Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du inte kan svara på någon av de här frågorna bör Du gå tillbaka till motsvarande avsnitt i läroboken. Att fråga din lärare kan också vara en möjlighet. Frågorna utgör inte en förteckning över tänkbara tentamensfrågor. Däremot ger de givetvis anvisning om vilken typ av frågor som kan förekomma. Kapitel 2. Komplex differentialkalkyl 1. Vad menas med att en funktion är a) komplext deriverbar, b) analytisk, c) hel analytisk? 2. Vad menas med en harmonisk funktion på R 2? 3. Hur kan man med hjälp av real- och imaginärdelen avgöra om en funktion är komplext deriverbar? 4. Visa att real- och imaginärdelen av en analytisk funktion uppfyller Cauchy-Riemanns differentialekvationer. 5. Visa att om f = u + iv är analytisk i ett område Ω så är u och v harmoniska i Ω. 6. Vad menas med att en avbildning är konform? Kapitel 3. Komplexa elementära funktioner 7. Definiera den komplexa exponentialfunktionen e z. Uttryck dess belopp och argument med hjälp av Re z och Im z. 8. Bevisa att e z är en analytisk funktion och härled formeln för dess derivata. 9. Härled den allmänna lösningen w till ekvationen e w = z. 10. Hur definieras den komplexa logaritmfunktionen? Vad menas med en gren av logaritmfunktionen? Härled derivatan. Gäller logaritmlagarna? Ge motexempel. 11. Hur definieras de komplexa potens- och exponentialfunktionerna? Derivata? Gäller potenslagarna? 12. Definiera de komplexa trigonometriska funktionerna sin z, cos z, tan z, cot z. Härled formler för derivatorna. 1
Kapitel 4. Följder och summor. 13. Vad menas med en a) geometrisk, b) aritmetisk talföljd? Ange formler för elementen samt den rekursiva definitionen. 14. Härled formler för geometrisk och aritmetisk summa. 15. Hur gör man för att uppskatta summor med integraler? Rita figurer Kapitel 5. Rekursionsekvationer 16. Hur finner man den allmänna lösningen till en homogen lineär rekursionsekvation med konstanta koefficienter av ordning 1 eller 2? 17. Ge några exempel på lämpliga ansatser för att finna en partikulärlösning till en inhomogen lineär rekursionsekvation med konstanta koefficienter. Kapitel 6. Numeriska serier 18. Vad kan man säga om konvergensen av en serie om man bara vet att dess termer har gränsvärdet noll? 19. Vad kan man säga om konvergensen av en serie om man bara vet att dess termer inte har gränsvärdet noll? 20. Utred (med bevis) konvergens och divergens av den geometriska serien. Ge formeln för dess summa, och även för resttermen. 21. Skriv upp och bevisa jämförelsekriteriet för positiva serier, såväl i versionen med olikheter som i versionen med gränsvärde. 22. Skriv upp Cauchys integralkriterium och ange med figur dess geometriska tolkning. Vilken uppskattning av restermen fås i detta fall. 23. Ange de enklaste standardserierna som kan behandlas med integralkriteriet. 24. Vad menas med absolut konvergens? Visa att en absolutkonvergent serie är konvergent. 25. Ge några exempel på serier som är konvergenta utan att vara absolutkonvergenta. 26. Formulera och bevisa Leibniz konvergenskriterium. Vilken uppskattning av restermen får man i detta fall. 27. Formulera Cauchys rotkriterium och d Alemberts kvotkriterium för serier där termerna kan vara komplexa. Ge bevis. 28. Vilka metoder finns det för uppskattning av resttermen? 2
