Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt med Mathematica Kunna lösa olikheter med en obekant för hand Kunna lösa ekvationer med absolutbelopp för hand 4 Kunna lösa olikheter med absolutbelopp för hand 5 Kunna lösa punkterna 4 med hjälp av Mathematica 6 Kunna plotta grafer, med Mathematica, som åskådliggör punkterna 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att gå igenom under föreläsningen. Något av innehållet kan ses som komplement till boken. Talmängder Naturliga tal kallas de tal som tillhör mängden Heltal kallas de tal som tillhör mängden N = {0,1,,,...} Z = {...,, 1,0,1,,...} Rationella tal kallas de tal som tillhör mängden { a } Q = b : a,b Z Reella tal kallas de tal som kan uttryckas med hjälp av ändligt eller oändligt många decimaler! Mängden av reella tal betecknas med R Irrationella tal kallas de tal som är reella men ej rationella. Komplexa tal kallas de tal som tillhör mängden C = {a+bi : a,b R} Håkan Strömberg 1 KTH Syd

Påståenden: N Z, mängden N är en delmängd av mängden Z. Z innehåller ju förutom alla positiva heltal också de negativa heltalen som inte finns i N. Z Q. Eftersom bland annat 7 1 som rationella sätt. och 1 är rationella tal förstår vi att heltal kan skrivas Q R. Till exempel talet kan inte skrivas som ett rationellt tal och alla tal i Q är reella. R C. Så fort man väljer b = 0 har man ett reellt tal! De komplexa talen kommer vi till senare. Intervall {x : a x b,x R} Uttrycket ovan betecknar en mängd, som kan ses som ett intervall på tallinjen. Så här uttalar man det: Mängden av reella tal x, sådana att x är större än eller lika med a och samtidigt mindre än eller lika med b Tecknen { och } vittnar om att det gäller en mängd. Kolon : kan med fördel uttalas som sådana att. [4,10] = {x : 4 x 10,x R} Detta är ett slutet intervall. Slutet därför att gränserna ingår i mängden. (,4) = {x : < x < 10,x R} Detta är ett öppet intervall, därför att gränserna inte ingår i mängden M ovan. 10 M, men 9.9999999... M [,15) = {x : x < 15,x R} Detta är ett halvöppet (eller halvslutet). Det är en bra idé att använda runda parenteser då gränsen inte tillhör intervallet och hakparenteser då gränsen ingår i intervallet. [10,19) = {x : 10 x < 19,x N} Mängden består av talen 10, 11, 1, 1, 14, 15, 16, 17, 18, alltså ett heltalsintervall. Denna typ av intervall eller mängder är mindre vanliga i denna kurs. Håkan Strömberg KTH Syd

Andragradsekvationen Likheter och olikheter Den här formeln känner du förstås redan till, där vi har för avsikt att lösa polynomekvationen av andra graden x +px+q = 0 Diskriminanten kallas uttrycket rottecknet x 1, = p ± (p ) q ( p Dess värde avgör vilken typ av rötter vi får ) q p 4q 4 Diskriminanten Rötterna > 0 Två reella rötter = 0 Två lika reella rötter < 0 Komplexa rötter Eftersom vi just nu inte kan något om komplexa tal behöver du inte gå vidare då diskriminanten< 0. Det finns alternativa formler. Om man till exempel ska lösa en ekvation av utseendet ax +bx+c = 0, där a 1 kan det vara bra att direkt använda denna x 1, = b± b 4ac a Dessutom kan man använda kvadratkomplettering, men den metoden tar vi inte upp här. Exempel 1. Lös ekvationen 4x x 1 4 = 0 4x x 1 4 x x 4 1 16 x 1 = 1+ 5 8 = 0 = 0 x = 1 8 ± (1 8 x = 1 8 ± 1+4 64 x = 1 8 ± 5 8 x = 1 5 8 ) + 1 16 Håkan Strömberg KTH Syd

