Tavelpresentation Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom Januari 2018
1 Partiella derivator och deriverbarhet Differentierbarhet i en variabel Att funktionen f är differentierbar i punkten x = a är ekvivalent med f(a + h) f(a) lim. h 0 h Detta innebär i sin tur att man kan linjärisera funktionen med en ekvation, låt f(a + h) f(a) A := lim. h 0 h Alltså är A = f (a) då f är differentierbar i x = a. Sätt ρ(h) = f(a + h) f(a) h A (1) ρ(h) kallas för feltermen. Då är det möjligt att linjärisera f(a + h) enligt (2) f(a + h) = f(a) + Ah + hρ(h), (3) då ρ(h) 0 då h 0. Differentierbarhet i flera variabler Definition: Låt f(x, y) vara en funktion av två variabler definierad i en domän D R 2. Då sägs f vara differentierbar i en punkt (a, b) D om det existerar A R och B R sådana att f(a + h, b + k) = f(a, b) + Ah + Bk + h 2 + k 2 ρ(h, k), (4) där ρ(h, k) 0 då h, k 0. Den geometriska tolkningen av vad differentierbarhet är i n-antal variabler är inte lika intuitiv för n = 1 då vi har med oss sen tidigare att differentierbarheten symboliseras av en tangentlinje i den aktuella punkten. I rummet, det vill säga n = 2, är den geometriska tolkningen ett tangentplan i punkten. I högre dimensioner, n > 2, symboliseras differentierbarheten av så kallade tangenthyperplan. Att kontrollera huruvida ρ(h, k) går mot noll eller inte kan vara krångligt att undersöka. Lyckligtvis finns det ett enklare sätt att kolla huruvida en funktion är differentierbar eller inte. 1
Definition: Låt D R n vara en domän. Då definieras C n (D) := {f : D R alla f s partiella derivator av ordning n existerar i hela D och är kontinuerliga funktioner}. Då gäller Sats: Låt D R n differentierbar på D. vara en domän, då gäller att om f C 1 (D) då är f Vidare gäller att om f(x, y) är differentierbar i (a, b) och uppfyller (4) så existerar de partiella derivatorna A och B i (a, b) och A = f x (a, b) = f(a, b), B = f y (a, b) = x där de partiella derivatorna f x och f y är definierade enligt f(a, b), (5) y f(a, b) f(a + h, b) f(a, b) := lim, x h 0 h (6) f(a, b) f(a, b + k) f(a, b) := lim. y k 0 h (7) Intuitivt beskrivet görs detta genom att derivera med avseende på variabeln i fråga och behandla den andra variabeln som konstant. Detta kan även generaliseras till n-st variabler genom följande definition. Definition: Låt f(x 1,..., x n ) vara en funktion av n variabler definierade i en domän D R n. Då sägs f vara differentierbar i en punkt (a 1,..., a n ) D om det existerar konstanter A 1,..., A n R sådana att f(a 1 + h 1,..., a n + h n ) = f(a 1,..., a n ) + n ( n A i h i + i=1 där ρ(h 1,..., h n ) 0 då (h 1,..., h n ) (0,..., 0) i=1 h 2 i ) ρ(h 1,..., h n ), Förkortat och med hjälp av definitionen av vektorer kan detta skrivas som (8) f( a + h) = f( a) + f( a) h + h ρ( h), (9) där ρ( h) 0 då h 0. För förklaring av f( a) vänligen se avsnitt 3. 2
2 Kedjeregeln Vid beräkning utav derivatan av en sammasatt funktion som beror på en variabel så kan man tillämpa kedjeregeln. Kedjeregeln går som bekant ut på att stegvis derivera de olika delarna utav en sammansatt funktion separat enligt: Sats: Antag att f är deriverbar i g(x) och att g är deriverbar i x. Då kan derivatan utav den sammansatta funktionen f(g(x)) beräknas: d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x) (10) Vid studier utav analys i flera variabler måste kedjeregeln generaliseras för att kunna beräkna derivator utav sammasatta funktioner av ett godtyckligt antal variabler. Sats: Låt f(x) = f(x 1,..., x n ) vara en differentierbar funktion utav n variabler och anta att funktionerna g(t),..., g n (t) är deriverbara i intervallet t (a, b) R. Då är den sammansatta funktionen f( g(t)) deriverbar med derivatan: d dt f( g(t)) = f x 1 ( g(t))g 1(t)+,....., +f xn ( g(t))g n(t). (11) Betraktar man fallet med funktionsbeteckningarna u( x) = u(x 1 +... + x n ) och x = x(t), u( x) = u( x(t)) = u(x 1 (t)...x n (t)) så kan man formulera kedjeregeln på ett mer komprimerat sätt du dt = u dx 1 x 1 dt + + u dx n x n dt (12) där u x k representerar den partiella derivatan med avseende på termen x k för k = 1, 2,..., n. Allmänt ger kedjeregeln också möjligheten att beräkna derivator av sammansatta funktioner där även den inre funktionen består utav flera variabler. Antag att u beror av n stycken variabler x 1,..., x n och dessa x i sin tur beror utav q st variabler, t 1... t q. Om vi väljer en variabel t r och deriverar den sammansatta funktionen med avseende på denna så ska de övriga t termerna betraktas som konstanter inom deriveringen. Detta resulterar i att alla funktioner beror utav en variabel, vilket ger u = u x 1 + + u x n, (13) t r x 1 t r x n t r som representerar derivatan med avseende på variabeln t r. 3
3 Gradient och riktingsderivator Gradienten är en vektor och ett sätt att samla alla av funktionen f:s partiella derivator. Mera precist, gradienten pekar i riktningen för funktionens största förädringstakt och dess storlek är grafens lutning i den riktningen.. Låt f : R n R vara en differentierbar funktion f. Då definieras gradienten till f som vektorn grad (f) = f = ( f,..., f ). (14) x 1 x n Notera att x 1, x 2,..., x n är beteckningen på de alla olika variablerna som är partiellt deriverade. Formeln för differentierbarhet skulle med hjälp av vektornotation kunna skrivas som f( a + h) f( a) = f( a) h + h ρ( h), (15) där ρ( h) 0 då h 0. Intuitivt kan man betrakta en riktningsderivata till en funktion f som att den visar derivatan av en funktion i en viss riktning i en viss punkt. Definition: Låt f : D R där D R n är en domän och låt a D. Vidare låt û vara en enhetsvektor i R n. Då definieras riktningsdervatan av f i punkten a och i riktning û som f( a) u = f f( a + hû) f( a) u( a) = lim. (16) h 0 h Sats: Låt f : D R där D R n är en domän och låt a D. Om f är differentierbar gäller för en godtycklig riktning û R n att 4 Derivator av högre ordning f u ( a) = û f( a). (17) Om de partiella derivatorna för funktionen f(x 1,..., x n ) också är partiellt deriverbara, kan andra ordningens partiella derivator skrivas: ( ) f. (18) x i x j För i, j = 1, 2,..., n kan detta även skrivas: 2 f x i x j, (19) 4
Om x i = x j skriver man 2 f x 2. (20) i Ett tredje sätt att skriva detta är: f xjx i (21) där man utför de partiella deriveringarna från höger till vänster. Om de andra ordningens partiella derivator är partiellt deriverbara kallas de nya för tredje ordingens partiella derivator etcetera. Def: Låt D R n vara en domän och låt k 0 vara ett heltal. C k (D) = {f : D R alla partiella derivator till f av ordning k finns i hela D och är kontinuerliga funktioner} Sats: Antag att f C k (D), då gäller det ordingen i vilken man deriverar är irrelevant i en partiell derivata av ordning k. 5