite med de olika material som vi använder. De har fått se att barnen lär sig matematik på många olika sätt. Detta visade sig få en positiv effekt på föräldrarnas syn på dagens matematik-undervisning och många uttryckte tydligt att de tyckte att matematiken såg mycket roligare ut idag än när de själva gick i skolan. Eleverna har på många sätt visat att de tycker att matematik är roligt. Många gånger när vi kommer in efter en rast har eleverna utan att vi bett om det tagit upp matteboken och börjat arbeta. De är också väldigt roade av alla de mattespel vi har tillgängliga för dem. Under de raster de är inne tar de ofta fram dessa spel som är väldigt lärorika. I dessa spel får eleverna 13
träna på multiplikation, hälften och dubbelt, talkamrater, största och minsta tal och mycket annat. Som framgår av elevernas synpunkter finns det även några elever som inte känner sig riktigt bekväma i att arbeta i grupp under matematiklektionerna. Dessa elever har naturligtvis fått arbeta enskilt med problemlösning men vi har istället låtit dem ingå i grupper vid flera andra tillfällen. Eftersom vi sett att samarbete inte är något problem i just den här klassen ville vi ordna en temadag i matte tillsammans med en årskurs yngre och en årskurs äldre elever. Under den dagen fick eleverna dela upp sig i grupper där det fanns elever från alla tre årskurser. De fick tillsammans pröva på olika saker som väga, mäta längd och volym, geo-brädan, spela mattespel, vardagsproblem i utemiljö och problemlösning. Eleverna fick då välja olika svårighetsgrad ur ett större antal, cirka etthundra, problemlösningsuppgifter. De elever som hade arbetat mer inriktat på problemlösning tog många gånger på sig en ledande roll och såg till att lösningarna presenterades på ett bra sätt, det vill säga att det tydligt framgick hur eleverna hade tänkt. Samarbetet fungerade också riktigt bra med eleverna i de andra årskurserna. När vi sedan utvärderade temadagen hade nästan alla elever en önskan att få ha flera temadagar eftersom det var så roligt. Vi har tyvärr inte hunnit tillgodose deras önskemål ännu men det finns på planeringsstadiet. Själva blir vi väldigt inspirerade när vi ser att eleverna upplever matematiken lustfylld och vi känner också en glädje över att få planera och utföra olika saker även utanför klassrummet. Det var intressant att se hur den enskilde elevens inflytande i olika grupper förändrades under den tiden vi arbetade med problemlösning. I början var det naturligtvis så att någon elev i gruppen var dominant och andra lyssnade och gjorde som den dominante sa utan att ifrågasätta. Allteftersom tiden gick och vi hade pratat om det så förändrades situationen i grupperna och vi lade märke till att man var noggrann med att alla kom till tals. Vi upplevde det som att det inte längre var viktigt att försöka visa att man var duktig och tillät andra kamrater visa sina styrkor. 14
Vi känner inte pressen av att eleverna ska hinna varje sida i boken till en viss tidpunkt utan de kan arbeta med de moment som känns aktuella att fördjupa sig i. Vi ser heller inte samma tävling hos eleverna som vi tycktes se tidigare. Tidigare var det alltid frågan om hur långt de hade hunnit och vem som var först. I och med att vi inte längre känner oss styrda av läroboken så kan vi arbeta på ett mera avslappnat sätt. Det är inte så att vi vill förkasta läromedlen, men vi vill vara flexibla i vår undervisning därför att vi tror att det gagnar eleverna. En fråga som vi diskuterat med varandra, vi som arbetat med den här aktionen, är hur mycket kontroll vi ska ha på varje elev. Vi har enats om att det vi i första hand ska titta på är om eleven har förstått och befäst den matematik och de begrepp i matematiken som krävs för att kunna gå vidare. Det är kanske inte så farligt om man har räknat några enstaka fel i matteboken. Eleven har inte behövt sitta och rätta om det inte har varit så att vi sett att eleven haft stora problem. Naturligtvis stötte vi på lite problem under den här aktionen, dels på grund av att eleverna inte riktigt hade så bra läsförståelse i början. De misstolkade ofta frågeställningen. Det blev också så småningom så att de kunde räkna ut svaret genom huvudräkning och skrev då bara svaret i boken. Vi fick gång på gång förklara att vi inte i första hand var intresserade av själva lösningen utan mera av hur de kom fram till den. Vårt utvecklingsarbete i matematik har inspirerat oss till att vilja förändra en del i matematikundervisningen. Vi planerar att inför hösten iordningsställa en matematikverkstad och även en språkverkstad. Målet är att också göra i ordning temalådor i vägning och mätning av längd och volym. För att ytterligare fokusera på matematiken och ge den ett lyft har vi bildat ett nätverk i matematik i skolområdet. Där ingår lärare från alla stadier och från de flesta skolor i skolområdet. Vi känner att det är ett bra forum att delge varandra erfarenheter. Det ger oss inspiration till fortsatt utvecklingsarbete. Under det gångna året har en lokalförening SMaL (Sveriges matematiklärare) bildats och förhoppningsvis kommer medlemsantalet att öka snabbt. Vi tror och hoppas att vi tillsammans kan lyfta matematikundervisningen och inspirera eleverna så att de kan bli mer intresserade. 15
Avslutningsvis vill vi referera till Tom Tiller, professor i praktisk pedagogik, som i sin bok Aktionslärande menar att det inte är så säkert att skolan ligger i frontlinjen när det gäller lärande men är övertygad om att den kan ta plats i täten igen. Den nya vägen måste byggas med klokhet. Lärande på djupet präglas av samverkan mellan tanke, vilja, känsla och övertygelse. Det är de fyra anhalterna, som vi måste ha med för att lärandet ska bli djupt och varaktigt. När de fyra anhalterna mobiliseras i arbetet genereras både liv och lust, menar han.(tiller 1999) Vi har stora framtidsvisioner när det gäller framför allt matematikundervisning och tror att vi kan få de fyra anhalterna att samverka hos oss. 16
Litteraturförteckning Skolverket 200 Kursplan och betygskriterier Skolverket 2003 Lusten att lära med fokus på matematik Nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002 Rapport nr 221 Skolverket 2004 Nationella utvärderingen av grundskolan 2003 Rapport 250 Sammanfattande huvudrapport Berg, Scherp m fl Skolutvecklingens många ansikten Forskning i fokus nr 15 Tom Tiller 1999 Aktionslärande Forskande partnerskap i skolan 17