Finns det något man skulle kunna lära sig av internationella jämförelser

Göran Kvist Inspiration från Kina I Nämnaren nr 1, 2009 skrev vi om lärarlyftskursen som NCM genomförde 2008. Detta är ytterligare en artikel som härrör från ett fördjupningsarbete under kursen. Här berättar Göran Kvist om sin erfarenhet om att undervisa gymnasiematematik på kinesiskt vis. Finns det något man skulle kunna lära sig av internationella jämförelser av matematikundervisning? Är det något som skiljer undervisningen i Sverige från undervisningen i de länder som presterar mycket bättre vid olika jämförelser som till exempel Kina? De yttre ramarna i dessa länder är inte bättre. Det finns snarare fler än färre elever per klass och det finns sällan större ekonomiska resurser i Kina. Och inte har de tillgång till fler eller bättre tekniska hjälpmedel. Lärarutbildningen är dessutom kortare i Kina än i Sverige, så det måste vara något annat, något i själva undervisningsprocessen som gör skillnad. Linjära ekvationssystem på svenska och på kinesiska Låt mig ta med dig på en liten resa in i ett mycket begränsat område av gymnasiekursen, undervisningen om linjära ekvationssystem, kurs B. Resan handlar om hur jag genom att använda en genomtänkt strategi försöker uppnå en väsentligt högre grad av förståelse än vad som brukligt är. Jag har själv gjort denna spännande resa med inspiration från två av de böcker som finns förtecknade i litteraturlistan. Den första boken Knowing and teaching elementary mathematics av Liping Ma (1999) väckte på allvar mitt intresse för att det finns oändligt mycket mer att göra i själva undervisningsprocessen. Jag återkommer till den andra boken lite senare. Svenska läroböcker börjar oftast med några inledande rader om vad linjära ekvationssystem är. Därefter ges vanligtvis några exempel på problem som leder till linjära ekvationssystem och sedan visar man tre olika metoder att hitta lösningarna; en grafisk lösningsmetod och två algebraiska, substitutionsmetoden och additionsmetoden. Sedan brukar det komma en hel del likartade problem som följs av en avdelning med tillämpningar, det vill säga att eleverna får textuppgifter som de ska använda för att själva formulera två ekvationer med två obekanta och sedan lösa dessa ekvationssystem. Det normala i svensk skola är att man även undervisar på detta sätt. Det är en modell som dominerar undervisningen i matematik. Tydligast är detta i åk 7 9 och gymnasieskolan där det är svårt att hitta exempel på andra arbetsformer, men den är också vanlig i åk 5. Modellen utgörs av genomgång ibland, enskilt arbete i boken och diagnos, alternativt prov. Läraren går runt och hjälper eleverna individuellt (Skolverket, 2003). Efter några lektioner går man 24 Nämnaren nr 2 2009

därefter vidare till nästa avsnitt. När det sedan är dags för prov visar det sig nästan alltid att vissa elever har missförstått grundläggande saker utan att läraren har upptäckt detta. Men eftersom läroböckerna inte förändras nämnvärt och undervisningssättet är så väl inarbetat och läraren själv troligen har utsatts för ungefär samma undervisning sker det inga avgörande förändringar. Dessutom förekommer det, som jag nämnde inledningsvis, inte didaktiska diskussioner mellan lärare på svenska gymnasieskolor. På den skola där jag arbetar görs det till exempel ingen gemensam analys av vad eleverna inte förstod och inte heller hur eller varför missförstånden uppstått. Därför kan vi inte utveckla strategier för högre måluppfyllelse. Vad är det då som gör att eleverna inte presterar så bra och vilka missuppfattningar kan förekomma? Här följer några exempel. Eftersom läroböckerna är så inriktade på att lösa ekvationssystem gör eleverna detta rutinmässigt. Så fort de ser två ekvationer med en klammer vet eleverna hur lösningsmetoderna brukar gå till. Det är som om vi bara förser eleverna med recept på hur man gör och inte går in i någon djupare diskussion med dem. Om man skulle fråga eleven lite närmare om vad som menas med ett linjärt ekvationssystem och vad som menas med en lösning till ett linjärt ekvationssystem kommer