Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Uppgift (p) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z) + y + z = x + y = x y + z = Uppgift (p) Beräkna arean av en triangel med hörn i punkterna A = (,, ), B = (,, ) och C = (, 5, ) Uppgift (p) Lös följande ekvation (med avseende på x) ( x + ) 4 x = x Var god vänd
Uppgift 4 (5p) a) (p) Bestäm en ekvation för planet genom punkten A = (,, ) som är parallell med vektorerna p = (,, ) och q = (,,) Ange planets ekvation på formen ax + by + cz + d = n= p q= (,, 6) x y + 6z + d =, insättning av punkten A ger d = 5 Svar: Planets ekvation: x y+ 6z 5= Rättningsmall: Rätt eller fel b) (p) Bestäm den punkt i planet med ekvationen x + y + z = 4 som har kortast avstånd till punkten B = (4,5,4) Linjen L genom B vinkelrät mot planet skär planet i punkten som ligger närmast B Linjen L har ekvationen ( x, y, z) = (4,5,4) + t(,,) som ger tre skalära ekvationer: x = 4 + t, y = 5 + t och z = 4 + t För att bestämma skärningspunkten mellan linjen och planet, substituerar vi linjens skalära ekvationer i planets ekvation x + y + z = 4 och får 4 + t + (5 + t) + (4 + t) = 4 Härav t + 4t + 4t = 8, och t = Skärningspunkten har följande koordinater x = 4 + t =, y = 5 4 = och z = 4 4 = Svar: (,, ) Rättningsmall: Korrekt ekvation för linjen L ger p Allt korrekt =p c) (p) Den räta linjen L går genom punkterna P = (,, ) och Q = (,,) Linjen L går genom punkterna R = (,,6) och S = (,,5 ) Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjerna L och L Linjernas ekvationer på parameterform: r = PQ = (,, ) och r = RS = (,, ) = + t x = t L: y = + t, L : y = t z = z = 6 t
x = x + t = t y = y + t = t z = z = 6 t t = 4 som ger t = skärningspunkt : (4, 4, ) Svar: (4,4,) Rättningsmall: Rätta parametrar ger p Allt rätt =p Uppgift 5 (4p) a) (p) Lös matrisekvationen A X + BX = C (med avseende på X) där A =, B =, C = 5 b) (p) Bestäm matrisen Y om Y = 5 AX + BX = C ( A+ BX ) = C A B A B X A B C ( + ) ( + ) = ( + ) EX A B C X A B C = ( + ) = ( + ) A+ B=, ( ), A+ B = X = = = Rättningsmall: Korrekt inversen Allt korrekt ger p ( A + B ) = ger p 5 b) (p) Bestäm matrisen Y om Y = 5 Notera att matrisen saknar invers + y = () y y 5 y + y = 5 () y y = 5 y y = y = y y y = 5 y = 5 y y Insättning av y och y i () och () ger:
y + y = 5 y + y = 5 som alltid gäller y = t och y = s där t och s är godtyckliga reella parametrar y y t 5 s y y = t s Rättningsmall: Korrekt till systemet Allt korrekt =p y y + y = + y = 5 y y = y y = 5 ger p Uppgift 6 (p) En konstant kraft på N, som är parallell med vektorn v = (,, ), förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A = (,, ) till punkten B = (,, 5) och därefter från punkten B till punkten C = (4, 4,) Beräkna det totala utförda arbetet Uppgift 7 (p) Bestäm spegelbilden av punkten P = (, 6, ) i linjen ( x, y, z) = ( t,+ t, t) Uppgift 8 (p) Följande ekvationssystem är givet x + y + z = x + y + z = x + y + az = För vilket vilka värden på a har systemet i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning? Uppgift 9 (p) Låt ABC vara en triangel Vi betecknar med A, B, C mittpunkter på BC, AC och AB Låt vidare T vara skärningspunkten mellan sträckorna AA och BB Bevisa att AT = AT (Anmärkning: En sammanbindningssträcka mellan triangelns hörn och motstående sidas mittpunkt kallas median Skärningspunkten mellan medianer kallas triangelns tyngdpunkt Du ska faktiskt bevisa att tyngdpunkten delar medianen i förhalandet : ) Lycka till!