Kapitel 7. Fourierserier 29. Definiera Fourierkoefficienterna c k (f) till en T -periodisk funktion f. Vilken speciell tolkning har koefficienten c 0 (f)? 30. Härled sambandet mellan de exponentiella koefficienterna c k (f) och de trigonometriska koefficienterna a k (f) och b k (f). 31. Ange tillräckliga villkor på en funktion f för att dess Fourierserie skall konvergera i en punkt t 0 med summan f(t 0 ). 32. Konvergerar den trigonometriska Fourierserien för styckvis glatta funktioner i diskontinuitetspunkterna? Om ja, vad blir summan? 33. Skriv upp och härled Parsevals formel. 34. Vad kan sägas om de trigonometriska Fourierkoefficienterna för jämna respektive udda funktioner? 35. En funktion är given på intervallet 0 < t < L. Beskriv hur denna funktion kan utvecklas i en sinusserie i detta intervall. Vilken blir seriens summa utanför det givna intervallet? Rita figur. Beskriv på motsvarande sätt hur funktionen kan utvecklas i cosinusserie. Kapitel 8. Komplex integralkalkyl 36. Hur definieras integralen f(z) dz av en komplex funktion f längs en kurva γ i det komplexa planet? 37. Beräkna värdet av integralen 1 dz, där n är ett heltal och σ den positivt orien- zn terade enhetscirkeln. γ σ 38. Hur kan man uppskatta beloppet av en komplex integral, om man känner integrationsvägens längd och har en uppskattning av integrandens absolutbelopp? 39. Formulera och bevisa Cauchys integralsats. 40. Formulera och bevisa insättningsformeln för komplexa kurvintegraler. 41. Skriv upp Cauchys integralformel med förklaring av beteckningarna och angivande av förutsättningarna. Bevis? Kapitel 9. Potensserier 42. Vad menas med en potensserie? 43. Formulera och bevisa huvudsatsen om potensserier (om existens av konvergensradie). 44. Vilka formler för konvergensradien erhålls ur rot- respektive kvotkriteriet? Hur? Kan dessa formler användas för alla potensserier? 3
45. En funktion är given som summan av en potensserie. Vad kan säges om funktionens derivata, och vad kan sägas om primitiv funktion? 46. Förklara varför summan av en potensserie med positiv konvergensradie är en analytisk funktion inuti konvergenscirkeln. 47. Formulera och bevisa satsen att en analytisk funktion kan utvecklas i potensserie. Vad kan man säga om dennas konvergensradie? 48. För koefficienterna i en potensserie finns två olika formler, en som innehåller derivator och en som innehåller integraler. Skriv upp dessa. 49. Skriv upp Taylorserien för en analytisk funktion. 50. Formulera identitetssatsen för analytiska funktioner. Vad kan den användas till praktiskt? 51. Beskriv en metod att lösa differentialekvationer med hjälp av potensserier. Kapitel 10. Residysatsen 52. a) Vad menas med en isolerad singularitet till en analytisk funktion f? b) Förklara begreppen pol och väsentlig singularitet. Vad är skillnaden? 53. Definiera residy. Skriv upp residysatsen. Ge exempel på någon användning av den. 54. Skriv upp och härled de viktigaste reglerna för beräkning av residyer i poler. 55. Hur går man till väga för att beräkna (a) integraler av rationella funktioner över hela R? (b) Fourierintegraler för rationella funktioner? (Här är det viktigt att skilja på positiva och negativa frekvenser. Varför och hur?) (c) vissa trigonometriska integraler över en hel period? (d) vissa integraler innehållande en potensfunktion? Appendix A. Funktionsföljder och -serier 56. Betrakta en följd (f n (x)) n=1 av kontinuerliga funktioner. Antag att gränsfunktionen f(x) existerar då a < x < b. Ange förutsättningar som garanterar att a) f är kontinuerlig b b) lim f n (x) dx = n a b a f(x) dx. Behandla även fallet då intervallet är obegränsat. 57. Ange förutsättningar som garanterar att summan av en konvergent funktionsserie a) är kontinuerlig, b) får integreras en termvis, c) får deriveras en termvis. 4
58. Hur kan man visa att en serie är likformigt konvergent i ett intervall I. 59. Fourierkoefficienterna till en periodisk funktion är av storleksordningen 1/k 2. Visa att funktionen är kontinuerlig. 60. Vad kan man säga om en periodisk funktion, vars Fourierkoefficienter är av storleksordningen 1/k 3? Bevisa ditt påstående. 5