man förmodligen att få en hel del grumliga svar. Detta gör att eleverna kan ange ett x-värde som svar, som om det var en ekvation de löste. De kan fråga om svaret är rätt utan att ha en metod att ta reda på det på egen hand. De kan också bli mycket frågande då de läser i facit att lösning saknas eller att det finns oändligt många lösningar. Att listan över missuppfattningar kan göras mycket lång vet varje erfaren gymnasielärare. Som jag tidigare nämnde blev jag väldigt inspirerad av Liping Mas bok men samtidigt lite frustrerad över att jag inte riktigt kunde omsätta hennes tankar i min egen undervisning. Därför blev jag väldigt glad när jag hittade den andra boken Teaching systems of linear equations in Sweden and China: What is made possible to learn? av Johan Häggström (2008). Där finns väldigt noga genomgångna lektioner i hur man undervisar om linjära ekvationssystem i några klasser i Sverige, Hong Kong och Shanghai. Med inspiration från de båda lästa böckerna beslöt jag mig för att se om det kunde göra någon skillnad att undervisa på ett annorlunda sätt. Jag fick ett bra tillfälle att göra detta eftersom jag den här terminen undervisar en NV-klass i kurs B. Jag kände inte gruppen förut och har alltså inte undervisat dem i Ma A och vi hade därför inte skapat oss något eget arbetssätt i gruppen. Eleverna läste Ma A i åk 9 och började med Ma B som första kurs på gymnasiet. För att eleverna inte skulle tycka att jag undervisade annorlunda då vi började med avsnittet om linjära ekvationssystem beslöt jag mig för att försöka undervisa kinesiskt redan från början av B-kursen. Med detta menar jag att jag nästan helt har övergett den tysta räkningen under lektionstid. Eleverna har alla fått samma uppgift att arbeta med, ensamma eller tillsammans i grupp. Efter ett tag har vi diskuterat lösningarna av uppgiften för att därefter gå vidare till nästa uppgift. Min uppläggning har varit att börja med algebra, andragradsekvationer och räta linjen innan vi började med linjära ekvationssystem. Inför varje nytt avsnitt har vi tillsammans ritat upp ett diagram över vad man bör kunna före och efter det aktuella avsnittet. Efter att ha diskuterat målsättningen med avsnittet var det dags att introducera linjära ekvationssystem med två obekanta. Jag passade på att tala om att när man studerar matematik efter gymnasiet så är den första kursen på universitet eller högskola ofta linjär algebra Nämnaren nr 2 2009 25

som lite förenklat kan sägas vara läran om linjära ekvationssystem, men att man då har fler än två ekvationer och fler än två obekanta. Jag berättade också lite om den stora användningen av linjär algebra, naturligtvis inom matematiken, men även inom naturvetenskap, datorgrafik och samhällsvetenskap. En stor och avgörande skillnad i min undervisning är att jag nästan helt slutat med den tysta räkningen i klassrummet eftersom jag tror att det är här många av missuppfattningarna skapas. Många saker är inte så lätta att upptäcka på egen hand och om eleverna då lämnas åt sig själva efter en kort introduktion så skapar varje elev sin egen förståelse utifrån uppgifternas konstruktion. Istället har jag använt många varierade och genomtänkta exempel för att på förhand försöka förhindra att eleverna får felaktiga föreställningar. Genom att problematisera det som vi, efter många års studier och undervisning, tycker är självklart kan vi hjälpa elever att undvika en del vanliga missförstånd. En lektion om linjära ekvationssystem För att du som läsare ska kunna ta till dig det här vill jag bli konkret och göra en djupdykning i hur en lektion kan te sig. Jag har valt att visa hur vi arbetade med vad som karakteriserar ett linjärt ekvationssystem och vad som menas med lösningen till ett sådant system eftersom detta bara tas upp mycket översiktligt i de svenska läroböckerna. Detta har jag gjort genom att beskriva hur jag i praktiken genomförde en av lektionerna på ungefär samma sätt som finns beskrivet i Johan Häggströms avhandling (s 140 152). En lärare i Shanghai genomförde lektionen med 50 elever i åttonde årskursen på 40 minuter. Jag genomförde min lektion med 21 elever i årskurs 1 på gymnasiet och behövde 80 minuter. Mina elever har läst algebra, andragradsekvationer och räta linjen tidigare under terminen. Inför den här lektionen har de haft i läxa att läsa den inledande sidan i läroboken (Optima matematik B) om linjära ekvationssystem. Jag började med att dela ut följande fem frågor till eleverna. 