Olikheter Olikheter behandlas på i princip samma sätt som likheter (ekvationer), med det tillägget att multiplikation/division med negativt tal vänder olikheten! Exempel. Lös olikheten 5 x >, det vill säga för vilka x är olikheten sann?. Svar: Olikheten är sann så länge x < 1 5 x > x > ( 1) ( x) > ( 1) x < x < 1 Lite värre blir det om man har en rationell olikhet Exempel. Lös olikheten x x 1 Innan vi försöker lösa problemet ska vi titta på grafen till funktionen f(x) = x x 1 4-0.4-0. 0. 0.4 0.6 0.8 1 - -4 Grafen har två delar. Dessutom är linjen y = inritad. I x = 1 finns en vertikal asymtot. När x 1 från vänster går y. Vi kan avläsa i kurvan att olikheten är sann i det ungefärliga intervallet 0.5 < x < 0.7 Men hur löser man nu detta exakt? Starta med att samla allt på ena sidan och på ett bråkstreck x x 1 x x 1 0 x x 1 (x 1) x 1 x (4x ) x 1 x x 1 0 0 0 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

Olikheten gäller nu istället 0. Vi tar reda på för vilka värden täljare respektive nämnare är = 0 och gör sedan ett så kallat teckenstudium av olika intervall på x-axeln. x 1 x + + + 0 x 1 0 + + + x x 1 odef + 0 Från tabellen ser vi att uttrycket är 0 då 1 < x Exempel 4. Lös olikheten x x 6 < 0 1 Faktorisera polynomet Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 Andragradsekvationen har rötterna x 1 = och x = vilket leder fram till faktoriseringen (x )(x+) < 0. x < x = < x < x = x > x 0 + x+ 0 + + + (x )(x+) + 0 0 + Svar: < x < Exempel 5. Lös olikheten 4 x x+ 0 1 Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 x < x = < x < 4 x = 4 x > 4 4 x + + + 0 x+ 0 + + + 4 x x+ odef + 0 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

Svar: < x 4 Exempel 6. Lös olikheten x +x+1 x 1 < 0 1 Faktorisera täljaren Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 Vi ser att täljaren kan skrivas om som (x+1) (första kvadreringsregeln). Svar: x < 1 eller 1 < x < 1 x < 1 x = 1 1 < x < 1 x = 1 x > 1 x+1 0 + + + x+1 0 + + + x 1 0 + (x+1) x 1 0 odef + Exempel 7. Lös olikheten x x x +x 8 0 1 Faktorisera täljaren Faktorisera nämnaren Sortera nollställena i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen 1 Täljarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 1 och x = vilket leder fram till faktoriseringen (x+1)(x ). Nämnarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = och x = 4 vilket leder fram till faktoriseringen (x )(x+4). Vi kan nu skriva om olikheten (x+1)(x ) (x )(x+4) 0 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

x < 4 x = 4 4 < x < 1 x = 1 1 < x < x = < x < x = x > x+4 0 + + + + + + + x+1 0 + + + + + x 0 + + + x 0 + (x+1)(x ) (x )(x+4) + odef 0 + odef 0 + Svar: x < 4 eller 1 x < eller x (se grafen nedan) 10 8 6 4-4 - - -4-6 -8-10 4 Exempel 8. Lös olikheten x+1 x 1 Se till att högerledet blir 0 och att det vänstra ledet endast innehåller ett rationellt uttryck (bråk). Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 x+1 x ; x+1 x 0; x+1 x (x ) 0; x 10 x x 0 x < x = < x < 5 x = 5 x > 5 10 x + + + 0 x 0 + + + 10 x x odef + 0 Svar: < x 5 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

Absolutbelopp Följande definition har ni sett tidigare: { a om a 0 a = a om a < 0 Tolkning: a b är avståndet mellan punkterna a och b på tallinjen. Exempel 9. Lös olikheten Först en grafisk lösning x < 7 Avståndet mellan och x ska vara < 7. Vi kan direkt från figuren utläsa svaret 4 < x < 10 Vi kan även lösa uppgiften rent algebraiskt x < 7 7 < x < 7 4 < x < 10 Ekvationer med absolutbelopp Exempel 10. Lös ekvationen x+ = 5 1 Ta reda på x 1, där termen med absolutbeloppet är = 0. Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x 1 och en då x > x 1. Ersätt tecknet för absolutbelopp med en parentes. Sätt -tecken framför parentesen om så skall vara! Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i aktuellt intervall. 1 Då x = är x+ = 0., Vi får två ekvationer Då Ekvation Rot OK x < (x+) = 5 x = 8 Ja x x+ = 5 x = Ja Svar: x 1 = 8 och x = Håkan Strömberg 8 KTH Syd

