Projekt Spektralanalys med hjälp av den diskreta Fouriertransformen Marcus Björk Forskare Signalbehandling Systemteknik (IT) Dept. of Information Technology, Division of f Systems and Control
Översikt Kort om projektet Vad är spektralanalys? Koppling till Transformmetoder (teori) Mer om projektets genomförande Projektets delar Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 2
Kort om projektet (1hp) Grupper: max 4/grupp, anmälan på studentportalen (SP) Material på projekthemsidan: Instruktion, teori, data, MATLAB-kod, checklista (länk på SP) Projektet: görs på egen tid med handledning av mig (utom 17/11 kl 8-10) Examination: Kortfattad rapport (U/G) Deadline for utkast: 29/11, kl 17:00 Deadline för kompletteringar: 10/1 2016, 23:59 Inlämning/rester: via studentportalen, Inlämningar / Projektrapporter W3 Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 3
Syfte Få se några tillämpningar av Transformmetoderkursen. Lära sig om den diskreta Fouriertransformen som används i praktiska sammanhang. Lära sig använda enkla verktyg inom spektralanalys som är relevanta för alla ingenjörer. Använda och lära sig lite mer om MATLAB. Få övning i teknisk rapportskrivning. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 4
Vad är spektralanalys? Analys av frekvensinnehållet i en tidsserie/signal. Tidsserie: mätning av någon storhet under tid, t.ex. börskurs, ljud, ljusstyrka hos en avlägsen stjärna, antalet personer i det här rummet. Signal: mer generellt uttryck och måste inte vara en mätning över tid (t.ex. en bild) Frekvensinnehåll: Hur effekten eller energin i signalen är fördelad över olika frekvenser. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 5
Vitt brus - Ljudexempel Anledningen att man kallar det vitt är, i analogi med synligt ljus, att det är vitt om det innehåller alla frekvenser. Vitt brus har alltsa samma energi vid alla frekvenser. Vi lyssnar på Vitt brus: Lågpassfiltrerat: Högpassfiltrerat: Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 6
Exempel på spektralanalys Antalet solfläckar Topp för f 0.09 cykler per år => Period = 11 år Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 10
Optimering av vågkraft Spektrala modeller för prediktion av vågor Statistiska parametrar Signifikant våghöjd Energiflöde per meter vågfront etc Effektuttaget kan optimeras Aktiv kontroll (Reglerteknik) (Elforsk.se, Seabased.com) Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 11
Ytterligare spektralanalys MRI Användbart i kommande kurser: Empirisk Modellering (W5) & Reglerteknik (nästa period)! Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 12
Lite teori! Finns i större detalj i ett kompendium! Ger koppling mellan Fouriertransformen och verkligheten den disktreta Fouriertransformen Några metoder för spektralanalys Övergripande förståelse för metoderna som kommer användas Kort om estimeringsteori/skattningsteori Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 13
Frekvensinnehåll Fouriertransform: Spektrum: Parsevals/Plancherels formel: Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 14
Problem: Kan ej mäta en signal kontinuerligt! Måste sampla! Samplingsfrekvens: f s = 1/T s Samplad signal: t=nt s n = 0, ±1, ±2, ger: x[n] = x c (nt s ) x[n] är diskret i tiden! Vi kan definiera normaliserad frekvens: Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 15
Tidsdiskreta Fouriertransformen (DTFT) DTFT: Periodisk funktion (pga att n är heltal ovan) då Spektrum: Parsevals/Plancherels formel: Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 16
Diskreta Fouriertransformen (DFT) Problem: Kan ej mäta oändligt länge! Vi använder de mätningar vi har (fönster): Kan ej evaluera funtionen för alla frekvenser! Använd L punkter, uniformt utspridda öven en period: Normalt sätter vi N=L, vilket ger DFTn: Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 18
Zeropadding Om nu L N så kan vi skriva: X[ k] = L 1 n= 0 x[ n] e k i2π n L Där vi definierar x[n]=0 för n N Vi får s.k. Zeropadding Fler punkter på frekvensaxeln. Ingen ny information läggs till. Men kan bli visuellt tydligare. Det är signalens längd i tid (NT s ) som bestämmer den maximala upplösningen! MATLAB drar sträcken mellan punkterna, men vi har ingen information där! Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 19
Periodogrammet Skattning av spektrum i praktiken med DFT Periodogrammet: Kan beräknas mycket snabbt: O(N log 2 N) istället för O(N 2 ), m.h.a. Fast Fourier Transform, FFT. Signalvektor x av längd N. Diskreta Fouriertransformen i N frekvenspunkter ges av MATLAB genom: X = fft(x); Med zero-padding L>N: X = fft(x,l); ger transformen i L frekvenspunkter. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 20
