, preliminär version.3 april 7reservation för fel Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 7-3-5 kl 8:3-3:3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. English version follows after the Swedish. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg 3 krävs minst 7 poäng från uppgifterna, varav minst 3 poäng från uppgifterna 8. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 7 duggaresultatlista bifogas. Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. Uppgift 7 kan ersättas med aktivt deltagande vid räkneövningar under kursens gång. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från minst 5% poäng från uppgift 4, för betyg 5 minst 75% 8 poäng. Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt betyg 3 5 krävs minst 7 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 8. Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng, uppgift 7 genom att ha deltagit i räkneövningar.
. Låt fx 4 x a Vilken är den största möjliga definitionsmängden domain D f för f? Givet att vi kräver reella tal som argument och värden. b Vilken är värdemängden range till f? c Är f en inverterbar funktion? Kan man göra en restriktion av f dvs minska definitionsmängden så att restriktionen blir inverterbar, och i så fall hur? Ge också uttryck för inversen till denna restriktion. a Eftersom u är definierad precis för u så är fx definierad precis om x x x x. Definitionsmängden för f är alltså intervallet [, ]. b x x x 4 4 x. Värdemängden för f är alltså intervallet [ 4, ]. c För att en restriktion av fx skall vara inverterbar behöver vi restringera den till en delmängd D av [, ], så att det för varje y [ 4, ] finns precis ett x D så att fx y. Eftersom fx f x så kan vi till exempel ta D [, ]. Då får vi, för x, om vi kallar restriktionen f, att y f x y 4 x x y /6 x y /6 x y /6, Alltså är f y y /6. Om vi istället restringerar f till f definierad på [, ], så får vi f y y /6. 3
. Låt fx 3x + 45x 5 x. + x Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. Gränsvärdet kan vara ett tal, + eller. Om ett gränsvärde inte skulle finnas, ange och motivera detta. Tips: Se formelbladet för gränsvärden som kan behövas. a lim fx x b lim c x fx lim fx x + a När x så 5 x, medan 3x + 4 4 och 5 x + 3 3x + 4 5 x lim fx lim x x 5 x 4 + x 3 lim 5 x ln 5. x x 3 b När x så 5 x, men vi behöver förkorta med x. lim fx x lim x 5 x 3x + 4 5 x lim + x x 5 x 5 x + 3 + 4 x c När x + så 5 x +, vi behöver förkorta dels med x, dels med 5 x. lim fx x + lim x + 5 x 3x + 4 5 x lim + x x + 4 3 3 4. 5 x + 5 x 3 + 4 x 3 3. 4
3. Ekvationen x 3 y + y 3 + arctan x + π 4 definierar en kurva i xy-planet och innehåller punkten x, y,. Bestäm kurvans tangentlutning i denna punkt Ekvationen x 3 y + y 3 + arctan x + π 4 ger en ekvation för / om vi deriverar implicit. Högerledet är konstant, och har alltså derivata noll, medan det för derivatan av vänsterledet gäller att d x 3 y + y 3 + arctan x 3x y + x 3 + 3y + x + x 4. Med x, y, får vi alltså ekvationen 6 + + + 7 3. 4. Betrakta funktionen fx lnx x + 3, definierad på, a Bestäm eventuella lokala extremvärden till fx, för vilka x de antas och om de är minima eller maxima. b Utred ifall fx har något absolut maximum eller minimum, dvs ett största och/eller minsta värde globalt, och vad de i så fall är. a Vi studerar derivatans teckenväxling. För fx lnx x + 3 har vi f x Om vi kvadratkompletterar nämnaren, d x x + 3 x x x x + 3 x x + 3 x x + 3. x x + 3 x + ser vi att den är positiv för alla x vilket ju också är ett måste för att fx ska vara definierad för alla x.. Vi har alltså att f x < då x < och f x > då x >. fx har alltså ett lokalt minimum f ln då x. b För att utreda eventuella absoluta extremvärden, behöver vi bara, eftersom f är kontinuerlig, förutom den lokala extrempunkten undersöka beteendet då x. Eftersom lim u + ln u +, och x x + 3 + både då x + och x, så gäller lim fx + och lim x fx +. x + Pga kontinuiteten har alltså fx ett absolut minimum f ln, men inget absolut maximum, den är istället obegränsad uppåt. 5