Exempel 11. Lös ekvationen x 6 x = 4 1 Ta reda på x 1, för vilket x 6 = 0 Betrakta två intervall. Ett där x < x 1 och ett där x > x 1. Lös upp termen med absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer. Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 Då x = 6 är x 6 = 0 De två ekvationerna med gällande intervall Svar: x = 1 Exempel 1. Lös ekvationen Då Ekvation Rot OK x < 6 (x 6) x = 4 x = 1 x 6 (x 6) x = 4 x+1 4 x + x = 0 Ja ingen rot Nej 1 Ta reda på de x i för vilka var och en av de tre termerna = 0. Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln. Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. 1, De tre eftersökta x-värdena är x 1 = 1, x = och x = 4 Vi har nu att studera följande fyra intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer x < 1 1 x < x < 4 x 4 Då Ekvation Rot OK x < 1 (x+1) (4 x) (x ) = 0 x = 6 Ja 1 x < (x+1) (4 x) (x ) = 0 x = 4 Nej x < 4 (x+1) (4 x)+(x ) = 0 x = Ja x 4 (x+1)+(4 x)+(x ) = 0 x = 6 Nej Håkan Strömberg 9 KTH Syd

Svar: x 1 = 6 och x = (se grafen nedan) 15 10 5-10 -5 5 10-5 Exempel 1. Givet ett intervall x 1 < x < x, som vi vill uttrycka på formen x + a < b. uttryck a och b med hjälp av x 1 och x. Vi börjar bakifrån och översätter x +a < b till b < x +a < b, som i sin tur leder till b a < a < b a. Alltså är x 1 = b a och x = b a. Vi har nu ett ekvationssystem där vi ska lösa ut x 1 och x { x 1 = b a x = b a Ur den andra ekvationen får vi a = b x. Vi substituerar a med detta uttryck i första ekvationen och får x 1 = b (b x ). När vi löser ut b får vi Detta insatt i den andra ekvationen ger a b = x x 1 a = x +x 1 Använder vi formlerna på till exempel intervallet (8,16) får vi x 1 < 4. Olikheter med absolutbelopp Exempel 14. Lös olikheten x + x 4 < 8 1 Ta reda på x 1, för vilket x = 0 och det x för vilket x 4 = 0 Betrakta tre intervall. Ett där x < x 1, ett då x 1 x x och ett då x > x. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten gäller. Håkan Strömberg 10 KTH Syd

1 x 1 = och x = 4 Intervallen är x <, x 4 och x > 4. Då Olikhet Lösning Intervall x < (x ) (x 4) < 8 x > 1 1 < x < x < 4 (x ) (x 4) < 8 Alltid x < 4 x > 4 (x )+(x 4) < 8 x < 7 4 x < 7 För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och åter för en del av tredje. Sammantaget fås Svar: 1 < x < 7 Exempel 15. Lös olikheten x 4 + x < 5 x 1 Ta reda på de x i, för vilka termerna är = 0 Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 x 1 = 0, x = och x = 5 De fyra intervallen är x < 0 0 x < x < 5 x 5 Då Olikhet Lösning Intervall x < 0 (x 4) x < (5 x) x > 1 1 < x < 0 0 x < (x 4)+x < (5 x) Alltid 0 x < x < 5 (x 4)+x < (5 x) x < 9 4 x < 9 4 x 5 (x 4)+x < (5 x) x < 1 Inget x Svar: 1 < x < 9 4 Håkan Strömberg 11 KTH Syd