Enkelt exempel Signal (f s = 100 sampel/s): Falsk topp! Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 21
Osäkerhet, varians och upplösning Uppmätta data innehåller i allmänhet någon form av osäkerhet eller störning, t.ex. mätbrus. I spektralanalysen vill vi kunna urskilja det intressanta skatta spektrumet så bra som möjligt. Alla skattningsmetoder, t.ex. Periodogrammet, har en inneboende osäkerhet. Det finns olika typer av osäkerhet hos en metod: Upplösning kan vi särskilja periodiciteter som har närliggande frekvenser Varians kan vi vara säkra på att en topp i spektrum inte är pga slump Olika metoder är bra på olika saker. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 22
Bartlett s metod Variansreduktion med Bartlett s spektrumskattning T.ex. så kan en brusig signal ge ett brusigt periodogram, speciellt när få sampel finns att tillgå. Svårt att tyda Hur hög varians skattningen har beror på metoden. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 23
Bartlett s metod (2) En enkel metod för variansreduktion av spektrum Dela upp tidsserien i P = N/M delar: Räkna ut spektrumet för varje del och medelvärdesbilda: MATLAB-kod finns på projekthemsidan: bartlettse(y,p,l) Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 24
Bartlett s metod (3) Dela upp signalen i tiden: Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 25
Bartlett s metod (4) Resultat för Periodogrammet (övre) och Bartlett s (undre) Hög varians: Fluktuerar [0 40] Låg varians: Fluktuerar [2 19] Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 26
Spektralanalys i praktiken Generera sinus-signal i MATLAB fs=10000; %Samplingsfrekvens i Hz f=1500; A=10; N=1000; t=(0:(n-1))'*1/fs; s=a*sin(2*pi*f*t); %sinus-frekvens i Hz %Amplitud på sinus %Antal sampel Generera brus i MATLAB sigma=1; %Skapa tidsvektor %Skapa signalen %Brusets standardavvikelse e=sigma*randn(n,1); %Normalfördelade slumptal Simulera en brusig signal y=s+e; %Lägg till slumpmässiga bruset till %signalen Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 27
Beräkna spektrumskattningar Bestäm om zeropadding skall användas L=N; %Ingen zeropadding. Alternativt: L=10*N;%Zeropadding (10 ggr fler sampel i frekvensdomän) Skapa frekvensaxel (ej normaliserad) f=(0:l-1)'*fs/l; Beräkna peridogram i MATLAB %intervallet 0 fs i L punkter Phi=1/N*abs(fft(y,L)).^2;%fft-funktionen ger DFT:n Alternativt använda Bartlett s metod P=4; %Antalet delintervall (t.ex. 4) Phi=bartlettse(y,P,L); %Specialskriven metod som %ger resultatet av Bartlett s metod direkt P är antalet delintervall,längden på signalen blir N/P Notera att man får alltså zeropadding för L>N/P här Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 28
Plotta och studera Vi kan nu plotta spektrumskattningen plot(f,phi); %Skattningen Phi mot frekvensaxeln f xlabel('frekvens [Hz]'); ylabel('spektrumskattning \Phi'); Vilket för Periodogrammet med zeropadding ger: En topp vid 1500 Hz var ju förväntat! Den andra är en spegling pga transformens egenskaper. Vi kan plotta första halvan utan att tappa information! Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 29
Projektets utförande Allt material finns på hemsidan (inklusive dessa slides). http://www.it.uu.se/katalog/marbj996/transformmetoder/p2ht15 Projektbeskrivningen beskriver experimenten. Del III innehåller en grundläggande genomgång av MATLAB. Det finns ett teorikompendium som beskriver teorin bakom projektet i mer detalj och anknyter till Transformmetodkursen i övrigt. FAQ på hemsidan kan ge tips! Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 30
Redovisning Kortfattad, men korrekt skriven, rapport på svenska eller engelska. Lägg fokus på hur ni gjort och era resultat och slutsatser! Problem metod figur som påvisar resultat diskussion av resultat slutsatser. Ni behöver inte beskriva hur metoderna som används fungerar i detalj. Det finns en checklista för rapporten på hemsidan. Mer utförlig instruktion för rapportskrivning finns i Att skriva en teknisk rapport en kort instruktion. Skriv så att någon som läst kursen men inte gjort projektet kan förstå vad ni gjort (utan tillgång till instruktionen). Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 31