1. Är det här linjära ekvationer med två obekanta? a) y = 3x 2 5 b) 2 y + 2x = 3 2. Hur många lösningar har ekvationen 2x + y = 10? 3. x + 3y = 4. Vad är y om x = 2? 4. Vad är a i ekvationen 2x + ay = 10 om x = -4 och y = -5? 5. Vi har två ekvationer 1) 2x + y = 10 och 2) x + 3y = 4. Vilket talpar löser vilken ekvation? a) x = 1, y = 4 b) x = 0, y = 10 c) x = 1, y = - 5 3 d) x = -1, y = 12 Eleverna fick reda på att de skulle arbeta två och två under några minuter. Under tiden som de diskuterade gick jag runt i klassrummet och försökte komma underfund med i vilken grad de kunde lösa uppgifterna. Jag förstod snart att uppgifterna 1a och 3 var ganska självklara men att 1b vållade mycket diskussion. Uppgift 2, 4 och 5 verkade också gå bra efter lite funderande. När 26 Nämnaren nr 2 2009

jag uppfattade att eleverna hade tänkt färdigt tog vi en gemensam diskussion i hela klassen. Genom att ställa frågor som eleverna måste ta ställning till, sätter man begreppen i fokus och man uppnår också en mycket högre grad av aktivitet än när eleverna bara sitter och lyssnar. Fråga 1 är betydligt svårare att svara på än om man ber eleverna ge ett exempel på ett linjärt samband eftersom de här måste motivera varför det inte är ett linjärt samband. Flera elever trodde att 2 y + 2x = 3 var ett linjärt samband eftersom x är av första graden. Redan på det här stadiet diskuterade vi begreppen parameter, lösning och substitution. Eftersom eleverna nu aktivt hade funderat ett slag gick det bra att ställa relevanta följdfrågor som: Finns det alltid oändligt många lösningar till linjära ekvationer? Gäller detta även ekvationerna i fråga 1? I fråga 5 var a-alternativet inte lösning till någon av ekvationerna. Skulle det kunna finnas något talpar som var en lösning till båda ekvationerna? Sedan var det dags för nästa uppsättning frågor. Jag skrev upp frågorna 1 och 2 på tavlan och bad varje elev att försöka formulera ett svar. När jag hade lyssnat till elevernas förslag hade vi en kort diskussion. Därefter bad jag en elev att gå fram till tavlan och skriva upp den formulering som vi hade enats om. Sedan fick eleverna vända sig om så att de satt fyra och fyra. Dels för att få lite variation men dels också för att det fanns ganska mycket att diskutera i uppgift 3. Jag uppmanade varje grupp att försöka enas om ett svar. 1. Vad menas med ett ekvationssystem? 2. Hur kan du veta om ett ekvationssystem med två obekanta är linjärt eller inte? 3. Vilka av nedanstående ekvationssystem är linjära med två obekanta? { { x = 1 x y = 1 d) 2 + y 2 = 0 x = y { { x + y = 3 (x + y) 2 a) x y = 1 b) = 1 x y = 0 c) { { xy = 2 x + 1 e) x = 1 f) y = 1 y = 2 g) u = v = 0 h) { x + y = 4 x m = 1 Nu uppstod en frenetisk diskussion under några minuter. Efteråt bad jag en representant från varje grupp gå fram till tavlan och skriva upp gruppens svar. Det ledde till fem svarsalternativ på tavlan. Det enda alla grupperna var överens om var att a) var ett linjärt ekvationssystem med två obekanta. Att svaren inte var lika fick eleverna att lyssna lite extra när jag gick igenom varje ekvationssystem för sig. De ville ju veta var de hade tänkt fel och även vem som hade klarat sig bäst. Min uppläggning var att först be någon elev att förklara hur de hade tänkt i gruppen och sedan kunde jag befästa eller vederlägga deras motivering. Den kinesiske lärare som har tagit fram dessa åtta exempel har en mycket god insikt i vilka fallgropar som eleverna brukar ramla. Genom att gå igenom exemplen i detalj kan man förhoppningsvis öka elevernas förståelse genom att visa vilka olika variationer som kan finnas. Efter denna noggranna inledning var det dags att gå tillbaka till begreppet lösning till ett ekvationssystem. Eleverna hade ju fått i läxa att läsa första sidan i läroboken där det redan på första raden står att lösa ett linjärt ekvationssystem innebär att ta reda på de värden på x och y för vilka båda ekvationerna är uppfyllda (Optima matematik B). Eleverna hade också sett på första bilden att Nämnaren nr 2 2009 27