Här några extrauppgifter att lösa Extra 1. Lös ekvationen x 6 = 0. Svar: x 1 = 8,x = 4 Extra. Lös ekvationen x x 1 + x+1 = 11. Svar: x = Extra. Lös olikheten x < 4 x +. Svar: Saknar lösning Extra 4. Lös olikheten x+ x < x+1. Svar: x <,1 < x < Huvudräkning 1. Vet du med säkerhet hur dessa fyra relationsoperatorer uttalas och står för > < Huvudräkning. Vilka av dessa två uttryck är oftast minst? a) x + y b) x+y Huvudräkning. Vilket gradtal har denna ekvation och vilka är rötterna? Huvudräkning 4. Lös olikheten x < 0 (x )(x+) = 0 Huvudräkning 5. Vilket värde ska a ha för att ekvationen ska ha en dubbelrot? x +ax+1 = 0 Läxa 1. 1.7 a) Från {x : x 4 6} har vi att lösa x 4 6. Svar: [, 10] x 4 6 6 x 4 6 x 10 Läxa. 1.7 b) Från {x : x+ < } har vi att lösa x+ <. Svar: ( 5, 1) x+ < < x+ < 5 < x < 1 Läxa. 1.7 c) Från {x : x 1 7} har vi att lösa x 1 7. Svar: [, 4] x 1 7 7 x 1 7 6 x 8 x 4 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

Läxa 4. 1.7 d) Från {x : x 4 + < } har vi att lösa x 4 + <. Svar: ( 4, 0) x 4 + < < x 4 + < 6 < x 4 < 0 4 < x < 0 Läxa 5. 1.8 a) Använder vi formlerna från exempel 1 får vi direkt genom Svar: x 4 b = x x 1 b = 7 1 Läxa 6. 1.8 b) På samma sätt Svar: x+ 1 b = ( ) ( 4) a = x +x 1 = a = 7+1 = 4 = 1 a = ( )+( 4) Läxa 7. 1.8 c) b = 6 17 = 9 a = 17+6 Vi multiplicerar alla led med för att slippa nämnaren. Svar: x 4 < 9 Läxa 8. 1.8 d) b = 4 ( 1 ) = 5 8 = 4 = 4 a = +( 1 ) = 1 8 Vi multiplicerar alla led med 8 för att slippa nämnaren och får Svar: 8x 1 5 Läxa 9. 1.9 a) Anta att a = 0, b = 1, c = och d = 10. Då gäller a < b och c < d men a c < b d ger 0 1 10. Det räcker att hitta ett motexempel för att påvisa att påståendet är falskt. Läxa 10. 1.9 b) a < b ger 0 < b a och c < d ger 0 < d c. Från a d < b c får vi 0 < b a+d c. Eftersom b a > 0 och d c > 0, så måste summan av dessa alltid vara > 0. Påståendet är sant. Läxa 11. 1.9 c) Om vi startar med med a < b och multiplicerar vänstra ledet med c, högra med d och givet c < d, så kan man tycka att olikheten förstärks. Eller om d > 0 så får vi c a c d < 1 detta ger d < a < b. Detta är dock inget fullständigt bevis! Om a = och b = 1 så gäller att a < b. Om c = 5 och d = så gäller c < d. Men ac bd eftersom 10 4 och påståendet är alltså falskt. Läxa 1. 1.9 d) Så länge a,b > 0 kan vi multiplicera båda leden med ab och enkelt få a < b, vilket var givet. Men vad händer om till exempel a = 1 och b = 1? Också detta påstående är falskt. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

Läxa 1. 1.19 1 1 t 1 ( 1+t 1 (1 t)(1+t) 1 t 1 ) 1+t = 1 = (1 t)(1+t) (1+t) (1 t) = 1 t t = 1 t t +t 1 = 0 t = 1± 1+1 t 1, = 1± Läxa 14. 1.4 a) Om x > 0 får vi direkt x > 5 Om x < 0 får vi först x < 5. Men eftersom x < 0 så får vi i detta fall x < 0, som vi kombinerar till svaret x < 0 eller x > 5 Läxa 15. 1.4 b) Vi startar med att samla allt på en sida och på ett bråkstreck Svar: x < 1 eller x > 1 ( x) x <0 x 1 x <0 x < 1 x = 1 1 < x < x = x > x 1 0 + + + x + + + 0 x 1 x 0 + odef Läxa 16. 1.4 c) Vi startar med att samla allt på en sida och på ett bråkstreck Svar: x < 0 eller x > 1 Läxa 17. 1.4 d) x x 1 > x x 1 > 0 x < 0 x = 0 0 < x < 1 x = 1 x > 1 x 0 + + + x 1 + + + 0 x x 1 + 0 odef + x > 1 x+4 x 1 x+4 > 0 (x+4) (x ) (x )(x+4) > 0 14 (x )(x+4) > 0 Håkan Strömberg 14 KTH Syd