Deadlines Deadline for utkast: 29/11, kl 17:00 Tillfälle för feedback! Deadline för kompletteringar: 10/1 2015, kl 23:59 Efter denna deadline kommer inga rester att ges Se till att bli godkända innan kompletteringsdeadline! Rapporter kommer att rättas löpande och feedback ges. Man kan bli klar innan jul (och innan tentorna) om man vill. Ingen grupp brukar bli klar på första försöket Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 32
Allmänt Gruppindelning på studentportalen! Rapporten/rester via studentportalen: Inlämningar, Projektrapporter W3. Det finns ett schemalagt tillfälle för handledning i datorsal Tisdag 17/11, kl 8:15, Å 6K1101 Kontakt för handledning, frågor etc: marcus.bjork@it.uu.se Pollax, hus 2, vån 3, rum 2337 Material: http://www.it.uu.se/katalog/marbj996/transformmetoder/p2ht15 Flera roliga kurser på Systemteknik (IT) som tillämpar transformmetoder: Reglerteknik, Empirisk modellering etc. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 33
Projektet Består av några inledande problem: 1) Undersök vilka frekvenser som bygger upp en ljudsignal ni hittar på hemsidan med hjälp av periodogrammet. Vad är fördelen med att titta på en signal i frekvensdomänen istället för tidsdomänen? 2) Studera upplösningen hos periodogrammet med och utan zeropadding. När och varför bör man använda zeropadding? Hur bra kan upplösningen bli? 3) Hur kan vi minska variansen av spektrumskattningen. Studera variansen hos periodogrammet samt Barlett s metod. Vad händer med upplösningen och variansen för då man delar upp singalen i olika många delar P? Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 34
4) Praktisk tillämpning Välj en av följande analyser: a) Elförbrukningen i Sverige 2014. b) Temperaturdata från iskärnor. c) Magnetresonans-spektroskopi (MRS). d) Inspelad ljudsignal. Använd det ni lärt er i 1-3! Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 35
Del 4a) Datat bestar av temperaturskillnader (relativt dagens klimat) skattade från iskärnor. Sträcker sig ca 420 000 år tillbaka i tiden. Omsamplat till vart ~42:a år. Analysera hur vilka periodiciteter det finns i jordens klimat. Jämför spektrumskattningar erhållna från olika metoder. Kan denna analys säga något om vad vi bör förvänta oss för klimat i framtiden? Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 36
Data från iskärnor Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 37
Del 4b) Statistik över Sveriges elförbrukning under 2014 hämtat från Svenska Kraftnäts hemsida. Analysera hur vår elförbrukning varierar med spektralanalys. Fundera först över vilka periodiciteter ni förväntar er. Datat är samplat varje timme så att man kan följa dygnsvariationerna. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 38
Data över elförbrukning Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 39
Del 4c) Magnetresonansspektroskopi (MRS). Studera data från MR-skann av hjärnan. Ladda ned MRS-dataserien. Notera att datat är komplex-värt (man mäter i 2 dimensioner!) Gör spektralanalys på den för att se vilka fosforbaserade ämnen som syns på skannen. Jfr. med tabell 1 i projektbeskrivningen för att se vilka ämnen som är närvarande. Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 40
MRS data Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 41
Del 4d) Spela in ett ljud (alternativt hitta ett lämpligt ljud att analysera på nätet eller liknande) Ex: instrument, vissling, motor, fläkt, dammsugare, eltandborste etc. (fråga mig om ni vill ha tips!) Ljudet bör vara stationärt, dvs inte förändras så mycket över tiden. Det är bra om ni kan gissa vilken frekens ni bör få. Lagra filen som.wav-fil. Läs in filen i Matlab med wavread-kommandot. Gör spektralanalys och jämför med vad ni förväntat er. Ex: Vilken frekvens har ett A? Lyckades ni vissla ett A? Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 42
Sammanfattning Förstå innebörden av Fouriertransformen (praktiskt) Se en bra tillämpning av Transformmetoderkursen Lära sig om diskreta Fouriertransformen och spektralanalys Använda och analysera metoder för spektralanalys i MATLAB, samt visualisera resultaten Skriva en korrekt och systematisk strukturerad teknisk rapport Använd mig som resurs! Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 43
Frågor? marcus.bjork@it.uu.se Pol 2337 Anmäl er till grupper på studentportalen! Slides och allt material ligger på projekthemsidan: http://www.it.uu.se/katalog/marbj996/transformmetoder/p2ht15 Finns även en länk på studentportalen (under länkar) Deadlines: 29/11 och 10/1 Uppsala University, Department of Information Technology www.it.uu.se Marcus Björk marcus.bjork@it.uu.se 44