5. Bestäm värdet som funktion av a av integralen a e x e x +. Vi gör lämpligen variabelsubstitutionen u e x som medför att du du ex och att a e x e a e x + e u du [arctan u]uea u + arctan ea arctan arctan e a π 4. 6
6. En behållare fylls på med vätska med flödet volym påfylld vätska per tidsenhet Q at k e t/k där a 6 liter/s, k s och t är tiden sedan behållaren börjar fyllas, från att ha varit tom. Alltså är Q 3xe x/ liter/s efter t x sekunder om vi fyller i numeriska värden på koefficienterna. a Beskriv med en integral hur mycket vätska som fyllts på under tiden T. b Utveckla integralen till en funktion av T. c Kan behållaren vara så stor att den aldrig blir full? Hur mycket behöver den då som minst rymma? a Volymen påfylld vätska är b T T T ft dt T T at ft dt k e t/k dt a te t/k dt a k k T a T e T/k + e t/k a T e T/k k at k e t/k dt a T te t/k dt. k [ t k e t/k] T [e t/k] T T k e t/k a k k + T e T/k c Eftersom flödetft är positivt för t > a >, k > så kommer volymen att växa med tiden. Vi undersöker gränsvärdet då T +. lim a k k + T e T/k ak lim T + T + + T/ke T/k ak lim + xe x x + ak, eftersom lim x + pxe x om px är ett polynom. Volymen vatten i behållaren stiger alltså mot gränsvärdet ak liter. En behållare behöver rymma minst liter för att inte bli full. 7
7. Visa att y ln x + C x för varje konstant C. löser differentialekvationen x + xy, Om ln x + C x så är d så ln x + C vilket var vad vi ville visa. x x d ln x + C ln x + C x x x ln x C x x + xy ln x C + ln x + C, ln x C x, 8. Bestäm en lösning y fx till differentialekvationen som uppfyller villkoret f. y3/ x 3 Vi kan först notera att y konstant, löser differentialekvationen, men uppyller inte begynnelsevillkoret. Om y > så har vi y3/ x 3 y 3/ x 3 y / 4 x4 + C 3 y / 8 x4 + C C C / 4 y C 8 x4. 5 Sätter vi x och y i 4 får vi att C. Vår sökta lösning är alltså för x < 8 /4 C 8 x4 >. y 8 x4, 8
9. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen x + y cos 3x. Ekvationen är linjär och vi har att x + y cos 3x + x y cos 3x, x så vi bör använda en integrerande faktor e x den ursprungliga ekvationen e ln x x för x > men landar då på x + y cos 3x d xy cos 3x xy cos 3x xy 3 sin 3x + C y vilket gäller dels för x >, dels för x <. sin 3x + C, C 3C 3x 9
. a [p] Bestäm den allmänna lösningen y yx till den homogena differentialekvationen y + 4y + 5y. b [p] Bestäm lösningen y yx till begynnelsevärdesproblemet y + 4y + 5y x, y, y. a Vi har att y e rx löser y + 4y + 5y om och bara om r + 4r + 5, och Vi får då den allmänna lösningen där A och B är allmänna konstanter. r + 4r + 5 r ± ± i. y C e +ix + C e ix e x A cos x + B sin x. b Allmänna lösningen till y +4y +5y x är y y p +y c, där y p är en partikulärlösning och y c den allmänna lösningen till komplementärekvationen y + 4y + 5y, som vi bestämt i a. För att bestämma en partikulärlösning ansätter vi y p ax + b och har då y p + 4y p + 5y p + 4a + 5ax + b 5ax + 4a + 5b, där vi alltså ska ha 5a, 4a + 5b, a /5, b 4a 5 9 5.. Den allmänna lösningen är alltså y 5 x + 9 5 + e x A cos x + B sin x, där A och B är allmänna konstanter. Dags att bestämma värdena på dessa så att begynnelsevillkoren y y. Vi har att y d 5 x + 9 5 + e x A cos x + B sin x 5 e x A cos x + B sin x+e x A sin x + B cos x, så y 9 5 + A, y A + B. 5 Då har vi att y, y, 9 5 + A, A + B, 5 A 9 5, B A + 5 3 5.
Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms.