FACIT Uppgift (p) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z) + y + z = x + y = x y + z = + y + z = + y + z = + y + z = x + y = y + z = y + z = x y + z = 4y 4z = = Oändlig många lösningar z = t, y = t, x = t Svar: Oändlig många lösningar z = t, y = t, x = t, (t varierar fritt) Rättningsmall: Korrekt till + y + z = y + z = = ger p Allt korrekt=p Uppgift (p) Beräkna arean av en triangel med hörn i punkterna A = (,, ), B = (,, ) och C = (, 5, ) AB = (,, ), AC = (,,) A = AB AC i j k AB AC == = i j + 6k A = 9 + 6 = 5 ae Svar: A == 5 ae Rättningsmall: Korrekt AB AC ger p Allt korrekt=p Uppgift (p) Lös följande ekvation (med avseende på x) ( x + ) 4 x = x x + ) ( 4 x = x x( x + ) 4 = x x Härav (med pq-formeln) x = och x = + x =
Svar: x = och x = Rättningsmall: Korrekt till x ( x + ) 4 = x ger p Allt korrekt=p Uppgift 4 (5p) a) (p) Bestäm en ekvation för planet genom punkten A = (,, ) som är parallell med vektorerna p = (,, ) och q = (,,) Ange planets ekvation på formen ax + by + cz + d = b) (p) Bestäm den punkt i planet med ekvationen x + y + z = 4 som har kortast avstånd till punkten B = (4,5,4) c) (p) Den räta linjen L går genom punkterna P = (,, ) och Q = (,,) Linjen L går genom punkterna R = (,,6) och S = (,,5 ) Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjerna L och L Uppgift 5 (4p) a) (p) Lös matrisekvationen A X + BX = C (med avseende på X) där A =, B =, C = 5 b) (p) Bestäm matrisen Y om Y = 5 Uppgift 6 (p) En konstant kraft på N, som är parallell med vektorn v = (,, ), förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A = (,, ) till punkten B = (,, 5) och därefter från punkten B till punkten C = (4, 4,) Beräkna det totala utförda arbetet En konstant kraft på N, som är parallell med vektorn v = (,, ), förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A = (,, ) till punkten B = (,, 5) och därefter från punkten B till punkten C = (4, 4,) Beräkna det totala utförda arbetet v (,, ) Kraften: F = = = 4(,, ) = (4, 8, 8) v Arbetet: W = FAB + FBC = (4, 8, 8) (,, ) + (4, 8, 8) (,, 6) = + 4 = 6 J Rättningsmall: Korrekt (,, ) F = ger p Allt korrekt=p
Uppgift 7 (p) Bestäm spegelbilden av punkten P = (, 6, ) i linjen ( x, y, z) = ( t,+ t, t) Metod Låt O=(,,) Beteckna med S den sökta spegelbilden av punkten P Låt Q vara den punkt på linjen L som ligger närmast punkten P Då är Q mittpunkten av sträckan PS (se figuren nedan) P L Q S O Först bestämmer vi punkten Q Planet Π som går genom punkten P = (, 6, ) vinkelrät mot linjen L skär linjen i punkten Q Linjens riktningsvektor r = (,, ) kan användas som planets normalvektor Planets ekvation är ( x ) + ( y 6) ( z + ) = eller x + y z 8 = För att få Q löser vi systemet = t y = + t z = t x + y z 8 = som ger t=, x=, y=5 och z= 4 Därmed är Q = (,5, 4) Nu kan vi bestämma vektorn PQ = ( ) och därmed QS PQ = ( ) Slutligen OS = OQ+ QS = (,5, 4) + ( ) = (,4, 5) och därmed S = (,4, 5) = Svar: S = (,4, 5) Rättningsmall: Korrekt punkten Q = (,5, 4) ger p Allt korrekt=p Metod (Projektion) En punkt i linjen P = (,, ) Linjens riktningsvektor är r = (,, )
P L P Q S O Projektionen av vektor u= PP = (, 5, ) på linjen är ur + + 6 u = PQ = r = (,, ) = (,, ) = (,4, 4) r 9 Eftersom PP = PQ + QP har vi QP = PP PQ eller, QP = (, 5, ) (, 4, 4) = (,, ) Spegelpunkten S uppfyller OS = OP + PS = OP QP = (, 6, ) (,, ) = OS = (, 6, ) (,, ) = (, 4, 5) och därmed S = (,4, 5) Rättningsmall: Rätt bestämning av vektorn QP = (,,)ger p Allt korrekt=p Uppgift 8 (p) Följande ekvationssystem är givet x + y + z = x + y + z = x + y + az = För vilket vilka värden på a har systemet i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning? det(a)= = a 4 a Om a 4 har systemet exakt en lösning Om a = 4 har vi systemet x + y + z = + y + z = + y + z = x + y + z = y = y = x + y + 4z = y = 5 = Därmed har systemet ingen lösning om a = 4 Fallet oändlig många lösningar kan inte förekomma i denna uppgift Svar: i) Fallet oändligt många lösningar förekommer inte ii) exakt en lösning om a 4 iii) ingen lösning om a = 4
Rättningsmall: poäng för varje del: i, ii och iii Uppgift 9 (p) Låt ABC vara en triangel Vi betecknar med A, B, C mittpunkter på BC, AC och AB Låt vidare T vara skärningspunkten mellan sträckorna AA och BB Bevisa att AT = AT (Anmärkning: En sammanbindningssträcka mellan triangelns hörn och motstående sidas mittpunkt kallas median Skärningspunkten mellan medianer kallas triangelns tyngdpunkt Du ska faktiskt bevisa att tyngdpunkten delar medianen i förhalandet : ) C B T A A C B a) Vi söker talet x så att och talet y så att BT = y BB Vidare betecknar vi a = AB och b på två olika sätt: = x AA AT och b = AC och uttrycker AT som en linjär kombination av a x x i) AT = x AA x( AB BA ) = + = x( a + ( b a)) = a + b (*) Andra sätt att beräkna vektorn AT : Vi går genom punkten B ii) AT = AB+ BT = AB+ y BB = a + y( BA+ AB ) = a + y( a + b) = ( y) a Från (* ) och (**) har vi x x y a + b = ( y) a + b eller ( om vi skriver a, b på var sin sida) + y b (**) x y x ( + y ) a = ( ) b (***) Eftersom a, b är icke parallella vektorer är (***) möjlig endast om följande två villkor är uppfyllda x + y = och y x = Från y x = har vi x = y x som vi substituerar i + y = och får
x x + x = = x = Därför y = x = AT = x AA = AA och = y BB = BB Alltså, vi har fått BT Därmed / delar av medianen AA ligger mellan hörnet A och T och / mellan T och sidans mittpunkten A Alltså T delar AA i förhållandet : Rättningsmall p för korrekt bevis med dålig förklaring p om beviset är korrekt (med bra förklaring)