x < 4 x = 4 4 < x < x = x > x 0 + x+4 0 + + + 14 (x )(x+4) + odef odef + Svar: x < 4 eller x > Läxa 18. 1.9 b) Läxa 19. 1.9 e) Läxa 0. 1.0 a) Läxa 1. 1.0 b) 4 = +( 1)+( 4)+5+ = 5 k=0 = ( 1)( 4)5 = 0 k=1 5! = 1 4 5 = 10! 4! = 1 1 4 = 1 4 I boken hänvisar man ofta till Maple och MatLab. Att använda datorer för att lösa matematiska problem är ett nytt synsätt som tyvärr inte slagit igenom på många högskolor. Personligen anser jag det självklart att en blivande högskoleingenjör ges möjlighet att stifta bekantskap med dessa kraftfulla verktyg. I denna kurs ska vi använda ett tredje verktyg, Mathematica, som kanske är det kraftfullaste av dem alla (personlig uppfattning). Vi ska inte bara använda Mathematica för att slippa räkna för hand. Tanken är att Mathematica ska hjälp oss att också förstå matematiken. Samtidigt ska vi räkna en hel del för hand. Vi ska se vad kombinationen av ett snabbt och noggrant räknehjälpmedel och traditionell handräkning kan göra för oss. Alla studenter vid KTH kan gratis ladda ned Mathematica via programdistribution, progdist.ug.kth.se/public/. Det är av största vikt att du lär dig använda Mathematica eftersom det är ett tillåtet hjälpmedel vid tentamen och du kommer att få svårt att klara tentamen utan hjälp av Mathematica. Olikheter Olikheter löser vi med hjälp av funktionen Reduce, som är ett kraftfullare verktyg än Solve, som inte fungerar alls på olikheter. För exempel ovan skriver vi Reduce[x/(x-1)>=] och får svaret 1 < x Med hjälp av Plot får vi en känsla för för svaret. Håkan Strömberg 15 KTH Syd

Plot[x/(x-1)-,{x,0.6,1}] Ekvationer med absolutbelopp Till nöds kan man använda Solve, men Reduce är att föredra. När man använder Reduce kan man tvingas skriva Reduce[Abs[x+]==5,x,Reals] för att slippa få med de komplexa lösningarna. Reals betyder att man endast är intresserad av reella lösningar. Olikheter med absolutbelopp Här använder vi i samma verktyg som i de två tidigare rubrikerna. En Plot skadar inte. Under denna rubrik kommer till varje föreläsning att presenteras ett problem som bygger på logiskt tänkande och mer problemlösning än många av de matematiska problem vi kommer att lösa. Dela bröd och pengar Två luffare, A med bröd och B med 5 bröd, hade just satt sig vid vägkanten för att äta, då en tredje luffare, C, kom förbi. C hade ingen egen mat, utan betalade sin andel med 8 kr. Hur skulle detta belopp fördelas rättvist mellan A och B, om maten delats lika mellan de tre luffarna? Svar huvudräkning 1. > större än mindre än eller lika med större än eller lika med < mindre än Svar huvudräkning. x + y kan aldrig vara större än x + y Svar huvudräkning. Det är förstås en andragradsekvation med rötterna x 1 = och x = Svar huvudräkning 4. Den har ingen lösning, x kan aldrig vara mindre än 0. Svar huvudräkning 5. a = ger x +x+1 = 0 som i sin tur kan skrivas (x+1) = 0. Ekvationens två rötter är x 1, = 1 Håkan Strömberg 16 KTH Syd