. Visa, genom lämpliga uppskattningar, a att och b, lite bättre, att e / + e / e x / e x /. Se till att motivera att uppskattningarna verkligen gäller. För integraler gäller att om gx fx hx för alla x i intervallet [a, b] så är b a gx b a fx b a hx. På så sättt kan undre och övre begränsningar av integranden ge en undre och övre begränsning av en integral. a På intervallet [, ] är fx e x / växande som funktion av x, vilket vi kan se till exempel genom att notera att derivatan Alltså gäller på intervallet [, ] att d e x / xe x / < för x >. e / f fx f. Därför måste e / dvs e / b För fx e x / är andraderivatan fx e x /., f x d xe x / xe x / + x e x / xx e x / negativ om < x <. Det betyder att f är nedåt konkav på intervallet på intervallet,, så för den linjära funktionen lx f + f f x gäller att lx fx för x. Alltså är fx lx så vi kan skärpa uppskattningen från a till f + f + e /, + e / e x /.
. Bestäm y ft som löser differentialekvationen dt ky y t + a för konstanta a >, k >, med begynnelsevillkoret f. Differentialekvationen dt ky y t + a är separabel, vi har, för t > a och < y < att yy k dt t + a dt ky y t + a 6 7 För att utveckla integralen i vänsterlledet gör vi lämpligen en partialbråksuppdelning med ansatsen yy A y + B Ay + By y yy För att A + By A, som polynom i y behöver vi ha A + B, A, Vi har då, för < y < att / yy y + / y ln y + ln y + C A /, B /. A + By A, yy ln y ln y + C y >, y < y ln y + C, och för t > a att k dt t + a k ln t + a + C k lnt + a + C. 3
Alltså är, för < y < och t > a, ky y 8 dt t + a y ln k lnt + a + C 3 9 y y t + a k e C 3 y y Ct + a k C e C 3 y y Ct + a k y + Ct + a k y 3 För ft +Ct+a k y har vi. 4 + Ct + a k f + Ca k + Cak Ca k C a k, så vår sökta lösning är y + a k t + a k + + t k. a 4
3. En solid svarvad detalj rotationssymmetrisk är mm lång och tvärsnittet x mm från ena änden är en cirkelskiva med radien cos π x mm. Beräkna volymen av stångens gods. Uttrycket kan få innehålla π som en faktor, t.ex. + 8π mm3. 6 Volymen, i mm 3 ges med skivmetoden av integralen π cos π x π π π 4 4 cos π 6 x + π cos 6 x 4 4 cos π 6 x + + cos π 3 x π 45 4 cos π 6 x + 5 cos π 3 x [ 45x 4 6 π sin π 3 x + 5 6 π cos π 3 ] 4 6 5 3 4 6 π 45 sin π + sin 4π + sin π π π eller ekvivalent, 54π 7 cm 3. 5 3 π sin π 45 54 π. 5
4. Skissa kurvan y x + + x + x 3 med eventuella asymptoter och lokala maximi- och minimipunkter angivna. Vi har att fx x + + x + x 3 x+ x 3 om x <, om x, x+ x 3 om x >, x 3 odefinierad om x 3. är kontinuerlig för x < 3 och för x > 3. Dess derivata är 8 om x <, x 3 f odefinierad om x, x 8 om x >, x 3 x 3 odefinierad om x 3. Vi kan sammanfatta derivatans tecken och därmed funktionens växande i en tabell x 3 f x odef + odef + fx odef Vi konstaterar att f x < om x <, f x > om < x < 3, och f x > om x > 3. Vi kan också notera att samt att lim f x, x lim f x, x + lim f x +, och lim f x +, x 3 x 3 lim fx +, och lim f x, x 3 x 3 lim och lim. x x funktionen f har alltså ett lokalt minimum f, men inga lokala minima, däremot asymptoter enligt ovan och sammanfattat i figuren nedan. 6
y x 3 y fx y x + y y fx y x y x + -, lokalt max SK, april 7 7
The exam is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result grade 3 at least 7 points are needed from problems Part I, among these at least 3 points from problems 8. Each of these problems may yield 3 points. From each of problems 6 you may choose to use the results from the pre-tests dugga instead of giving a solution to the exam problems. The results from the pre-tests are found appended. In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. If you have been active in the tutorials during the course, the points for problem seven will be awarded for free. For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 5% points in part II problems 4. For grade 5 at least 75% 8 points in part II is required. Give full solutions to all problems. Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Numerical values may be given as expressions including factors like π and logarithms, if needed. Part I. Problems is for passing. Each problem can give up to 3 points. To pass the course grade 3 5 at least 7 points are required, whereof at least 3 points from problems 8. Problems 6 may one by one be substituted for by pre-test grades, problem 7 by participating in seminars during the course.. Låt fx 4 x. Let a Find the largest possible domain D f of f? Given that we request real numbers as both values and arguments. b What is the range of f? c Is f invertible? Is it possible to restrict f make the domain smaller so that the restriction will be invertible? In that case, find an expression for the inverse. fx 3x + 45x 5 x. + x Find the following limits, if they exist. The limit may be a number, +, or. If a limit exists, state its value, otherwise, motivate why it doesn t exist. Hint: See cheat sheet for formulas for limits that might be needed. a lim fx x b lim c x fx lim fx x + 8
3. The equation x 3 y + y 3 + arctan x + π 4 defines a curve in the xy plane and contains the point x, y,. Find the tangent slope at this point. 4. Consider the function fx lnx x + 3, defined in, a Find any local extrema of fx, and whether they are minima or maxima. b Investigate whether fx has any absolute global maximum or minimum, and in that case, the value of this maximal or minimal value. 5. Find the value as an expression in a of the integral a e x e x +. 6. A container is filled with liquid with the flow rate volume per time unit Q at k e t/k where a 6 liter/s, k s and t is the time since the start of filling. That is, Q 3xe x/ liter/s at t x seconds, if we substitute numerical values for the coefficients. a Describe the amount volume of liquid filled during time T, as an integral. b Evaluate the integral to a function expression of T. c Is it possible that the container will never be full? In that case, what is the minimal volume it needs to hold? 7. Show that y ln x + C x for any constant C. solves the differential equation x + xy, 8. Find a solution y fx of the differential equation y3/ x 3 which satisfies the initial condition f. 9. Find the general solution of the differential equation x + y cos 3x.. a [p] Find the general solution y yx of the differential equation y + 4y + 5y. b [p] Find the solution y yx of the initial value problem y + 4y + 5y x, y, y. 9
Part II. The following problems are for grades 4 and 5. Each problem yields up to 6 points. The assessment also includes the presentation.. Show, by using appropriate estimates, a that and b, even better, that e / + e / e x / e x /. See to that you ensure and show that the estimates in fact holds.. Find y ft which solves the differential equation dt ky y t + a for constant a >, k >, with the initial value f. 3. A solid lathed detail rotationally symmetric has a length of mm with a cross section at x mm from the end which is a circular disc of radius cos π x mm. Find the volume of the material. The expression may include π as a factor, e.g. + 8π mm3. 6 4. Sketch the curve y x + + x + x 3 with any asymptotes and/or local extrema noted. Good luck! /SK
Formelsamling för matematisk analys Trigonometriska identiteter sinα + β sin α cos β + cos α sin β cosα + β cos α cos β sin α sin β sin α + sin β sin α+β cos α β cos α + cos β cos α+β cos α β sinα β sin α cos β cos α sin β cosα β cos α cos β + sin α sin β sin α sin β cos α+β sin α β cos α cos β sin α+β sin α β sin α sin β cosα β cosα + β cos α cos β cosα β + cosα + β sin α cos β sinα β + sinα + β sin α sin α cos α cos α + sin α cos α cos α sin α cos α sin α +cos α sin α cos α cos α Eulers formel: e iθ cos θ + i sin θ cos θ eiθ + e iθ, sin θ i eiθ e iθ Standardgränsvärden lim x ± lim x + x x e lim x ± x p a x om a > lim xp ln x q om p > x + sin x lim x x lim x + t x x e t lim x x x lim x xp e qx om q > lim m a m m! a x x Elementära derivator och integraler fx f x för heltal m lim x ln x p x q om q > ln + x ln a om a > lim x x fx x a ax a a+ xa+ + C om a /x /x ln x + C e x e x e x + C ln x /x x ln x x + C sin x cos x cos x + C cos x sin x sin x + C tan x cos x + tan x arcsin x x arccos x x ln cos x + C x arcsin x + x + C x arccos x x + C arctan x +x x arctan x ln + x + C a x a x ln a ln a ax + C log a x x ln a a +x a x a+x cos x sin x Derivering och integrering x ln x x ln a + C a arctan x a + C arcsin x a + C ln x + a + x + C tan x + C cot x + C d fxgx f xgx + fxg x, d fx/gx f xgx fxg x d, gx fgx f gxg x fxg x [fxgx] f xgx, fgxg x fudu