det gällde att hitta skärningspunkten mellan linjerna. Därför valde jag att diskutera följande fyra punkter tillsammans med eleverna i helklass. Jag skrev upp punkterna efter hand som vi diskuterade dem. 1. Vad menas med en lösning till ett ekvationssystem? { x + y = 35 2. Varför är x = 23, y = 12 en lösning till ekvationssystemet 2x + 4y = 94? 3. Är lösningen till ekvationen 5x 3y = 3 densamma som lösningen till { 5x 3y = 3 x + 2y = 11? 4. Hur är det med omvändningen? Är lösningen till ekvationssystemet densamma som lösningen till ekvationen? Jag tycker att det är mycket viktigt att eleverna får prata matematik. Därför tycker jag att eleverna när de svarar på uppgift 2 ska säga högt någonting i stil med det är en lösning därför att 23 plus 12 är 35 och att 2 gånger 23 är 46 och 4 gånger 12 är 48, 46 plus 48 är 96. Det är också viktigt att vända och vrida på frågeställningarna som i fråga 3 och 4. Nu är det dags för nya utmaningar. Här tog vi ett exempel åt gången på tavlan och jag lät eleverna tänka själva en liten stund innan vi diskuterade svaret. Nyckelorden är variation, variation och variation, allt för att eleverna ska bli så förtrogna med begreppen som möjligt. { 3x 2y = 2 1. Vilken är lösningen till ekvationssystemet x 6y = 2? a) x = 1, y = 1 6 b) x = 1, y = 1 2 c) x = 1, y = 1 2 d) x = 1 2, y = 1 4 2. Vilka av nedanstående ekvationssystem har lösningen x = 2, y = 3? { { 2x + y = 1 x a) b) 2 + y 3 = 2 3x y = 3 x y = 5 { x c) 3 y 2 = { 13 6 3x + 2y = 0 x 2 y 3 = 2 d) 2x + 3y = 0 I de två första frågorna finns olika varianter med samma matematiska innehåll. Här präntas in att för att vara en lösning till ekvationssystemet måste det vara en lösning till båda ekvationerna. 3. Vilka värden har talen a och b om lösningen till följande ekvationssystem är x = 2, y = 1 2? { 3ax 2y = 5 5x + 4by = 6 a) a = 1, b = 8 b) a = 1, b = 8 c) a = 1, b = 8 d) a = 1, b = 8 28 Nämnaren nr 2 2009

Här kommer parameterbegreppet in för andra gången under lektionen. Notera att eleverna under alla de här övningarna även får ganska mycket övning i huvudräkning på köpet. { x y = 5 4. Vilken är lösningen till ekvationssystemet 3x 4y = 1? a) Det finns ingen lösning. b) Det finns oändligt många lösningar. c) x = 2, y = 3 d) x = 19, y = 14 Reflektioner Jag skrev i början av artikeln att det varit ett medvetet val att försöka undervisa kinesiskt redan från början av B-kursen för att eleverna inte skulle tycka att jag undervisade annorlunda då vi började med avsnittet om linjära ekvationssystem. Detta var nog klokt eftersom det har vållat en del problem och protester från elevernas sida att arbeta på det här sättet. Eleverna har ju 9 års vana att arbeta enligt modellen genomgång ibland, enskilt arbete i boken, diagnos eller prov. Detta osynliga pedagogiska kontrakt är inte helt lätt att bryta. Jag inledde kursen med en ganska så gedigen träning i grundläggande algebra utan lärobok. Jag producerade eget material som var mer omfattande än motsvarande avsnitt i boken men framförallt var uppgifterna i början enklare och uppgifterna i slutet mer komplicerade. Det gick bra i början, men efter ett tag började vissa elever undra när de skulle få boken och om vi inte skulle ha vanlig undervisning. När elevernas frågor återkom kompromissade jag på så sätt att jag delade ut boken och sade till eleverna att det var OK att räkna motsvarande avsnitt i boken för dem som så önskade. Jag fortsatte dock att undervisa på samma sätt. Detta innebar att i stort sett hela lektionstiden genomfördes tillsammans ungefär på det sätt som jag har beskrivit. Den tysta räkningen består numera bara av den tid som eleverna får när de funderar över de givna exemplen samt den tid de använder hemma. Vi bestämde vid terminsstarten att en halvtimme om dagen var en lämplig tid att ägna åt matematik hemma. Mitt utdelade material är anpassat efter detta. Efter ungefär halva terminen lät jag eleverna göra en utvärdering av undervisningen. De var övervägande positiva. Mest positiva var flickorna som sade att de förstod mycket fortare och bättre. De tyckte också att lektionerna var mycket mer intressanta och mycket mindre förutsägbara. Den enformiga lunken, genomgång, enskilt, diagnos eller prov var bruten. En riktigt härlig kommentar kom från Filippa, som förra läsåret läste på samhällsprogrammet och som således har läst halva B-kursen förut. Hon sade att den stora skillnaden nu jämfört med förra året var att de nu fick matematiken förklarad, men förra året bara räknade vi utan att veta vad vi gjorde. Mest negativa var några pojkar som inte orkade hålla koncentrationen uppe under en hel matematiklektion. Nu har klassen genomfört nationellt prov i matematik B. Jag väljer här att endast titta på de två uppgifter som handlar om linjära ekvationssystem. Den första uppgiften är en textuppgift där det är tänkt att eleverna utifrån texten ska teckna ett linjärt ekvationssystem och sedan lösa detta. Uppgiften är ganska enkel och ger 3 G-poäng. Eleven får 1 p för att teckna en av ekvationerna och 1-2 p för att fullfölja uppgiften med en godtagbar lösning. Alla eleverna lyckas lösa uppgiften fullständigt och får följaktligen 3 p. Nämnaren nr 2 2009 29

Den andra uppgiften kan ge 2 VG-poäng och ger möjlighet till att visa 3 MVGkvaliteter. I uppgiften finns ett linjärt ekvationssystem där en av ekvationerna har kända k- och m-värden medan den andra ekvationen har okända värden på k och m. Eleverna ska förklara hur värdet på k och värdet på m påverkar antalet lösningar till ekvationssystemet. En fullständig lösning av uppgiften tar upp tre möjliga fall. Eleverna får 1 VG-poäng för beskrivning av 1 fall och ytterligare en poäng om de beskriver minst 2 fall. MVG-kvaliteterna får eleverna om de beskriver alla tre fall på ett generellt sätt, motiverar minst två av fallen och redovisar välstrukturerat och tydligt med ett i huvudsak korrekt matematiskt språk. Resultatet ser du i tabellen nedan. Poäng 0 1 2 2 + 1 MVG 2 + 2 MVG 2 + 3 MVG Antal elever 4 3 1 1 3 9 Jag är väl medveten om att detta är ett alldeles för litet material för att dra några säkra slutsatser om effekten av den nya undervisningen. Som lärare tycker jag också att det här sättet att arbeta är både roligare och mycket mer tillfredsställande. Eftersom vi diskuterar så mycket med varandra upptäcker jag elevernas luckor mycket tidigare och jag kan på ett helt annat sätt korrigera missuppfattningar på ett tidigt stadium. Jag tycker att eleverna har fått en djupare förståelse och det verkar också som om de tycker att matematiklektionerna är intressantare än vanligt. Litteratur Arbetslivsinstitutet Syd (2002). Hinder och möjligheter för lärare i dagens skola. www.ufn.gu.se/digitalassets/987/987037_hinder_rapport_020601.pdf Axelsson, R. m fl (2001). Optima matematik B. Malmö: Liber-Hermods. Enkvist, I. (2000). Feltänkt. Stockholm: SNS förlag. Fjelkner, M. DN debatt, 13 maj 2008, www.dn.se/dnet/jsp/polopoly. jsp?d=572&a=769208 Husén, T. (2002). Bokslut essäer om utbildning. Stockholm: Carlssons förlag. Häggström, J. (2008). Teaching systems of linear equations in Sweden and China: What is made possible to learn? Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Larsson, H. (2002). Skola eller kommunal ungdomsomsorg? Stockholm: SNS förlag. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics: teachers understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates. Skolverkets pressmeddelande om elevers försämrade prestationer, 13 december 2004, www.skolverket.se/sb/d/203/a/305 Skolverket (2000). Barnomsorg och skola. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2003). Lusten att lära med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket. Sveriges radio. Ett tiotal lärarutbildningar får underkänt. 8 april 2008, www.sr.se/cgi-bin/ekot/artikel.asp?artikel=1998066 TIMSS 2007: En dyster bild. ncm.gu.se/node/3224 30 Nämnaren nr 2 2009